常微分方程理论在“数学物理方程”课程中的应用

[摘 要] 偏微分方程求解既是“数学物理方程”课程教学的主体内容，又是课堂教学的重难点。求解偏微分方程的方法有很多，如特征线法、波的反射原理、分离变量法、格林函数法、傅里叶变换、拉普拉斯变换等。学会求解一些简单的偏微分方程是数学专业学生学好“数学物理方程”课程乃至为以后继续深造打下基础的关键。因此，揭示偏微分方程求解方法中所蕴含的数学思想，帮助学生系统而深入地掌握求解的方法显得尤为重要。以方程特殊形式解的求解、分离变量法、傅里叶变换法为例，结合具体的定解问题求解来阐述将偏微分方程问题化归为常微分方程问题这一思想在偏微分方程求解中的应用。

[关键词] 研究型教学;数学物理方程课程;常微分方程理论

[基金项目] 2020年度华南农业大学校级线下课程建设项目——数学分析（华南农教〔2020〕32号）

[作者简介] 危苏婷（1990—），女，江西瑞金人，理学博士，华南农业大学数学与信息学院软件学院讲师，主要从事偏微分方程研究。

[中图分类号] O175.24   [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2021）21-0141-04   [收稿日期] 2020-12-10

一、引言

“数学物理方程”课程既是数学与应用数学专业的一门重要专业课，也是物理、力学等理工科专业的基础课程。该课程的研究对象是一些具有实际应用背景的偏微分方程。课程的主要内容是介绍如何将物理、力学和工程技术等应用学科中的现象和实际问题通过数学建模的过程转化为偏微分方程定解问题，求解这些定解问题的基本方法，研究解的性质的技巧，利用理论分析结果解释一些物理现象或解决实际问题。作为一门应用性较强的课程，“数学物理方程”课程的教学目标不仅需要让学生理解和掌握偏微分方程的基本概念、求解方法和理论，更应培养学生运用数学工具解决实际问题的能力，从而提高学生的科学素养。在本科生课堂教学中，如何教会学生求解偏微分方程是教学的一大重点和难点。实际上，求解一些简单的偏微分方程的方法有很多，如特征线法、波的反射原理、分离变量法、格林函数法、傅里叶变换、拉普拉斯变换等。系统掌握这些方法的关键在于深刻理解其中所蕴含的数学思想。本文将以特殊形式解的求解、分离变量法、傅里叶变换方法为例，结合具体的定解问题求解来展示将偏微分方程问题化归为常微分方程问题这一思想在偏微分方程求解中的应用，并启发学生深入思考以下问题：为什么常微分方程理论可以应用于求解偏微分方程;利用分离变量法求解偏微分方程的关键点是什么;傅里叶变换作为一种特殊的积分变化为什么可以用于求解偏微分方程;等等。对这些问题进行深入的探讨，不仅可以使学生加深对偏微分方程知识的理解，而且有助于发现和深刻认识所学的不同数学知识之间的内在联系，进一步提升自己的数学能力。

二、具体实例

在“数学物理方程”课程中，将偏微分方程转化为常微分方程进行处理是求解偏微分方程问题的常用思想之一，由此可见常微分方程理论在求解偏微分方程中起着至关重要的作用。下文将从求特殊形式的解、分离变量法、傅里叶变换三个方面介绍常微分方程理论在求解偏微分方程问题中的应用，并分析其本质思想。

（一）求偏微分方程的特解

“数学物理方程”课程主要研究三类经典的偏微分方程，即波动方程（双曲型方程）、热传导方程（抛物型方程）和拉普拉斯方程（椭圆型方程）。掌握这三类方程的求解方法是“数学物理方程”课程学习的重点之一。众所周知，对于大部分的数学物理方程，我们都无法求出其精确的解析解。但是对于一些方程，我们可以找到具有某种特殊形式的解，如行波解、自相似解、径向对称解等。对这些特解的研究有助于我们更好地了解方程解的性态，进而解释方程所描述的物理现象。下面通过实例说明在求解三类经典偏微分方程的某些特解时，往往需要借助常微分方程理论。

例1：求解齐次波动方程的柯西问题

在上述三个例子中，我们分别研究了三个经典偏微分方程解的存在性。从中我们可以看到，如果假设方程的解满足某种不变性（如传输不变性、自相似性和对称不变性等），则其对应的偏微分方程问题可以简化为相应的常微分方程问题，这样我们便可利用常微分方程理论求得原偏微分方程问题的某种特殊形式解。值得指出的是，以上例子我们得到的结果分别为波动方程的泊松公式、热核函数。这些内容都对研究复杂的非线性偏微分方程有着非常重要的作用。

（二）分离变量法

分离变量法是求解偏微分方程初边值问题的一个重要方法。通俗地说，其核心思想是将方程的解（多元函数）的变量进行分离，即写成若干个只依赖于一个变量的函数之积，由此将偏微分方程的定解问题简化为若干個常微分方程的边值问题。下面我们以弦振动方程的定解问题为例来具体说明这一理论。

分离变量法是求解偏微分方程的混合问题的一个普遍方法，它不仅适用于热传导方程，而且适用于求解波动方程、调和方程，以及一些形式复杂的方程（组）。通过例4可以发现，利用分离变量法求解偏微分方程的定解问题，可以将问题归结为求解常微分方程特征值的问题。例4中所对应的特征值问题的特征函数是三角函数。根据定解条件，需要将解函数按特征函数展开为无穷级数，即标准傅里叶级数。对于一些特殊的变系数常微分方程，其特征函数可能不是三角函数，而是贝塞尔函数、勒让德函数等其他函数，此时按特征函数展开的方法依然成立。因此，在学习过程中复习和巩固常微分方程求解方法，熟悉特征值、特征函数及按特征函数展开等知识点，有助于理解和运用分离变法求解偏微分方程。值得注意的是，利用分离变量法求得的方程的解是关于具有变量分离形式的因子的无穷级数求和。根据泛函知识可知，我们最后得到的解并不一定具有变量分离的形式。此外，在分离变量法的基础上，人们又发展了伽辽金方法（Galerkin method）。此方法是目前证明非线性偏微分方程一般形式解的存在性的基本方法之一。