广义变系数Kadomtsev-Petviashvili方程的孤子解

郭婷婷

（山西工程科技职业大学，山西 太原030619）

0 引言

在许多工程领域中，非线性偏微分方程用以描述自然界中的非线性现象.与经典的常系数孤子方程相比，变系数孤子方程更能贴近现实地反映问题的本质，因此，对广义变系数非线性方程的研究受到广大研究学者的关注.

对于常系数的（2+1）维Kadomtsev-Petviashvili方程［1］

专家们曾对其做了一系列的研究工作，可以采用对称与微分方程约化法［2］来构造该方程的孤子解，这一方法主要基于Lie群［3］及Lie代数结构［4］，但计算量偏大.1998年，范恩贵等人将齐次平衡法作改进，给出新的方程约化法［5］来求此类非线性方程的解［6］.对于孤子方程求解的方法，瑞典几何学家Bäcklund给出了Bäcklund变换法，Darboux提出Darboux变换法，Gardner、Greene、Kruskal和Miura求解Schrödinger方程N孤子解时给出了反散射法，20世纪以来，Hirota提出了双线性方法等.

本文主要来研究广义变系数Kadomtsev-Petviashvili方程

这里u（x，y，t）是关于时间变量t和空间变量x和y的函数，hi（t）（i=1，2，…，7）是关于时间变量t的实函数.针对高维孤子方程，范恩贵等人曾通过引入双线性变换［7］，给出方程的双线性形式，并得到孤子方程的多孤子解.基于双线性方法，曾构造出孤子方程的双线性Bäcklund变换［8］，Lax对和无穷守恒律［9］，进而运用双Bell多项式方法对方程的可积性［10］进行了研究.本文将借助多元变换技巧，将广义变系数Kadomtsev-Petviashvili方程（2）约化为常系数的（2+1）维Kadomtsev-Petviashvili方程（1），并对方程（1）的解作逆映射来构造广义变系数Kadomtsev-Petviashvili方程（2）的孤子解.

1 多元变换技巧

将广义变系数Kadomtsev-Petviashvili方程（2）约化为经典的（2+1）维Kadomtsev-Petviashvili方程（1），首先引入多元变换

这里，

其中，H（t）≠0，B（t）≠0，D（t）≠0，E（t）≠0，A（t），G（t），T（t）为待定系数，将变换（3）和（4）代入方程（2），经整理有以下的关系式成立

为将方程（5）约化为经典的（2+1）维Kadomtsev-Petviashvili方程（1），则需满足以下的关系式

联立求解关系式（6）-（14），得：

这里，c1，c2，c3，c4，c5，c6，c7为积分常数，且c1≠0，c2≠0，c3≠0.将关系式（15）-（21）代入多元变换（3）和（4），便可将广义变系数孤子方程（2）约化为常系数孤子方程（1），这将为方程（2）的求解奠定基础.

2 广义变系数Kadomtsev-Petviashvili方程的孤子解

在双线性方法中，通过对非线性孤子方程作对数变换，可以将（2+1）维Kadomtsev-Petviashvili方程（1）双线性化，通过使用Wronskian技巧，得出（2+1）维Kadomtsev-Petviashvili方程（1）的单孤子解、双孤子解等.在此基础上，结合多元变换（3）和（4），构造广义变系数Kadomtsev-Petviashvili方程（2）的单孤子解

T（t）和H（t）分别满足关系式（20）和（21），这里，为任意常数，h3（t），h4（t），h5（t），h6（t），h7（t）为任意关于变量t的函数关系式.将单孤子解（22）中的参数做如下的赋值，

并取h3（t）=h4（t）=h5（t）=h6（t）=h7（t）=t，当t分别取1.5和2时，描绘出波动三维图像，见图1.

图1 参数t=1.5（a）和t=2（b）时单孤子解（22）的三维图

结合图1分析，该孤波是单孤波，并且随着时间的推移，孤波由y轴的正半轴向负半轴方向进行传播.

广义变系数Kadomtsev-Petviashvili方程（2）的双孤子解为

其中

并将关于t的函数h3（t），h4（t），h5（t），h6（t），h7（t）全设为t，现分别将t取为1.9和2.3，绘制这两个时刻的波形图及二维平面的密度图，见图2和图3.

结合图2、图3中的三维图以及二维密度图分析，随着时间的推移，两列孤波分别沿着y轴的正、负两个方向延展性地传播.

图2 参数t=1.9时双孤子解（25）的三维图（a）和灰度图（b）

图3 参数t=2.3时双孤子解（25）的三维图（a）和灰度图（b）

将以上变系数孤子方程（2）的单孤子解（22）、双孤子解（25）进行推广，通过归纳可以得出广义变系数Kadomtsev-Petviashvili方程（2）的N孤子解

其中，

这里，对μ求和是取μj为0或1的所有可能组合，X（x，y，t），Y（y，t）满足关系式（23）、（24），T（t），H（t）满足关系式（20）、（21），为任意常数，h3（t），h4（t），h5（t），h6（t），h7（t）为关于变量t的函数.

综上，对于广义变系数（2+1）维Kadomtsev-Petviashvili方程（2），本文首先引入多元变换（3）和（4），将其与经典的（2+1）维Kadomtsev-Petviashvili方程（1）联系起来，通过确定多元变换中的待定系数，将变系数方程（2）约化为常系数方程（1）.借助Hirota双线性方法，再结合多元变换（3）和（4），构造出方程（2）的单孤子解（22）、双孤子解（25）以及N孤子解（28），并将解中的参数赋以特殊值，勾勒出具有代表性的单、双孤子解的三维波形图及二维平面上的密度图，从而贴近实际地展现孤波的波动特征，为进一步研究孤波的各种物理性态打下基础.