平面图形概念教学的“动”与“静”

李丹 王俊亮

摘要：小学阶段，平面图形的定义往往以静态的描述为主，而无论是空间观念的培养，还是图形意识的形成，都需要学生经历观察、抽象、想象和描述等活动，并在活动中形成对平面图形本质的认识。小学阶段平面图形的教学，应紧扣教材“静态”定义，辅以操作性的“运动”视角：静中求动，在“动”中建构概念;动中取静，在“静”中突出本质;动静结合，在“用”中融会贯通。

关键词：平面图形;概念教学;动态;静态

“平面图形”是小学数学课程“图形与几何”领域中非常重要的一部分内容。现行小学数学教材对平面图形的定义往往以描述性语言为主：给出若干生活中的实物图，从中抽取某些图形，然后明确“像这样的图形就是……”。这样静态的描述性定义不能凸显图形的性质以及知识之间的联系。教学中，可“静中求动”“动中取静”“动静结合”，帮助学生建构平面图形概念。

一、静中求动：在“动”中直观建构

严格而言，有关图形的概念是提炼到抽象层面的数学对象，这样的概念是一种理念上的存在。而高度抽象的概念对于小学生而言是难以理解的，不能让学生很好地感受这些概念的本质。小学生对平面图形的认识仍然以感性认知为主、抽象思维为辅。对此，与其让学生“说千遍”，不如让他们“做一遍”，在“动”中经历知识的产生过程，建构完整、准确、“有血有肉”的平面图形概念。

例如，“射线”和“直线”都是无限长的，是纯数学抽象的产物，在现实生活中缺乏有效的直观形象支撑，诸如探照灯、铁轨等都是用有限比喻无限，不能真的达到无限。同时，学生对于“直线”和“射线”的表达只能在有限的纸面上，在有限中表示无限，这对学生的符号化能力有着较高的要求。于是，教学“射线、直线和线段的认识”这部分内容时，可借助平移运动让学生经历从点到线的过程。

师（在黑板上画一个点）看！这是一个点。如果把这个点向右平移，并保留每个位置上的点，你会看到什么？

生这些点连成了一条线段。

师你怎么知道它能连成一条线段的？

生以前学过，直直的、有两个端点的就是一条线段。

师如果这个点继续往右平移并保留每个位置上的点呢？

生那将会是一条特别长的线段。

师想象一下，如果这个点一直往右平移，那它还是一条线段吗？

生我觉得不是线段。因为虽然有的线段很长，但还是能测量出长度;如果这个点一直往右延伸的话，我们就无法测量出它的长度了。

师是的，所以当线段的一端无限延伸，就不是线段了，它有一个新的名字：射线。说说看，你觉得射线是什么样的？

生把线段的一端无限延长。

师如果两端都无限延伸，它还是射线吗？

生应该不是了。

生那就是直线了。

师你说得没错，这是直线。（课件显示线段、射线、直线图）比较一下射线、直线和线段，它们之间有什么联系和区别？

生它们都是直直的。

生线段有两个端点，射线有一个端点，而直线没有端点。

生射线和直线，都可以无限延伸。只不过射线是往一端无限延伸，而直线可以往两端无限延伸。

生我感觉直线最长，射线其次，线段最短。

生线段是可以测量出长度的，但是我们没有办法测量出射线和直线的长度，所以无法比较它们的长度。

生直线、射线、线段很像，都是直的。从直线当中截取一部分就能得到射线和线段;也可以把线段的一端无限延伸得到射线，两端无限延伸得到直线。

建构主义学习观认为，学生的数学学习是一种自主的、能动的、有意义的建构过程。而经历数学知识形成的过程，有助于学生形成知识的整体建构。学生学习图形，并不是一味地识记图形的形状、名称、性质或量的计算公式，而要通过具体的操作活动去感知、发现，建构正确的空间形式和关系。从“线”的概念特质出发，直线和射线都是动态的概念。“无限延伸”也是动态的，它指向“一端”或“两端”的永无止境的向前延伸，画出来的、表示出的直线和射线永远只是一部分。因而，把原本教材中和生活中静态的“直线”“射线”“线段”都看成“点”的平移运动的结果，引导学生想象“如果这个点一直往右平移会怎么样”，由此感受到“线”是“点”的移动轨迹。化静为动，让学生经历直线、射线、线段的产生过程，于动态的情境中建构直观的概念。

二、动中取静：在“静”中突出本质

图形的运动是研究图形性质和探索图形面积计算的重要工具。在平面图形概念中，常常会遇到一个概念有着多种形状和位置。以“角”为例，把角看作射线围绕顶点旋转出来的图形，角的大小就可以看作运动过程中的连续变量。在这个动态的过程中，会产生锐角、直角、钝角、平角、周角等许多相关的子概念，并且它们表现出的非本质属性各不相同。教师在教学中需要“削枝强干”“动中取静”，突出图形概念的本质属性。

例如，教学“三角形的面积计算”时，教师让学生通过对三角形的纸片进行操作，探究三角形面积的计算方法。

师同学们都是怎么计算三角形面积的？

生（展示方法，如下頁图1）我把两个一模一样的三角形拼成一个平行四边形，两个三角形的底就是平行四边形的上底和下底，三角形的高就是平行四边形的高，所以求出平行四边形的面积后除以二就是三角形的面积。

生（展示方法，如图2）我把三角形横着从中间（中位线）分成两半，然后把上面的小三角形竖着分成两半，再旋转一下拼成一个长方形。长方形的长是三角形的底，长方形的宽是三角形高的一半，所以三角形的面积就是底乘高的一半。

生（展示方法，如图3）我是在三角形内部画一条高，把这个三角形分成两个小三角形。然后，再过三角形的顶点画出三角形底边的平行线和高的两条平行线，这样一连就是长方形。从图上我们看到左边小三角形的面积是左边小长方形面积的一半，右边小三角形的面积是右边小长方形面积的一半，合起来就是长方形面积的一半，长方形的底是三角形的底，长方形的高是三角形的高，所以三角形的面积就是底乘高除以二。

师大家的方法有很多，这么多种方法之间有什么共同之处呢？

生无论是什么方法，求三角形的面积都是把三角形的底和高相乘再除以二。

生他们都是把三角形剪一剪、拼一拼，或是补一补，转化成长方形或者平行四边形，然后再用这些图形的面积除以二。

生我觉得这里都是把没有学过的图形转化成学过的图形，然后再找到它们之间的关系，算出新图形的面积。

……

对于刚刚进入多边形面积学习的学生而言，利用图形的运动展开空间想象是具有一定的学习难度的。“动”具有不确定性，学生不好把握，怎样突破“动”带来的多样变化产生的不确定性呢？小学生对图形的认知遵循着“直觉动作思维—直观表象思维—抽象逻辑思维”的规律，于是，教师设计学习活动，引导学生借助实验操作，展开自主研究。学生利用图形的变化，将三角形转化为平行四边形或长方形，进而推导出三角形的面积公式。这个过程是动态的，而为了让学生发现动态过程中不变的规律，需要抓住平面图形概念的“边界”，让它“静”下来。教师利用板书、课件以及学生自己的作品，定格住操作过程中的关键片段，引导学生发现“求三角形的面积都是把三角形的底和高相乘再除以二”“都是把没有学过的图形转化成学过的图形”。

平面图形概念教学，通过“动”能够多元地、直观地呈现出知识本身的结构，便于学生理解概念;而“静”下来的片段更有利于学生进行观察、对比，发现背后的规律。教师需要以核心问题串联起整个学习活动，“动”中取“静”，引导学生发现“运动”背后那不变的真理，强化对知识本质的理解。

三、动静结合：在“用”中融会贯通

数学对象是明确定义的产物，数学结论又是按照相应的定义与给定的推理规则进行推理的结果，因此，数学对象的性质就完全反映于它们的相互关系。这也是指数学对象的建构实际上是一种整体性的建构活动。教师需要以整体的视野，采用“动静结合”的方法，确定教学目标，预设教学过程。在教学中还要注意从知识体系和学生已有认知结构等多方面理清各平面图形的核心概念和学习过程，使得不同年级平面图形的学习连贯一致又各有侧重，循序渐进又不脱节。

例如，为了让二年级学生真正认识角，教师在观察“静态角”的基础上，从“运动”的角度展开了如下教学：

（教师课件展示图4所示的角的教具，要求学生指出角的顶点和边。）

师要想让这个角变得更大一些，可以怎么做呢？请你从材料袋中选择合适的材料，自己动手试一试。

（学生活动。教师选择学生作品交流。）

师（出示图5）老师把小明同学的作品拍了下来，请同学们看看，角变大了吗？你是怎么想的？

生变大了。

（不少学生点头附和。）

生我觉得角并没有变大，他只是把这个角的边延长了，（用手在角的两边之间画出一道圆弧）角的大小是看这个地方。

师你们听懂他的意思了吗？

生他的意思是，这个角和原来的那个角（用手比画）这个地方是一样大的，只是边延长了。

师哦，老师明白你们的意思了，（用手比画）角是看这里的。这两个角这里是一样大的，你们同意吗？这样吧，我们来比一比这两个角。（手持两个角，缓慢靠近至重合）看，它们一样大吗？

生（齐）一样大。

师如果我们把这个角的两条边再延长一点呢？

生还是跟原来的角一样大。

师如果再延长呢？一直延长到100米、1000米、10000米……呢？

生（齐）还是一样大。

生不管怎么延长，因为两条边叉开的大小不变，角还是原来那么大。

师是的。角的两条边叉开的大小不变，不管怎么延长边，角的大小都是不变的。那如果缩短呢？自己想一想、试一试，再和同桌说一说。

生我觉得不管边怎么缩短，角的大小也是不变的。

师也就是说，不管边是延长还是缩短，只要角的两条边叉开的大小不变，角的大小都是不变的。那怎么才能让这个角更大呢？请你来演示给我们看一看。

（学生把活动角的兩条边向外拉。）

师变大了吗？我们来比一比。

（教师手持两个角，缓慢靠近。）

生（齐）变大了。

师那怎么变小呢？

生（边说边操作）把它的两边向里面慢慢地收。

师是啊，生活中这样的现象也不少见呢，我们来一起看一看吧。

（教师出示闹钟的指针走动、扇子开合、剪刀开合等的动态图。）

“动态角”从不同于“静态角”的层面揭示了角的本质内涵，反映两个方向（两条射线）的差异。通过“旋转”，学生一步步感受到角的两条边位置的变化所带来的角的大小的变化，丰富了对角的认识。同时，在“动态角”的操作过程中，学生还经历了锐角、直角、钝角的产生过程，为四年级的角的再认识以及线与线的位置关系做了铺垫。教师借助“动态”的操作和“静态”的呈现，从两个不同角度去表征，帮助学生在对比中清晰地理解角的本质内涵，使后续角的特征的探索过程变得更加流畅。

“动静结合”在勾连同类型知识之间的关系时也有不错的功效。如六年级复习平面图形时，可引导学生通过梯形上底的变化，建立求平面图形面积的通性通法：把梯形的上底延长至和下底一样长，就能得到长方形（正方形）或平行四边形;把梯形的上底缩短为0，就能得到三角形。在动态变化、静态内化的过程中，学生自然建构起平面图形的认知结构。

*本文系全国教育科学“十三五”规划2020年度教育部重点课题“小学数学核心知识建构的教学研究”（编号：DHA200370）的阶段性研究成果。

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