高考数学三角函数的热点问题探析

杨洁

【摘要】三角函数是高中数学的重要组成部分，也是高考的重要考点，所以我们需要加强对此方面的关注程度.我们通过调查发现当下很多学生无法在考试中发现三角函数相关习题的考查点，出现严重失分的现象，所以本文总结了高考数学中三角函数方面的热点问题，指出相关习题的考查内容与解题方式，以达到对学生解答三角函数相关问题有一定的启示作用的目的.

【关键词】高考;三角函数;热点问题;分析

教育部越来越重视学生对知识基础概念的掌握与运用，对于这一点，我们从近些年高中数学考试中便可以发现一些端倪.三角函数是高中知识的重点内容，是高考的重要组成部分，从这几年的高考试卷中我们发现，关于三角函数习题的设置，集中于基础概念、三角恒等变换等内容.因此，学生必须理解并掌握三角函数的理论知识，遇到三角函数相关习题后，可以快速掌握出题人的意图，选择科学的方法解答问题.以下将指出高考中三角函数方面的热点问题，在此基础上给出解答相关问题的方法.

一、三角函数热点问题

（一）常规题

例题1 （2018全国Ⅲ理）若sin α=13，则cos 2α=（  ）.

A.89   B.79   C.-79   D.-89

解析 本题利用二倍角公式可以得出答案，cos 2α=1-2sin2α=1-2[]9=7[]9，所以本题选择B.

（二）公式的正用与逆用

例题2 （2019江苏）已知tan αtanα+π4=-23，则sin2α+π4的值是.

解析 展开已知条件给出的式子，tan αtan α+11-tan α=tan α（1-tan α）tan α+1=-23，为了简化计算步骤，防止计算过程中出错，在这里我们使用换元法，用x替换等式中的tan α，在等式两边交叉相乘后得到等式3x2-5x-2=0，解得x 1=-13，x 2=2，即tan α=-1[]3，或tan α=2.展开sin2α+π[]4得22（sin 2α+cos 2α），这里可以使用万能公式求解，但是会增加求解过程，所以本题使用齐次思想，将等式转换成22×2sinαcosα-sin2α+cos2αsin2α+cos2α=22×2tan α-tan 2α+1tan 2α+1，接下来将tan α=-13或tan α=2分别代入式子中，我们发现结果均是210.故填2[]10.

（三）三角函数方程与零点问题

例题3 （2018全国Ⅲ理）函数f（x）=cos3x+π6在[0，π]中的零点个数为.

解析 本道题求的是函数在[0，π]中的零点个数，可以使用两种方法：

①因为x∈[0，π]，所以3x+π6∈π6，19π6，令3x+π6分别等于π[]2，3π[]2，5[]2π，均可以得到一个零点.

②令cos3x+π6=0，则3x+π6=π2+kπ3x=π3+kπ，x=π9+kπ3，因为x∈[0，π]，所以k可以取0，1，2.采

用第一种做法与第二种做法均可以求出函数有3个零点.故填3.

（四）三角函数的图像与性质

例题4 （2018天津理）将函数y=sin2x+π5的图像向右平移π10个单位长度，所得图像对应的函数（  ）.

A.在区间3π4，5π[]4上单调递增

B.在区间3π4，π上单调递减

C.在区间5π4，3π2上单调递增

D.在区间3π2，2π上单调递减

解析 阅读题干，图像向右平移π10个单位长度，按照左加右减的规律，得到平移后的图像对应的函数为y=sin2x-π10+π5=sin 2x.图1为y=sin 2x的函数图像，通过图像直接进行判断，发现选项A的表述与函数图像一致.故选A.

例题5 （2019天津文）已知函数f（x）= Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，|φ|<π）是奇函數，且f（x）的最小正周期是π，将函数y=f（x）的图像上所有点的横坐标增加到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为g（x），若gπ4=2，则f3π8=（  ）.

A.-2   B.-2   C.2   D.2

解析 从题目提供的已知条件中我们了解到f（x）=Asin（ωx+φ）是一个奇函数，暗示着函数中的φ一定是π[]2的偶数倍.题干给出|φ|<π的条件，在此种情况下φ只能取0.根据掌握的条件函数表达式为f（x）=Asix ωx，又函数的最小正周期是π，故通过周期公式T=2πω得2πω=π，得出ω=2，因为函数式中ω是正数，所以确定ω就是2.此时函数式中只剩A一个未知量了，根据题干条件“将函数y=f（x）的图像上所有点的横坐标增加到原来的2倍”，横坐标变成原来的2倍代表函数周期变成原来的2倍，则ω相应地减少一半，在条件改变后得到的函数解析式g（x）=Asin x.结合已知条件“gπ4=2”，得g（x）=Asinπ4=2A=2，函数f（x）中的未知量全部解出来了，f（x）=2sin 2x，此时将3π[]8代入函数式中，f3π8=2sin3π4=2，因此本题应该选择C.

（五）综合应用

例题6 （2019全国Ⅰ理）关于函数f（x）=sinx+sin x有下述四个结论：

（1）f（x）为偶函数;

（2）f（x）在区间π[]2，π单调递增;

（3）f（x）在[-π，π]有4个零点;

（4）f（x）的最大值是2.

以上结论中正确的编号是（  ）.

A.（1）（2）

B.（2）（3）

C.（2）（4）

D.（1）（4）

解析

分析第一个结论，函数是否为偶函数，由偶函數具备f（-x）=f（x）的特性，分析函数f（x）=sinx+sin x，sinx与sin x分别含有绝对值符号，所以对x添加负号不会对函数值造成影响，结论（1）是正确的.

从结论（2）给出的条件，我们知道x的范围在区间π[]2，π上，函数中的自变量x在此区间中可以去掉sin|x|的绝对值符号.因为x在区间π[]2，π内时|sin x|是正数，绝对值符号添加与否不会改变函数的结果，所以|sin x|的绝对值符号也可以去掉.函数的两个绝对值符号去掉后，函数表达式为f（x）=sin x+sin x=2sin x，该函数在π[]2，π范围中单调递减，所以结论（2）不正确.

结论（3）提问函数f（x）的零点数量，我们使用0作为分界点研究一半区间内的零点数量，这样可以快速判断函数在整个区间内的零点数量.结合函数解析式先计算f（0），因为f（0）=sin|0|+|sin 0|=0，所以可以直接排除此选项，因为f（x）=sin|x|+|sin x|本身就是偶函数，以零为分界点的两个区间零点数量应该相同，所以函数在[-π，π]中的零点个数应该是奇数，与结论⑶存在出入，所以此结论是错误的.

分析结论（4），因为函数f（x）=sin|x|+|sin  x|是偶函数，且当x在π[]2，π内时f（x）=2sin x，所以函数的最大值就是2.

因此本题应该选择D选项.

二、提高学生解题能力的建议

近些年高考出题注重学生对数学概念与公式的把控，三角函数作为高考数学的必考知识点，占据一定的分数，从往年高考数学试卷学生在三角函数方面得分的表现，我们不难发现三角函数属于学生的薄弱项，大部分学生不能灵活地使用学习过的概念、性质与公式处理问题，以下将提出解决相关问题的方法.

（一）熟记基础概念与公式

灵活应用所学知识解三角函数问题的前提是掌握三角函数的定义与公式.我们对往年高考试卷在三角函数方面的习题进行深入的研究与分析，发现当下命题组在三角函数习题设置方面，主要通过正弦定理和余弦定理转换边角关系.解答高考试卷内的三角函数试题，需要运用三角函数公式，鉴于很多学生容易遗忘三角函数公式，所以采用科学的方式记忆公式与三角函数概念变得异常关键，学生可以使用象限作为辅助工具记忆相关知识，第一、二象限角的正弦值为正，第一、四象限角的余弦值为正等，防止正弦、余弦转换时因为符号问题，无法得出正确的结果.

（二）掌握三角函数性质与三角形边角的关系

三角函数相关问题注重性质与函数图像的考查.解答三角函数图像与性质的问题时，我们一般使用数形结合的答题方式，使用五点画图法或是平移，确定函数图像，在此基础上分析函数性质.高考在三角函数性质考查方面，一般常出已知函数性质与图像，在此基础上提出问题的题，还有一类是已经函数表达式研究函数性质.

遇到三角形边角关系的问题时，我们一般使用余弦定理、正弦定理，将问题中混杂边角的内容转换成单一的边问题或角问题，这是解答三角形边角关系问题的思路.其中正弦定理与余弦定理是完成三角形边角转化的桥梁，学生必须对其拥有正确的认识，在平时应加强训练.

三、结语

高考数学重视学生对基础知识的掌握情况，三角函数方面的知识集中在知识应用性与综合性层面的考查，虽然当下三角函数的知识逐渐与其他类型的知识相互结合，但是高考对三角函数知识的考查仍然集中在基础性质方面.当下学生应该夯实基础知识，在掌握三角函数性质与图像的基础上，还需要按照高考出题难度于课下勤加练习，由此强化自身在解三角形与三角恒等变换方面的能力.

【参考文献】

[1]刘憶多.高考中一类三角函数问题的解法探析[J].科学咨询，2015（37）：80.