无限维Hilbert空间中算子方程的正算子解

赵转萍

（山西工程科技职业大学，山西 太原030619）

Hilbert空间上的算子方程作为近代数学的一个重要分支一直被广泛研究，它在线性系统领域，力学和其它领域中都有重要应用.在有限维空间中，矩阵方程X+A＊X-2A=Q、X-A＊X-tA=I受到众多学者专家的关注，并得到了方程具有正定矩阵解的许多结论［1-4］.在无限维Hilbert空间中，一些学者也给出了算子方程具有正定解的条件［5-6］.本文在文献［6］的基础上进一步研究了算子方程X-s+A＊XtA=B（s≥1，0＜t＜1），其中A，B∈B（H），B＞0有正算子解的条件.

1 预备知识

设H是一个无限维可分的Hilbert空间，B（H）为H上有界线性算子集，算子A的范数、伴随算子、谱半径分别用记号‖·‖、A＊，r（A）表示.

定义1设A∈B（H），如果对于任意给定的x∈H都有（Ax，x）≥0，则称A为正算子，记作A≥0.如果A是可逆正算子，记作A＞0.对于B（H）上的正算子，下列结论成立：

（1）若P≥Q＞0，则P-1≤Q-1.

（2）如果｛Xn｝是单调有界递增（减）的正算子序列，且有上界C1（下界C2），C1、C2∈B（H），则此算子序列必收敛于一个正算子.

定义2设A∈B（H），如果满足A＊=A，称A是自伴算子.

定义3设A∈B（H），称σ（A）=sup｛λ∈C，A-λI不可逆｝是算子A的谱.

引理1［7］设P、Q是B（H）上的两个正算子，且满足P＞Q，如果PQ=QP，则对一切t≥1，有Pt≥Qt.

引理2［7］设A、B是B（H）上的算子，如果A≥B≥0，则‖A‖≥‖B‖.

引理3［7］设A、T、B是B（H）上的算子，且A≥T≥B，则‖T‖≤max｛‖A‖，‖B‖｝.

引理4［8］设A、B是B（H）上的两个自伴算子且A≤B，则对任意的T∈B（H）有T＊AT≤T＊BT.

2 主要结论及证明

定理1当算子方程X-s+A＊XtA=B存在可逆正算子解X时，则X满足

证明 设X为方程的可逆正算子解，

一方面，因为X-s=B-A＊XtA＜B，所以

另一方面，由A＊XtA＜B，变形得

即

所以

综上可知，结论成立.

定理1给出了方程X-s+A＊XtA=B存在可逆正算子解时，解的变化范围.

定理2如果当0＜t＜1时算子方程X-s+A＊XtA=B存在可逆正算子解，那么

证明 由定理1知，AB-1A＊＜X-t，因此

即

定理3如果算子方程X-s+A＊XtA=B存在可逆的正算子解，则

证明 由方程知X-s=B-A＊XtA＜B，故成立，

所以

即

同理

即

因此

由引理3知

又因为A+A＊是自伴算子，所以

定理4当s≥1，0＜t＜1时，算子方程X-s+A＊XtA=B有正算子解的充要条件是存在正算子P使得P-s+A＊PtA≤B成立.

证明 必要性 因为方程存在正算子解X，显然当P=X时，P-s+A＊PtA≤B恒成立.

充分性 给定算子序列｛Xk｝：

下面利用数学归纳法证明X0＜X1＜…＜Xk-1＜Xk＜P.

由P-s+A＊PtA≤B知

所以

即

又因为

即

另一方面，因为X0＜P，则

所以

即X1＜P，综上知：X0＜X1＜P.

假设Xk-1＜Xk＜P成立，下证Xk＜Xk+1＜P也成立.

一方面

即

另一方面，因为Xk＜P，则

所以

即Xk+1＜P，综上知Xk＜Xk+1＜P.

推论 若算子方程X-s+A＊XtA=B有正算子解，则当时，

成立.

证明 由定理4中给定的算子序列知

即

所以

证毕.