基于几何视角的线性代数教学改革与实践

李泓霖

(重庆师范大学物理与电子工程学院 重庆 401331)

线性代数与高等数学最大的区别在于，线性代数突显操作性和实用性。是一类表征数据的基本工具，可对数据进行特定的变换，以便研究人员清晰直观地把握数据的关键特征和不同维度的信息。随着大数据、人工智能、深度学习的日益发展，线性代数的重要性愈加明显，其是深入探索这类高阶知识强有力的工具，因此，线性代数的核心地位不言而喻。然而，需要说明的是，相当一部分同学在完成线性代数课堂的学习后，并没有深刻的体会和深入的理解，留下的知识大多是具体的一些计算方法和技巧，如行列式的计算、逆矩阵的定义、矩阵秩的求法等。宏观地看，这是整个线性代数课程体系的共通问题：课堂讲授偏重定义定理和运算技巧，缺乏对学科内涵及内在逻辑脉络的深刻理解，更不能进一步挖掘线性代数与当下各前沿技术的交叉问题[1]。大部分同学虽然考试成绩优秀，但一遇到具体问题则心有余而力不足。

明确了不足之处，我们当下的任务则是针对传统授课的薄弱环节进行集中突破，合理设计一条明确、有针对性的学习路径。首要工作是围绕行列式、矩阵、线性方程组、线性空间这些线性代数的主要问题，环环相扣地展开线性代数核心知识教学，帮助学生深刻理解如何用矩阵表示数据、处理数据、分析数据，最后串联起整个学科的主干内容，从而达到授课目标。针对上述线性代数课程的特点，我们从多方面进行了初步探索，发现从几何视角解释相关知识点可使学生又好又快地理解线性代数的重要概念，并达到预期的教学目的。

一、线性代数教学现状

（一）教学模式落后

如何高质高效地完成线性代数课程的讲授这一问题一直困扰着广大教师。目前普遍采取的方式还是传统的数学教学模式，即遵循定义/定理—性质—例题—作业的顺序实施教学任务，以考试成绩衡量教学效果已成定势。为了保证知识体系的严谨性，授课过程中不得不加入大量的推导和证明，学生参与度低、内容抽象难懂。我院的线性代数课程安排在大一上学期，和高等数学同时进行。此时学生不仅要适应高数的教学节奏，还要逐渐培养适合线性代数的学习策略。这些使大一学生容易产生畏学厌学情绪，影响学习效果[2]。对于我院电子专业本科生而言，基于应用型人才的培育目标，应适当省略晦涩难懂的理论推导，以掌握线性代数基本方法为要求、以解决问题为关键、以科学高效地使用相关知识为目标。

（二）理论与实际应用联系不强

目前，大多数高等院校使用同济版的《线性代数》（第六版）。总体来看，该教材理论性较强，侧重于知识本身，与实际应用联系较少，对工科类学生难度偏大，学生不能感性地理解线性代数的真正应用价值。这种情况普遍存在于我院电子专业学生的必修课中，比如概率论与数理统计、半导体物理、传感器与传感器原理等[3]。教学中很多时候不可避免地脱离实际情景去讲述重点难点，这样教学模式就显得单一，内容难免枯燥难懂。只是照本宣科，忽视理论之上的实际应用，为了应付考试而被动接受，无法激发学生的主观能动性。

（三）课程设置不合理，知识体系抽象难懂

随着近年来兄弟院校人才培养方案的不断更新与调整，调研发现各大高校的线性代数教学安排普遍为32学时，考虑到实际情况，我们学院增加到了48学时，但实际教学过程中仍感到学时略显不足。为了尽可能高质高效地完成教学目标，仅完成知识点本身的讲解和分析后剩余的课时就已捉襟见肘。因此，教学中关于线性代数的很多重要思维模式、认知方法的讲授就突显不足，这对学生创新思想的发展、创新能力的培育及应用技能的掌握十分不利[4]。此外，目前流行的线性代数教材第1章均从逆序数引出行列式的定义，这种方式的知识编排常让大一新生感到困惑和迷茫。而后又有大量课时被分配在行列式的性质和计算方面，实际情况是高阶行列式的计算是无须手工完成的。横向对比来看，戴伟·C·雷的《线性代数及其应用》一书中将线性方程组放在第一位，而后是矩阵、行列式等。这种知识的编排方式可以使学生自然而然地理解和接受矩阵这个新概念。

二、教学改革实践与改进措施

（一）改进教学模式，整合优质教育资源

受新冠疫情影响，2020年以来，全国高等院校迅速开启了线上教学模式。教师和学生应充分利用公开课、MOOC、学习通等优质资源完成对课堂教学的补充和完善。这些丰富的教学资源拓展了学生学习的途径与方法，教师应根据学生的学习情况进行必要的指导和推荐，选取优质的线性代数教学课程进行共享学习。值得注意的是，这个环节需要加强学生对线性代数知识的理解并为后续综合应用打好基础。从程序本身讲，线性代数中的绝大部分知识点都可用MATLAB来进行实践，我们需要做的是适当合理地引导学生，使其熟练掌握这些可以由程序完成的具体操作。通过前期协调，我们将MATLAB也安排在了大一上学期，这样两门课程的互联互通可以快速提高学生运用知识的能力。线性代数的教学重点不应仅放在学生的手动计算能力上，对知识的深入理解和融会贯通是另一个重要的学科素养。

（二）提高线性代数功能属性，明确其重要性

如果不能及时明确线性代数与相关专业的密切联系，学生将无法直接体会其在培养计划里的重要地位，会影响学生进一步学习的积极性。对于我院电子专业工科学生来讲，如果只注重抽象的理论知识，学生就会觉得线性代数与生产应用的联系不大，从而失去探索欲。在教学过程中，理论教学必须与实际应用相结合，用新视角、新方法、新模式激发学生的好奇心，提升学生的主观能动性[5]。这就要求教师需认真思考如何将线性代数的理论知识恰当地与相关专业问题结合，使学生真正认识到线性代数确实对专业学习有至关重要的作用。为达到上述目标，需调整传统单一的授课模式，顺应高校教学发展，将专业软件、数学建模、数据分析等融入日常教学，充分利用好工科专业的实训环境与硬件资源，培养学生实际操作分析能力。我院近年来不断加强线性代数与python、MATLAB、科学计算等课程的整合联结，让学生真实体会到了线性代数的价值与魅力。

（三）增加自主实践环节

线性代数涉及的计算普遍较为复杂，一些计算量大的题目会增加学生的厌学情绪。如果将线性代数知识点与软件结合起来，则可以提高学生的学习兴趣。根据实际教学经验，可加入课程实践考查环节，占总成绩的10%。课程实践采用课后作业形式自由发挥，遴选具有一定抽象性与发散性的知识点，结合实际背景，让学生充分讨论、分析，查阅文献等相关资料，并以电子文档形式给出解决方案。结合MATLAB等软件进行线性代数的学习。这类软件以矩阵为存储单位，简单易学、容易理解。例如，MATLAB中det(A)为计算行列式的命令，inv(A)为求逆矩阵的命令。从教学效果看，这类自主实践环节受到了学生的好评，课后反馈良好。

三、基于几何视角实践教学探索

在线性代数学习中，许多知识点有明显的几何意义，如果利用几何知识加以阐述，学生接受起来将容易得多。例如，二阶行列式就是以行向量为边的平行四边形的面积，而三阶行列式则可看成三个行向量组成的平行六面体的体积。诸如此类的应用案例还有很多可供借鉴。要对线性代数学进行教学改革，理论联系实际则成了不可或缺的环节。最好的方式是让学生自己动手，依托所学知识进行相关的具体研究与操作。

以第二章矩阵及其运算章节为例，矩阵与数的乘法是将数乘矩阵A中的每一个元素。我们在解释矩阵与数的乘法这一知识点时，让学生做出一个矩阵图形，然后对其进行数乘操作，可以非常直观地理解为什么需要将数乘以矩阵A中的每一个元素。图1为学生实际作出的矩阵图形，从中可看出图像的不同面高低极值等特征。如果对其进行数乘运算，则图形整体将发生变化，这能使学生直观地看出为什么矩阵的数乘运算要对矩阵中的每一个元素进行操作，明白其中的关联[6]。同时可加深学生对作图细节等技能的理解和掌握，为后续深入学习打好基础。根据我们的观察分析，加入这种从几何视角切入实践的环节能明显提高学生的主动性和积极性，激发他们的创新思维和钻研精神，改善线性代数的教学效果，让学生更深入地理解线性代数的关键知识点。

图1 利用MATLAB从几何视角观察矩阵图形（学生作业）

四、结束语

线性代数是建立在计算机、信息学、图形学等多种学科交叉基础上形成和发展起来的以应用为主的学科。本文简要分析了线性代数的教学现状，从学生角度进行了教学改革的初探，取得了一定的效果。线性代数是一门紧跟时代发展的课程，各种知识技能的合理交叉综合使用能达到事半功倍的效果。只有坚持思考和不断探索，持续关注教育新理念，才能为社会培养出更多优秀的人才。