整合教材优化课程 问题导学提升素养

栾功

[摘   要]整合教材，优化课程，让“四基”融入教学，提升学生素养，是教师的基本功.

[关键词]整合;教材;导学;素养

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）17-0006-04

一、 了解学生

学生是教学行为中关键的一个要素.为了更有效教学，教师就很有必要先了解学生，了解学生的知识基础和活动经验.《基本初等函数的求导公式与运算法则》这节课，是在学生学习了导数的定义，用导数的定义求简单函数的导数后的一节新授课.通过前面课程的学习，学生经历了由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解了导数的概念，掌握了通过导数的定义求解一些简单幂函数导数的方法，积累了一定的求导问题的基本活动经验，掌握了求导运算的一些基本技能，体会到了用导数刻画解释现实生活中一些变化率的问题，感受到了导数在解决数学问题与实际问题中的作用，具备了继续学习初等函数求导公式的基础知识.

二、 理解教材

思考1： 教材内容与课时内容如何合理分割？

《基本初等函数的求导公式与运算法则》包括基本初等函数的导数公式、导数运算法则、复合函数求导法则三部分内容.这些内容是要分割为两课时讲，还是用一课时讲完？这是笔者思考的第一个问题.一方面从理解教材地位来讲，这节课的学习是整章内容的运算基础，求导的准确性与熟练程度影响用导数研究函数的性质、微积分等知识进一步的学习，可以说这节看似枯燥无味的公式法则课，却是牵一发而动全身般的重要.另一方面，笔者请教了本册教科书的编者郭慧清教授，郭教授在电话中讲“能利用求导公式与法则求函数的导数是这节课的主旨”.鉴于此，笔者综合教材地位与编者建议，将教材内容分割为两个教学课时，第1课时为《基本初等函数的求导公式与导数运算法则》，第2课时为《复合函数及求导法则》.

思考2：如何整合不同版本的教材，如何选择例题？

对教材内容做了合理分割后，教学课时内容明确，目标清晰.为了使学生能用基本初等函数的导数公式与运算法则求简单函数的导数，人教A版教科书在直接给出公式和法则后，通过例题和习题引导学生模仿、操作，以熟悉和掌握导数的概念和基本运算.为了贯彻教材思想和编者意图，笔者再三琢磨课本例题，例1和例3都为实际问题，例2为一个三次函数求导问题.笔者认为这样的例题安排过于强调导数的实际应用，忽视了对求导公式和求导法则的练习，达不到学生对求导公式和运算法则熟悉和掌握的要求，必然导致运算基础不牢固，也不利于培养学生的数学运算素养，继而在后续学习中总是出现求导错误的问题.出于对教学活动中“四基”的理解和落实、数学运算素养逐层培养的考虑，笔者比较研究了人教A版、北师大版、苏教版、湘教版四个版本教材的内容和课时安排（如表1）.

综合比较四個版本教材的内容和课时设计，再次印证了笔者对课时分割的合理性，将基本初等函数的求导公式与函数和、差、积、商的运算法则设计为第1课时，复合函数求导法则为第2课时.第1课时教学中适量的练习对于熟悉公式和法则是非常必要的.因此笔者整合了四个版本教材的例题、习题，优化了课程内容，对第1课时教学内容的例题、习题做了优化（见表2）.

三、 理解教法

思考3：  如何提升学生素养？

该怎样组织教学，怎样在课堂中落实“四基”，提升学生核心素养？面对新的挑战和困惑，笔者请教了南宁三中黄河清校长，黄校长讲道：不论怎样的课型，问题都是数学的心脏，以问题为引领，尽可能挖掘知识的内涵和外延，注重数学思想方法的渗透，在潜移默化中落实“四基”，培养“四能”，提升素养.黄校长的指导让笔者豁然开朗，“问题导学”教学法结构完整，尤其是“概念形成” “概念深化” “应用探索”三个环节层层递进，育人于潜移默化中，真是 “众里寻他千百度，蓦然回首，教法却在灯火阑珊处”.

四、教学过程

（一）新课引入

课件展示前几节课主题内容，教师讲述：通过前面课程的学习，同学们经历了由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解了导数的概念，感受到了导数在解决实际问题中的作用，同时还学习了通过导数的定义求解一些常用函数的导数，例如求解[y=x]，[y=x2]等简单的幂函数的导数.

问题1：一般的幂函数[y=xα]的导数如何计算呢？

问题2：我们学过的指数函数、对数函数和三角函数的导数又如何计算呢？

设计意图：采用复习引入新课，是基于“四基”之间的联系而设计，旨在让学生重温其亲身经历的一些有关导数的思考、探索、发现结论的基本活动经验，并在此基础上继续提出新的问题，在解决新问题的过程中积累数学活动经验，进而孕育素养，进行创新学习.

（二）概念形成

教师讲述：数学家早已解决了这些函数的求导问题，将来同学们学习更多的数学知识，也会掌握这些函数求导的过程.现在，我把这些函数的求导公式列表如下（见表3），便于应用.

设计意图：  人教A版选修2-2教师用书中编写意图和教学建议中明确指出：教科书直接给出了基本初等函数的导数公式和导数运算法则，并没有对这些公式和法则进行推导，在教学中，也应如此，不要做过多要求.

（三）概念深化

1.基本初等函数的导数公式

（1）若[ fx=c]（[c]为常数），则[ fx=0].

例如：[ fx=-2]，则[fx=0].反之，若[fx=0]，则[ fx]是一个常数函数，可以是任意的常数，函数不唯一，这在后续学习构造函数、求解积分等问题时尤为重要.

（2）若[ fx=xα]（[α∈Q?]），则[ fx=α?xα-1].

首先我们需要注意幂指数[α]的取值范围：[α∈Q?];其次要注意幂函数导数的结构[ fx=α?xα-1].当幂指数为分数或者负数时初学者容易计算错误.

我们取[α]的一些值来具体看一下求导结果.

当[α=2]时，[fx=x2]，[fx=2x2-1=2x];当[α=12]时，[ fx=x12]，[fx=12x1-12=12x].

再来看上节课用导数的定义求解[fx=x]导数的过程.

[ΔyΔx=fx+Δx-fxΔx=x+Δx-xΔx=x+Δx-xx+Δx+xΔxx+Δx+x=1x+Δx+x].

所以，[y=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→01x+Δx+x=12x].

通过比较用定义求导的过程，让学生感受到用公式求导的快捷和便利.

当[α=-1]时，[ fx=x-1]，[ fx=-x-2=-1x2].

设计意图：幂函数求导公式的教学不能只是给出公式，计算一个例题.公式没有推导证明的要求和步骤.学生第一次接触公式，还是有些突然，教师要带着学生一步一步地挖掘公式的内涵和外延，幂指数从正整数、分数、负数逐一分析讲解，并和前面所学用定义求导过程比较，进一步让学生感受学习求导公式的必要性，牢固幂函数求导公式，提升学生数学运算素养.

（3）若[fx=sin x]，则[fx=cos x];若[fx=cos x]，则[fx=-sin x].

需要注意的是余弦函数[y=cos x]，其中[y=-sin x≠sin x].

（4）若[fx=ax]，则[fx=axln x].

需要记准指数函数的求导结果，容易与接下来学习的对数函数的求导结果混淆.特别地，当[a=e]时，[y=ex]，[y=ex].

（5）若[fx=logax]，则[fx=1xln a].

需要和指数函数比较记忆.特殊地，当[a=e]时，[y=ln x]，[y=1x].

设计意图：这三组求导公式更为抽象，在今后的学习中学生容易记错，需要从公式的结构形式引导学生学习记忆.

[例1]假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价[p]（单位：元）与时间[t]（单位：年）有如下函数关系[pt=p01+0.05t]，其中[p0]为[t=0]时的物价，假定某种商品的[p0=1]，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？（精确到0.01）

解：根据求导公式，有[pt=1.05tln1.05]，所以[p10=1.0510ln1.05≈0.08]（元/年）.

因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.

设计意图：这是一个指数型函数的实际问题.教科书通过这个例题展示了导数公式的应用.

问题3：如果上式中某种商品的[p0=5]，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？

设计意图：“问题3”说明了为什么要引入导数运算法则，运用导数公式.已经会求[ft=5]和[gt=1.05t]的导数，现在要求[pt=5×1.05t]的导数，而[pt]的导数正是[ft]和[gt]乘积的导数.引进四则运算的求导法则，就能得到两个函数的和、差、积、商的导数与原来两个函数的导数的关系.应用这些法则就可以将比较复杂的函数的求导问题，化为会求的或者易求的函数的导数问题.

2.导数运算法则

法则1：  [fx±gx′=fx±gx].（两个函数和或差的导数等于这两个函数导数的和或差）

问题4：请同学们想一想，三个或更多和（差）函数的导数计算，类似的法则又该如何表示呢？

[f1x±f2x±…±fnx′=f′1x±f′2x±…±f′nx].

法则2：[fxgx′=fxgx+fxgx].

请同学们注意，两个函数积的导数并不等于导数的积，[fxgx′≠fxgx]，要与两个函数和、差的导数公式比较记忆.

问题5：如何用法则2求[y=c?fx]的导数？

[cfx′=cfx+cfx=cfx]，即[cfx′=cfx].例如[2x3′=2x3′=6x2].

法则3：[fxgx′=fxgx-fxgxgx2]（[gx≠0]）.

问题6：如何用法则3求[y=1fx]的导数？

[1fx′=1×fx-1×fxfx2=- fxfx2].例如[1x′=-1x2]，与前面公式法求导结果一致.

設计意图：导数的运算法则的教学，从公式结构特点入手挖掘公式的内涵，要求会用两个函数的导数关系求解两个函数和、差、积、商的导数，求导公式两端能相互转化，活学活用.

（四）应用探索

[例2]求下列函数的导数.

（1）[y=x2ex];（2）[y=sin xx].

设计意图：两函数和、差的导数运算法则易于掌握，两函数积、商的求导法则易错，需要在新课学习中重点练习.我们可以改变任何一个函数组成新的乘积函数，还可以组合出类似[y=x2ex+sin xx]这样更复杂的函数，在联系与变化中巩固求导的运算法则，提升学生的数学素养.

[例3]求下列函数的导数.

（1）[fx=x2ln x+sin x];（2）[y=cos x-xx2].

设计意图：进一步巩固基本初等函数的求导公式，熟悉导数的运算法则.

练习1：求下列函数的导数.

（1）[fx=tan x];（2）[y=12x+2sin x].

练习2：求函数[fx]的导数，已知[fx=1-x1+x+2xln x].

设计意图：练习1面向所有学生，拒绝了简单的重复，考查正切函数[y=tan x]的导数.练习2是本课内容的综合应用，既能给学生带来挑战，也能提醒学生，数学的学习远不止于记住公式法则那么简单.

（五）总结归纳

设计意图：“总结归纳”是一节课的升华，设计的主旨在于帮助学生构建知识网络，让知识之间形成网络，完善学生认知结构，提高学生数学抽象、概括能力.

在教学中，如何摆脱刷题应试教育，真正在数学课堂教学中落实“立德树人”目标，实现学科育人、教学育人？如何在课堂教学中落实“四基”，培养“四能”，提升素养，笔者试图从教材整合与教法应用中探寻答案.

[   参   考   文   献   ]

[1]  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]  黄河清.高中数学“问题导学”教学法[M].北京：教育科学出版社，2013.

[3]  颜士健.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2[M].北京：北京师范大学出版社，2008.

[4]  单墫.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2012.

[5]  张景中.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2[M].长沙：湖南教育出版社，2005.

[6]  刘绍学.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2[M].北京：人民教育出版社，2007.

（责任编辑 黄桂坚）