培养推理能力 提升数学素养

陶赢春

[摘 要]推理是数学的基本思维形式。教师要充分挖掘教材中有利于培养学生推理能力的素材和资源，引导学生合理猜想，使推理有理有据;把握方法，使推理得法; 反思过程，使推理稳中有进。最终，不断发展学生的理性思维，提升学生的数学素养。

[关键词]推理能力;猜想;反思;数学素养

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）14-0064-02

数学教育的目的是教会学生以数学的视角观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。数学推理是数学思维的重要组成部分。新课标明确指出：“让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。”推理是数学的基本思维形式，并广泛应用于人们的学习和生活之中。新课标愈来愈重视学生数学素养的培养，推理能力的培养自然成为重中之重。下面，笔者通过理论研究并结合自身工作经验，论述在小学数学教学中培养学生推理能力的基本策略，力图为广大教育同仁提供借鉴和思考。

一、合理猜想，使推理有理有据

数学家波利亚曾言：“一个优秀的数学家一定是个猜想家，猜想是数学研究必备的基本能力。”猜想是推理的前奏，是学习数学的重要方法，也是形成数学推理的前提，很多数学规律都是通过猜想发现的。在教学中，教师可创设一定的问题情境，为学生的猜想提供機会和平台，让学生在观察、分析、思考的基础上形成某种猜想，然后通过操作、实验、讨论等形式验证猜想，进而实现推理能力的不断提升。

例如，“圆的周长”教学片段。

师：这节课我们研究圆的周长。在这之前，我们已经学过了哪些图形的周长？

生1：学过长方形和正方形的周长。

师：它们是如何计算的呢？

生2：长方形的周长等于长加宽的2倍。

生3：正方形的周长等于边长的4倍。

生4：长方形的周长与它的长和宽有关。

生5：正方形的周长与它的边长有关。

师：那么，你认为圆的周长与哪些因素有关？

生6：我猜圆的周长应该与它的直径或者半径有关。

生7：是的，我用圆规画圆时，发现圆规两“脚”之间的距离（半径）越大，圆的面积就越大。

生8：我想圆的周长跟它的直径或半径之间应该也存在固定的倍数关系。

……

不少教师在讲授圆的周长时，直接切入主题，要求学生通过实验分析周长与直径的关系，错失了培养学生猜想和推理能力的大好时机。尽管这种“短、平、快”的教学方式最后也能使学生得出正确结论，但是学生却不明白为什么要论证圆的周长与直径的关系，处于“只知其一，不知其二”的朦胧状态。教学中，教师引导学生归纳长方形和正方形的周长的相关规律，并由此猜想圆的周长与直径或半径之间也存在类似的规律，这不但培养了学生的猜想能力和推理能力，还使得下一步的探究变得水到渠成，学生在认知和思维上也形成了一个完整的链条。

二、把握方法，使学生推理得法

“授人以鱼，不如授人以渔。”培养学生的推理能力，教给学生常用的推理方法和推理技巧极为必要。学生只有掌握推理方法，亲历推理的过程，才能不断感悟推理的奥妙，从而提升推理能力。推理大致可以分为合情推理和演绎推理两种类型，而合情推理又可以进一步分为归纳推理和类比推理。

（一）合情推理

1.归纳推理

归纳推理是人们认识世界的一种重要的思维形式，它指的是根据一类事物中部分对象具有某种性质，由此推测出这类事物都具有这种性质。由此可见，归纳推理是一种从个别到一般的推理过程。归纳推理通常是在人们的实践经验基础上得出结论，如通过观察、比较、分析、实验等形成对研究对象的共性认识，最后归纳出相关结论。

师：请同学们计算“1×1;11×11;111×111”。

生1： 1×1=1;11×11=121;111×111=12321。

师：那1111×1111呢？

生2：1111×1111=1234321。

师：同学们发现其中有什么规律了吗？

生3：乘数各个数位上都是1，如果乘数的数位上有2个1，那么积各个数位上的数字就从1依次加1加到2，再从2依次减1减到1，即121。如果乘数的数位上有3个1，那么积各个数位上的数字就从1依次加1加到3，再从3依次减1减到1，即12321;如果乘数的数位上有4个1，那么积各个数位上的数字就从1依次加1加到4，再从4依次减1减到1，即1234321。

师：总结得真好。那么，现在你们能推出11111111×11111111的结果吗？

生4：11111111×11111111=123456787654321。

生5：这种推理的方法真好，这类算式不管再大的数我都能算出来了。

归纳推理能够使学生从不多的事实材料中迅速发现数学的本质规律，从而培养学生思维的敏捷性。教学中，教师通过引导学生分析个例，从个例中发现此类算式具有的一般性规律，并通过这种规律使得问题的解决变得简单，这也证实了推理的实用价值。

2.类比推理

与归纳推理不同，类比推理指的是依据两类事物的本质相似性，根据某类事物具有某一性质或规律而推测出另一类事物也具有该性质或规律。由此可以看出，类比推理是一种从个别到个别的推理方法。类比推理是学生分析和解决问题的重要手段，其有利于学生发现问题、解决问题、创新问题，还可以有效地培养学生的知识迁移能力，激活学生的创造性思维。

例如， “比的基本性质”教学片段。

师：我们知道，两个数相除，又叫作这两个数的比。那么，与除法相比，比的前项相当于什么？比的后项相当于什么？比号又相当于什么？

生1：比的前项相当于被除数，比的后项相当于除数，比号相当于除号。

师：与分数相比，比的前项、后项和比号与分数存在怎样的对应关系呢？

生2：比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比号相当于分数线。

师：除法算式商不变的规律是什么？

生3：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。

师：分数的基本性质呢？

生4：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

师：根据比与除法、分数的关系，并结合商不变规律以及分数的基本性质，你有什么发现？

生5：由于比和除法、分数具有对应关系，所以商不变规律和分数的基本性质应该也适用于比。

生6：也就是说比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变。

类比推理的过程实质上是“再创造”的过程。教学中，教师从新旧知识的衔接点入手，使学生在比和除法、分数之间建立起本质的联系。学生通过类比推理把商不变规律和分数的基本性质迁移至对“比”的理解之中，由此推理出比的基本性质，不但有效沟通了新旧知识的联系，还培养了学生的类比推理能力。

（二）演绎推理

演绎推理具有验证结论正确性的作用，经常用于逻辑推理和数学证明中。在小学数学教学中，尽管较少要求严格、缜密的演绎推理，但是演绎推理可以提升学生思维的严密性，使学生的思维更具灵活性和连贯性。教师在教学中向学生渗透演绎推理的方法和理念，對于学生的数学思维发展具有重要意义。

例如，在教学中，教师引导学生根据“两组对边平行的四边形是平行四边形”推出“只有一组对边平行的四边形不是平行四边形”;由“锐角的度数小于直角，直角的度数小于钝角”推出“锐角的度数小于钝角”;由“所有的长方形都是平行四边形，所有的正方形都是长方形”推出“所有的正方形都是平行四边形”。

教学中，教师引导学生用严谨的数学语言表述演绎推理的基本过程，体验演绎推理的基本思想，能够提升学生思维的缜密性和数学表达能力。

三、反思过程，使推理稳中有进

数学家波利亚曾言：“ 没有一道题目可以解决得十全十美，总剩下些工作要做， 经过充分的探讨总结， 总会有点滴的发现，总能改进这个解答， 而且在任何情况下，我们都能提高自己对这个解答的理解水平。”教学中，教师引导学生及时对推理过程进行回顾和反思，不但能够使学生对推理过程的认识更加清晰，还能够使学生及时吸纳、内化一些有意义的推理经验和方法。

例如， “比的基本性质”教学片段。

师：你们是如何发现比的基本性质的？

生1：我一开始想到的是比和除法、分数之间的关系，然后才进一步猜想商不变规律和分数的基本性质对于“比”也是适用的。

师：做出这样的推理，最重要的依据是什么？

生2：是比和除法、分数之间的密切联系。

师：你是如何验证自己的结论的？

生2：我把比写成分数或除法的形式，再利用分数的基本性质和商不变规律来验证。

……

教学中，教师引导学生对推理的过程进行了反思。通过回溯推理过程，学生对推理过程的理解更加深刻，为积累推理经验，促进推理能力的进一步发展奠定了良好基础。

推理能力是学生核心素养的重要组成部分，推理能力的培养应该贯穿小学数学教学的始终。然而，推理能力的培养并不是一蹴而就的，需要经过长期的积累和感悟。因此，教师要充分挖掘教材中有利于培养学生推理能力的素材和资源，传授学生常用的推理方法，引导学生用推理的方式思考问题、解决问题，不断发展学生的理性思维，提升学生的数学素养。

（责编 罗 艳）