n-余挠同调维数

熊 涛， 王芳贵， 王 茜

（1.西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充637002； 2.四川师范大学 数学科学学院，四川 成都610066；3.四川文理学院 数学学院，四川 达州635000）

本文恒设R是给定的环，对左R-模N，

代表N的平坦（resp.投射，内射）维数.用Fn表示平坦维数不超过n的R-模簇，用

表示R的整体（resp.弱整体）维数.对于未解释的概念和符号，参考文献［1-2］.

模类＝｛W∈M｜对任意左R-模M∈Fn，都有（M，W）＝0.｝一直备受关注.Bass［3］证明了每个（左）R-模有投射盖当且仅当R是左完全环（等价地，每个平坦R-模是投射模）.随着盖包理论的发展，Enochs［4］提出了平坦盖猜测（flat cover conjecture，FCC）：每个R-模有平坦盖.此后，多篇文献讨论了平坦盖的存在性［5-7］.2001年，借助于模簇（学者们称之为余挠模），Bican等［8］解决了“FCC”，即证明了结合环上每个模都有平坦覆盖和余挠包络.

按照同调理论的观点，Mao等［9］定义了模M的余挠维数cotR M和环R的余挠整体维数l.cot.dim.（R），并且证明了环R是左完全环当且仅当

文献［9］的推论7.2.7称环R是左完全环是指每个R-模都有投射盖.R称为左m-perfect［10］是指每个平坦模的投射维数不超过m，由文献［9］的推论7.2.6可知环R是左m-perfect当且仅当

回顾交换环R称为几乎完全环是指它的每个真商环是完全环.几乎完全整环（almost perfect domains），简称为APD.作为余挠模理论的推进，Lee［11］将整环上的称为弱内射模.Fuchs等［12］定义了整环上的模的弱内射维数和环的弱内射整体维数，并在文献［11］的引理3.6和文献［12］的推论6.4中证明了一个整环是APD当且仅当它的弱内射整体维数≤1.Salce［13］证明了一个几乎完全环或者是完全环，或者是APD.此外，没有找到关于整体弱内射维数为零的相关环的表述.Mao等［14］研究了任意环上的，并将其称之为n-余挠模.这实际上是对余挠模的进一步发展.借助n-余挠模，文献［14］的推论6.4刻画了环R的弱整体维数，证明了w.gl.dim（R）≤n当且仅当每个n-余挠模是内射的.Enochs等［15］借助1-余挠模刻画了Noether环，文献［15］的定理4.4证明了左右Noether环R的内射包E（R）是平坦模当且仅当每个1-余挠模M的平坦盖F（M）是内射的.此外，Mao等［16］定义了另外一种n-余挠模：R-模N称为n-余挠模是指对任意平坦R-模F，都有

这2个概念是不一样的，见例1.

当且仅当

Vasconcelos［20］证明了一个交换环R是完全的当且仅当FPD（R）＝0.

上述事实表明，R的l.FPD（R）维数与一种广义的-内射整体维数有着密切的联系，尤其是l.FPD（R）维数下的一维环和一维整环，从已有的研究结果来看，这种关系似乎更加密切.本文正是基于这种思想展开讨论的.

1 n-余挠模与n-余挠维数

容易看到，2种0-余挠模的定义是完全一致的，也就是余挠模.当n≥1时，文献［14-15］中定义的n-余挠模，都是文献［16］中定义的n-余挠模.但反之未必成立.

例1取环R＝Z及模M＝R／（2）.由于

故R是文献［16］中定义的1-余挠模.同时，运用文献［21］的定理7.17可得到

以及

从而R不是文献［14-15］中定义的1-余挠模.

下文提及的n-余挠模，均是指文献［14-15］中定义的n-余挠模，并将该模簇记为Cn.

命题1对左R-模W，以下陈述是等价的：

1）W是n-余挠模；

2）对任意左R-模M∈Fn和任何整数k≥1，都有（M，W）＝0；

3）如果正合列0→W→B→C→0满足C∈Fn，则它是分裂的；

4）如果正合列0→A→B→C→0满足C∈Fn，则序列

也是正合的.

证明1）⇔3）与2）⇒1）是显然的，1）⇔4）参考文献［14］命题4.4，下面只证1）⇒2）.由定义有现在假设k＞1.设0→A→F→M→0是正合列，这里F是投射左R-模，则

注意A∈Fn，故对k用归纳法，有

对R-模M的一个内射分解

记

则第n阶上核Cn（n≥0）叫做M的第n阶上合冲.

文献［22］的定理2.2与文献［23］的引理5.5证明了对于整环R，R-模M满足fdRM≤1当且仅当对任意1-余挠模W，都有

以下定理是对模的平坦维数的更宽泛的讨论.

定理1设M是R-模.对任意n≥0，以下陈述是等价的：

1）fdRM≤n；

2）对任意0≤m≤n及任意m-余挠模N，成立；

3）对任意0≤m≤n及任意m-余挠模N及任意成立.

证明3）⇒2）是显然的，令m＝n，由文献［14］的定理3.4即可得2）⇒1）.下证1）⇒3）.设W是N的（n－m）阶上合冲，由文献［14］中的命题4.3可知，W是n-余挠.由命题1即得，对于任意

对任意的n≥0，都有Cn⊇Cn＋1.现在举出一个满足C0⊃C1⊃C2⊃…⊃Cn⊃…的环的例子.

例2取域F，构造环

这里x1，x2，…，x n，…是F上的未定元，则R是凝聚整环.对任意n≥1，记J＝ （x1，x2，…，x n），则由文献［24］的定理11.2.5可知

成立.设Cn－1是R的一个（n－1）阶上合冲，再由文献［24］中的定理11.2.5可知，Cn－1是（n－1）-余挠模，但不是n-余挠的.

定义1设M是R-模.M的n-余挠维数c nd RM是指使得序列这里对0≤i≤m，每个Wi是n-余挠模，是正合列的最小的非负整数m.如果不存在这样的m，则记

环R的n-余挠整体维数l.Cn.D（R）定义为l.Cn.D（R）＝sup｛c ndRM｜M是任意R-模.｝.

现在给出模的n-余挠维数的等价刻画.

定理2设m是非负整数.对R-模N，以下陈述等价：

1）c ndRN≤m；

2）对任意M∈Fn，

3）对任意M∈Fn和任意i≥1，

证明这是平凡的.

定理3设m是非负整数，则对环R，以下陈述等价：

1）l.Cn.D（R）≤m；

2）对任意的M∈Fn及N∈RM，

3）对任意的M，N∈Fn，

4）sup｛c ndRN｜N∈Fn｝≤m；

5）sup｛pdRM｜M∈Fn｝≤m.

证明5）⇔2）⇒3）是显然的，由定理2即可得1）⇔2）与3）⇒4）.

4）⇒1） 设N∈RM，由文献［14］中的定理3.4，可得正合列

其中，F∈Fn，A∈Cn.对任意的左R-模M∈Fn，由命题1可得正合列

由定理2可得

故

2 对环的刻画

先来看什么时候每个n-余挠模是内射模.

定理4对环R，以下陈述等价：

1）w.gl.dim（R）≤n；

2）每个n-余挠模是内射的；

3）如果N∈Cn，则fdRN≤n；

4）对任意的M，W∈Cn，

成立.特别地，如果

则上述各条还与以下陈述等价：

5）对任意的W∈Cn∩Fn，W是内射的.

证明1）⇔2） 由文献［14］的推论6.4.

2）⇒4）和2）⇒5）是显然的，由定理1即可得4）⇒3）.

3）⇒2） 设W是n-余挠模，且设

是正合列，这里E是内射模，则C是也是n-余挠的.由假设fdRC≤n，从而正合列是分裂的，故W是内射模.

5）⇒1） 用反证法.如果存在一个R-模满足其平坦维数超过n，不妨假设存在一个R-模M满足fdRM＝n＋1.由文献［14］的定理3.4可知，存在正合列

其中A是n-余挠的且满足

则

由假设，A是内射摸，从而给出的正合列是分裂的.因此，fdRM≤n.显然，这是一个矛盾，从而

推论1对环R，以下陈述是等价的：

1）R是Von Neumann正则环；

2）每个余挠模N是内射模；

3）每个余挠模N是平坦模；

4）对任意的余挠模M和N，

下面给出环R的l.Cn.D（R）维数与l.FPD（R）维数的关系.

定理5对任意环R，都有

特别地，如果

则对任意的

证明设l.FPD（R）＝k＜∞且M∈Fn.由文献［25］中的命题6可知

故

从而

如果

则存在一个R-模M满足

因此，存在一个R-模N满足

又因为M∈Fn和l.Cn.D（R）≥m，则

等价地，l.Cn.D（R）＝l.FPD（R）.

推论2设n≥1，R是环，有：

1）如果l.FPD（R）＝0，则每个R-模是n-余挠的；

2）交换环R是完全环当且仅当每个R-模是n-余挠的.

下面研究左完全环与l.FPD（R）维数的关系.文献［3］定义了R的左弱finitistic维数：

引理1对环R，以下陈述是等价的：

1）l.FFD（R）≤n；

2）Fn＋1＝Fn；

3）Cn＋1＝Cn.

从而，l.FFD（R）＝0当且仅当每个余挠左R-模是1-余挠的.

证明1）⇒2）⇒3）是显然，下面只证3）⇒1）.设M是R-模满足

如果s＞n，不失一般性，假设s＝n＋1.由条件可知，对任意n-余挠模W，

成立.由定理1可知

这是一个矛盾，故

即

定理6设n≥1.对环R，以下陈述等价：

1）l.Cn.D（R）＝0，等价地，每个模是n-余挠模；

2）对任意模M∈Fn，M是投射的；

3）对任意模M∈Fn，M是n-余挠模；

4）R是左完全环且l.FFD（R）＝0；

5）l.FPD（R）＝0.

证明1）⇔2）⇔3） 运用定理3即可.而4）⇔5）是显然的.

1）⇔4） 运用文献［17］的命题3.3.1和引理1即可.

定义2称环R为左Cn-遗传环，即指：如果每个n-余挠模的商模是n-余挠的，等价于

定理7设n≥1，则对环R，以下陈述等价：

1）R是左Cn-遗传环；

2）对任意模M∈Fn，pdRM≤1；

3）任意模M∈Fn，c ndRM≤1；

4）每个内射模的商模是n-余挠模；

5）对任意R-模M，E（M）／M是n-余挠模，这里E（M）是M的内射包；

6）对任意R-模M，E（M）／M是n-余挠模，这里E（M）是M的n-余挠包；

7）每个投射R-模P的子模N∈Fn－1是投射模.

证明1）⇒4）和1）⇒6）⇒5）是显然的，而1）⇔2）⇔3）由定理3即得.

4）⇒1） 设0→N→W0→W1→0正合列，其中W0是n-余挠模.设E是W0的内射包.记

则可得如下行是正合列的交换图

故

是正合的.对任意R-模N∈Fn，由假设可知

成立，故可由

推出

即W1是n-余挠的.

5）⇒4） 设0→K→E→C→0正合列，其中E是内射模.记E（K）⊆E是K的内射包，则存在R-模E0满足

故

由假设可知，E（K）／K是n-余挠模，从而C是n-余挠模.

4）⇒7） 设P是投射R-模，N∈Fn－1是P的一个子模，且X是任意R-模，则存在正合列

其中，P／N∈Fn，E是内射模.由假设可知，C是n-余挠.对任意α∈HomR（N，C），考察如下行是正合列的交换图

则由命题1可知，存在 β∈HomR（P，C）满足

由于P是投射模，存在 γ∈HomR（P，E）满足

则

也满足

则

是正合列，则

因此，N是投射模.

7）⇒1） 设W是n-余挠R-模，N是W的子模.对任意的A∈Fn，存在正合列0→K→P→A→0，其中P是投射模且K∈Fn－1.由假设，K是投射模.对任意的 α∈HomR（K，W／N），考察如下行是正合列的交换图

则存在同态

使得

由假设可知，W是n-余挠模且A∈Fn，则由命题1可知，存在同态

满足

则

是正合列.由于

W／N是n-余挠模.

推论3对环R，以下陈述等价：

1）l.C1.D（R）≤1；

2）每个内射模的商模是1-余挠模；

3）每个投射模的平坦子模是投射的.

定理8设n＞1，R是环，则以下陈述等价：

1）l.Cn.D（R）≤1；

2）l.C2.D（R）≤1；

3）l.FPD（R）≤1；

4）l.C1.D（R）≤1且l.FFD（R）≤1.

证明1）⇒2） 显然.

2）⇒3） 设M是R-模满足k：＝pdRM＜∞.如果k＞1，则存在R-模N满足pdRN＝2.由假设，pdRN≤1，这是一个矛盾，故k≤1.因此

3）⇒4） 如果M∈F1，则存在正合列

这里F是投射模，K是平坦模.由文献［25］的命题6可知

从而

由假设，pdRM≤1，故K是投射模.因此

如果M∈F2，由定理7，fdRM≤pdRM≤1.因此，

故由引理1可得

4）⇒1） 由于l.FFD（R）≤1，则C1＝Cn.再次运用引理1可得

如下定理表明了左遗传环与左Cn-遗传环的差距.

定理9设n≥1，则对环R，以下陈述等价：

1）R是左遗传环；

2）R是左Cn-遗传环且w.gl.dim（R）≤1；

3）R是左C1-遗传环且w.gl.dim（R）≤1；

4）R是左Cn-遗传环且w.gl.dim（R）＜∞；

5）R是左Cn-遗传环且w.gl.dim（R）≤n.

证明3）⇒1） 由定理4，每个1-余挠模是内射的，故R是遗传环.

1）⇒2）⇒3）和2）⇒4）是显然的，5）⇒1）类似于3）⇒1）.下证4）⇒5）.由上述讨论，当n＝1是显然的.现在假设n＞1.如果

则存在模M∈Fk.设B是M的第（k－n）阶合冲，则fdRB≤n.由定理7，fdRB≤pdRB≤1.因此

从而n≤1，这显然是个矛盾.从而k≤n，也就是说，w.gl.dim（R）≤n.

由文献［26］的定理90可知，一个Noether整环R是APD当且仅当dim（R）≤1，从而有：

定理10设R是Noether整环满足

证明由文献［27］可知

因此，由定理8，R是C2-遗传环.

由文献［11］的引理3.6及文献［12］的推论6.4可知，整环R是APD当且仅当R是C1-遗传整环.由文献［25］的命题6和文献［12］的推论，有如下推论.

推论4整环R是APD当且仅当

虽然整环R是C1-遗传环当且仅当R是APD，但C1-遗传环却未必是几乎完全环.

例3也可以举出C1-遗传环但不是几乎完全环的例子.事实上，设D是APD但不是域，则D不是完全环，从而R＝D×D是C1-遗传环，则I＝（D，0）≠0是R的理想.则D≅R／I是R的真商环，但不是完全环.因此，R不是几乎完全环.

致谢西华师范大学2017年度博士科研启动专项项目（17E087）对本文给予了资助，谨致谢意.