平面杆件体系几何组成分析的运动学方法1)

舒开鸥 郭子涛 陈 彬 张 雷 樊耀星

(九江学院建筑工程与规划学院，江西九江332005)

平面体系的几何组成分析又叫机动性分析，结构力学教材中只介绍了两刚片规则、三刚片规则和零载法等基本方法[1]，这些方法虽然通俗易懂、方便应用，但只能分析一些杆件不多、构造简单的体系。近年来，有关学者、教师提出了一些新的分析平面体系几何组成的方法[2-5]，这些方法中，有些方法仍然只能分析简单体系，有些方法则太过深奥、繁琐，不适合本科和专科学生学习和应用。本文尝试运用理论力学[6]中运动学的知识分析平面体系的几何组成，试图找到一种既能分析复杂体系又易学习掌握的方法。

1 虚铰和无穷远虚铰的运动学特征定理

1.1 定理一:两刚片(或其扩展部分)在虚铰处速度相等

如图1，刚片I和刚片II由两根链杆AC和BD连接，由于两链杆不平行，故可看成刚片I和刚片II由在两链杆交点O点处的虚铰连接。设刚片I和刚片II在O点(两刚片上或刚片的扩展部分上与虚铰位置重合的点)的速度矢量分别为v O1和v O2，则有v O1=v O2。该定理的证明过程见文献[7]。

图1 虚铰的运动学特征

1.2 定理二:无穷远虚铰(两根平行链杆)连接的两刚片，角速度相等

如图2，刚片I和刚片II由AC和BD两根平行链杆(无穷远虚铰)连接，设刚片I和刚片II的角速度矢量分别为ω1和ω2，则有ω1=ω2。该定理的证明过程见文献[7]。

图2 无穷远虚铰的运动学特征

2 运动学方法分析平面杆件体系几何组成的思路

杆件体系的几何组成分析，又叫机动性分析，本质是考察体系中各刚片之间或者各结点之间有无相对运动的可能，因此可考虑利用运动学的相关理论以及虚铰和无穷远虚铰的运动学特征定理，建立一种杆件体系几何组成分析的新方法。

(1)假设体系可变，并按可能运动的方式，给定体系初始运动参数，如某一个或几个结点(或具有不动点的刚片)的速度v(或角速度ω)。

(2)利用运动学理论(如基点法、速度瞬心法、速度投影定理等)及本文的两个定理求出其余结点(或刚片)的速度v i(或角速度ωi)。

(3)分析v(或ω)是否有非零解，若有非零解则体系几何可变，反之则体系几何不变。

(4)若体系几何不变，求出计算自由度W，即可确定体系多余约束的个数。

3 应用举例

例1分析图3体系的几何组成。

图3 例1的简图

解:(1)O和D点不动，在OCD上利用速度投影定理可知C点也不动，设刚片OAB绕O点转动的角速度为ω，则A点及该刚片扩展部分上M点的速度均为ωa，见图4。

图4 运动学方法分析例1体系的几何组成

(2)M点是连接刚片OAB与杆CF的虚铰所在位置，由定理一可得杆CF扩展部分上与M点重合的点速度也为ωa，于是杆CF角速度为

由于平行链杆连接，由定理二可知杆AI，EI，CG与杆CF角速度相等，均为ω/4。同理，杆CE，FI，GH与刚片OAB角速度相等都为ω，可得E点速度为2ωa，于是刚片DEH的角速度为

(3)由A点速度可得杆AC角速度为w/2，由定理二可知杆AC，BF，GI与刚片DEH角速度相等，即

比较式(1)和式(2)，得ω=0，可知连接于O，C和D点(已知的不动点)的所有刚片和杆不能动，在此基础上易知其余杆都不动，即体系为几何不变体系。体系的计算自由度W=−1，有一个多余约束。

例2分析图5体系的几何组成。

图5 例2的简图

解:(1)点A，B，C和D可分别沿垂直各点支座的方向运动，故刚片AEF，BFG，CHG和DEH的速度瞬心分别在直线AA′，BB′，CC′和DD′上，见图6，设结点A速度为v，在AFG上利用速度投影定理，可得刚片BFG角速度。

图6 运动学方法分析例2体系的几何组成

(2)由定理二可知刚片BFG和DEH角速度相同，于是可得

根据式(4)及A点速度，可确定刚片AEF速度瞬心O的位置及其角速度，进而可求得点F、E、D沿竖向的速度

(3)同理可得

根据v B及v F y可确定刚片BFG速度瞬心K的位置及其角速度

比较式(3)和式(5)，得

当hl=4ab时，v可不为0，即各结点能动，体系几何可变且绝对自由度S=1，体系计算自由度W=0，故有一个多余约束。当hl4ab时，v必为0，即各结点不动，体系几何不变且无多余约束。

例3分析图7体系的几何组成。

图7 例3的简图

解:(1)OA杆和EF杆分别可能绕点O和F转动，可设结点A和E的速度分别为v和v′，并设EF杆角速度为ω，见图8，由于D，E和F三点共线且F点固定，故D点速度v D只能垂直于DEF，在ED上以E点为基点，由基点法可得

图8 运动学方法分析例3体系的几何组成

(2)分别在AC和CD上利用速度投影定理，可得C点速度v C分别沿AC和CD方向的投影v CA和v CD

进而可得

(3)各结点速度均已求出，由于v，v′和ω均可取任意值，故体系为可变体系，且绝对自由度S=3，计算自由度W=3，因此无多余约束。

4 需要说明的问题

(1)对于可变体系，运动学方法不能进一步分析是几何常变还是几何瞬变，实际上大多数时候也不用分析，故统称几何可变[1]。

(2)对于可变体系，可根据其独立运动参数的个数，确定其绝对自由度S，再结合计算自由度W，可进一步确定其多余约束的个数为:S−W。如例2中，当hl=4ab时，v可不为0，是可变体系，体系只有一个运动参数v，因此S=1，结合体系W=0，故多余约束有S−W=1个。又如例3中，因为有3个独立运动参数v，v′和ω，故S=3，又因为W=3，所以多余约束有S−W=0个。

(3)对于不变体系，只需一个初始运动参数v或ω即可求出全部v i或ωi；但对于可变体系，往往则需多个初始运动参数才能求出全部v i或ωi。由于事先并不确定是哪种体系，因此应根据可能的运动方式，适当多设几个初始运动参数。如例1中，可设结点A和E的速度分别为v和v′，见图9，则有

图9 多初始运动参数分析例1

由于平行链杆连接，由定理二

比较两式，有:v=v′=0，即结点A和点E的速度均为0，不难得出其他结点速度也均为0。

5 结束语

理论力学是结构力学的先学课程，利用已掌握的理论力学中的运动学理论分析平面杆件体系的几何组成，不仅能帮助学生更好理解这一内容，还能解决很多利用两刚片规则、三刚片规则等基本方法不能解决的问题，可作为今后结构力学教学及工程实践的有益补充。