材料力学中小变形假设辨析

李 敏 李依伦

∗(北京航空航天大学航空科学与工程学院,北京100191)

†(北京航空航天大学中法工程师学院,北京100191)

作为理工科机械大类培养体系中的专业基础课，材料力学课程首次引入了“变形”的概念，与之相应地，在研究对象与分析方法方面务求简单：分别对应于几何上的杆件，材料性质方面的连续、均匀、各向同性假设，以及基于观察与假设的分析模式。尽管材料力学课程在绪论中已经非常明确给出材料连续、均匀、各向同性的假设，但在后续章节甚少提及，反倒是材料的线弹性假设与分析状态的小变形假设被反复强调。相对而言，材料线弹性假设物理含义与作用范围易于被学生理解掌握，而作为分析状态的小变形假设由于其表观形式各异不易分辨，即便是材料力学专业教师，对于“多大的变形可以看作小变形”这一问题的回答在思路与结论上也有较大差异。

本文首先列出其定义和出现在教科书中的内容，在此基础上分析与说明其内涵与规则，作为材料力学教学参考。

1 变形的定义与常见教学内容

小变形假设与材料基本假设不同，后者在所有力学教材的开篇部分给出明确定义，前者在一些教材中有明确定义[1-4]，也有教材通篇都没有给出明确定义但在其分析过程中使用其性质。在给出小变形假设定义的教材中，其出现的位置也有差异：材料力学教材出现小变形假设往往在桁架节点位移分析章节[1-2]，而弹性力学教材或工程力学教材往往紧随材料的基本假设[3-4]。

尽管小变形假设在不同教材中给出的表述不完全相同，但核心思想一致，此处表述为：物体内各点的位移远小于物体的几何尺寸，因而应变与转角都远小于1。可以按原始几何位形进行力平衡分析；并可忽略应变与转角的二阶微量，从而使得几何方程线性化。

在材料力学教学内容中，以下几个部分均明确指出使用了小变形的性质：

(1)桁架节点位移分析，典型模型如图1所示，该方法也常被称为切线代圆弧；

(2)梁弯曲挠度分析中挠曲轴微分方程的简化，由式(1a)到式(1b)；

(3)平面应变状态分析，典型变形协调如图2所示，图中由小变形假设支撑的切线代圆弧体现在式(2a)、原始几何构型体现在式(2a)～式(2c)、角度代正切体现在式(2c)。

图2 平面应变状态分析典型模型

除此之外，材料力学教学内容中还有一些章节涉及到小变形假设但并没有详细分析，例如：

(1)应变的定义；

(2)材料应力应变曲线的真实应力；

(3)梁轴线弯曲变形时忽略轴向位移与挠度沿截面高度的变化；

(4)广义胡克定律中切应力对正应变的影响；

(5)变形体虚功原理中虚位移的定义。

这些内容对于材料力学专业教师非常熟悉，这里不再赘述。

2 小变形定义的辨析与实例

在材料力学教学内容中小变形假设经常出现，但相对于材料线弹性假设，其每次出现时“面貌”并不完全一致，尽管多数情况二者同时出现。首先需要说明线弹性假设与小变形假设在定义上并无关联，前者是材料使用范围设定，后者是变形状态范围。其次，在材料力学绝大多数分析状况下，线弹性与小变形总是关联出现：以常见的金属材料为例，其屈服应力与弹性模量之比(屈服应变)远小于1(见表1)，而工程结构服役状态常见应变小于0.1%量级，既然如此，在材料线弹性范围还需要强调小变形假设吗？另外一个常见问题是：材料力学的研究对象是一个方向尺寸远大于另外两个方向尺寸的杆件，小变形假设中提及的远小于结构原始尺寸是哪个方向的尺寸，特别是弯曲梁，挠度应该与横向的高度还是长度进行比较？为了说明这类问题，这里选取了几个经典讲授内容进行进一步讨论，便于加深对于小变形定义的理解。

表1 航空常见金属材料力学性质

2.1 零力杆的特殊状态分析

对于多杆变形协调问题，采用基于小变形假设的切线代圆弧方法求解桁架节点位移是常规模式，其中图3(a)所示“零力杆”概念是经典教学内容，图3(b)与图3(c)是其变形协调与受力分析图，均为基于原始几何构型的分析模式。

如果两杆夹角θ逐步减小，甚至接近0°，此时利用切线代圆弧的变形协调如图3(d)所示，很明显此时不能再使用基于原始几何构型的切线代圆弧模式求解节点位移，即使杆件应变远小于1也会造成较大的偏差。究其原因在于此例中特殊几何构型的力平衡，即使杆件变形的绝对量Δl1或相对量Δl1/l1很小，甚至是Δθ也很小，仍会出现该问题：对于此种特殊几何构型，采用基于原始几何构型的力平衡模式(如图3(c))与真实的力平衡模式(图3(e))有较大的差异。换言之，小变形假设是否成立并不仅仅取决于变形量的大小，更归结到是否可以采用基于原始几何构型进行力的平衡分析。

图3 零力杆的特殊状态分析

2.2 组合变形分析

在组合变形部分有图4所示的载荷状况，常规讲授内容中，危险截面上的应力是由F1引起的弯曲正应力与F2引起的拉压正应力叠加而成。这里有一个隐含的小变形假设条件，即弯曲挠度w很小，小到多少算是满足要求？如果基于变形后的几何位置考虑w的影响，通过简单的截面内力分析可知，其截面弯矩最大值(中点)

图4 组合变形的载荷状态

相比不考虑w影响的基于原始几何构型的最大弯矩F1l/4，衡量满足小变形假设的挠度大小，不仅与w/l相关，也与F2/F1有关，反而与截面横向几何尺寸的高度h没有直接关系。

2.3 一端固支一端铰支细长压杆稳定性问题

在压杆稳定性常规教学内容中，边界条件为一端固支一端铰支的状况相比两端铰支状况有其特殊性：弯矩表达式中出现垂直方向约束力(如图5(a)与图5(b)中FR)。采用类比方法求解时指出距铰支端约0.7l处为拐点(图5(c)中C点)，而后基于C点弯矩为零的条件转化为两端铰支模式如图5(d)。需要指出，与图5(c)不同，此时图5(d)中C点与D点处于同一水平线，其本质就是忽略了垂直方向约束力FR。

图5 一端固支一端铰支细长压杆的稳定性问题(续)

图5 一端固支一端铰支细长压杆的稳定性问题

为了考察该处理方案的依据，可以根据图5(c)列出BC段的力平衡方程

正是由于w/l<<1，所以相比Fcr，垂直方向约束力FR足够小，这是问题简化的基础。在基于小变形假设的该问题分析中，挠度w足够小的比较标准是轴向长度l而不是横向尺寸h。

2.4 弯曲梁轴向位移与载荷方向影响

由于梁长度的放大效应，在工程实际问题中梁的挠度与梁的横向尺寸往往都是可比的，甚至大于梁的横向尺寸，相对于拉压变形中轴向变形大小的判断，符合小变形假设的挠度大小在材料力学教材中并无明确的标准，那么挠度达到什么程度还能使用小变形假设而不会对问题的简化造成明显影响？这里采用悬臂梁的模型进行探讨。

尽管梁变形的挠度不小，但梁的轴向变形ΔA相对梁的轴向长度l还是高阶小量，水平方向位移ΔA也称为曲率缩短，通过挠曲轴总长与其水平轴投影之差进行计算[1]，通用计算公式是泰勒展开的近似表达

对于自由端受集中力的悬臂梁，得出

在材料力学教学内容中，无论是强度还是刚度问题，梁内弯矩是关键。长度为l的悬臂梁，对自由端承受集中力F的情况，基于原始几何位形给出的梁内最大弯矩Mmax=Fl与基于变形后几何位形给出的最大弯矩Mmax=F(l−Δ)相比，由于Δ是l的二阶小，所以基于小变形假设的原始几何构型分析力平衡不会造成明显偏差，此时采用线性分析仍然可以获得精准的结果。

如果改变受力状况，在自由端同时存在水平载荷(如图6)，与2.2节类似，梁内最大弯矩

图6 悬臂梁自由端受垂直与水平集中力

与基于原始几何构型的弯矩F1l相比，分析结果的精度不仅与w/l相关，也与F2/F1有关。

为了在教学过程中给出直观的认识，这里以F1与F2的合力始终垂直于变形后的轴线为例研究结果的精度(此为机翼翼面升力模式)。

如果载荷始终垂直于轴线，以基于原始几何构型的线性状态估算挠度与转角，则

忽略轴向位移Δ，最大弯矩为

其中F1l2/(2EI)正是在原始构型下梁自由端转角，如果考虑工程误差为5%，即(2/3)[F1l2/(2EI)]2=0.05，则F1l2/(2EI)=0.2739，或θ(l)=15.7°，即自由端最大弯曲角小于15°时，使用小变形进行计算可保证工程精度。由于弯曲角不直观，所以根据悬臂梁自由端受集中力状态w(l)/l=F1l2/(3EI)，可以估算此时w(l)/l=[F1l2/(2EI)](2/3)=0.1826，即最大挠度小于梁长度18%时，基于小变形假设的分析可保证工程精度。

事实上，除了弯矩的差异，以上这种挠度较大的情况可能涉及小应变大位移(小变形几何非线性)，尽管不可能在材料力学的教学中讲解这些理论细节，但给出与真实情况结果的比较对于教学还是有益的。

图7是利用有限元的线性与非线性分析模块对悬臂梁自由端受载几类情况结果的对比，横轴为挠度与梁长度(半展长)的比值，纵轴为挠度相对偏差。其中位移下标0,1,2分别表示基于小变形的线性分析结果，载荷方向不变的非线性结果，以及考虑力跟随(载荷始终垂直于变形后的梁轴线)的非线性结果，可以发现与上面的近似理论分析结果吻合较好(载荷方向保持不变的情况，由于在梁轴线方向有拉力分量，其几何刚度增强了梁的弯曲刚度，导致结果偏差更大)。图8是类似的情况，区别在于此时外载为均布载荷模式，其非均布载荷对应于工程上高空长航时超大展弦比无人机(如图9)的变形分析(半展长20 m，翼厚小于0.1 m)，当翼尖挠度小于半展长15%时，线性分析结果完全满足工程精度。

图7 自由端集中载荷下挠度相对偏差

图8 分布载荷下挠度相对偏差

图9 高空长航时超大展弦比无人机

3 小结

与材料的线弹性假设相比，小变形假设涉及的问题更加复杂，而且不可能在材料力学本科教学中涉及柯西应变张量与格林应变张量(或阿尔曼西应变张量)的对比，但是往往学生们会问及多大的变形属于小变形，以及不同模式下与变形比较的原始尺度。本文期望通过几个材料力学教学实例说明小变形假设重在是否可以采用原始几何构型进行问题的分析而不仅仅是变形较小。本质上，小变形假设与材料线弹性假设“定义式”的表征不同，更多体现在保证分析结果的准确性上。