具有连续分布时滞的三阶中立型微分方程的振动性

贾对红

（长治学院 数学系，山西 长治046000）

0 引言

泛函微分方程的振动性理论近年来备受关注，并取得了许多优秀成果［1-7］.文献［8］研究了方程

的振动性.文献［9］给出了方程

的几个振动准则.文献［10，11］研究了方程

的振动性.在此基础上给出了方程

假设下列条件成立：

（H1）a（t）∈C1（［t0，∞），R+），且是正奇数之商；

（H2）ψ（t）∈C1（［t0，∞），R+），且存在L＞0使得

（H3）p（t，μ）∈C（［t0，∞）×［a，b］，R+），且

（H4）τ（t，μ）∈C（［t0，∞）×［a，b］，R+），关 于μ在 区 间［a，b］内 单 调 递 减，且 满 足τ（t，μ）≤t，

（H5）g（t，ξ）∈C（［t0，∞）×［c，d］，R+）；关于ξ在区间［c，d］内单调递减，且满足

（H6）f（x）∈C（R，R+），且存在常数δ＞0，使得是正奇数之商；

函数x（t）称为方程（1）的一个解，如果函数z（t）和a（t）ψ（x（t））（z″（t））γ连续可微且在［t0，∞）上x（t）满足方程（1）.方程（1）的一个非平凡解称为振动的，如果它有任意大的零点，否则称为非振动的.若方程（1）的一切解均振动，则方程（1）是振动的.

1 预备知识

引理1［10］若函数x（t）满足x（i）（t）＞0，i=0，1…n，且x（n+1）（t）＜0，则有

引理2［11］若存在m＞0，U＞0，V＞0，则有

引理3假设（H1）-（H7）成立，x（t）是方程（1）的一个最终正解，z（t）有如下情形：

证明 设x（t）是方程（1）的一个最终正解，由假设当t充分大时

可知a（t）ψ（x（t））（z″（t））α是单调递减的，即存在一个t1＞t0，当t＞t1时，a（t）ψ（x（t））（z″（t））α定号，由a（t）＞0，ψ（t）＞0，有z″（t）＞0或z″（t）＜0.

若z″（t）＜0，则z′（t）单调递减，即存在一个t2＞t1，当t＞t2时z′（t）定号，则z′（t）＞0或z′（t）＜0.下面证明当t充分大时z′（t）＞0.事实上，若不然，则z′（t）＜0，而z″（t）＜0，当t充分大时z（t）＜0，矛盾.

因此，当t充分大时，z（t）有情形（a），（b），（c）.

引理4若假设（H1）—（H7）成立，x（t）是方程（1）的一个最终正解，z（t）有引理3中的情形（b），且假设

证明 设x（t）是方程（1）的一个最终正解，z（t）满足情形（b），即z（t）＞0，z′（t）＜0，z″（t）＞0，由于当t充分大时z′（t）＜0，所以z（t）是单调递减的非负函数，则单调有下界，即存在0≤l＜∞，有l，下面证明l=0.

若不然，则l＞0，对于任意的ε＞0，当t充分大时有l＜z（t）＜l+ε，l＜z（τ（t，μ））＜l+ε成立，令可得

由（H6），（H7）和式（3）可得

从而有

由z（t）的定义及x（t）为最终正解，当t充分大时，z（t）≥x（t）＞0，最终可得

引理5假设条件H1-H7成立，若x（t）是方程（1）的最终正解，且满足情形（a）（c），则有

证明：若x（t）是方程（1）的最终正解，则存在t1≥t0，当t≥t1时，由z（t）的定义有

由方程（1）得

2 主要结果

设D=｛（t，s）：t0≤s≤t＜∞｝；D0=｛（t，s）：t0≤s＜t＜∞｝；，称函数H∈C1（D，R）属于X类函数，如果H满足：

定理1若条件H1-H7成立，且：

其中A（t）=δ（1-p）βq（t），则方程（1）的解或振动或趋于0.

证明：若x（t）是方程（1）的一个非振动解，不妨设x（t）是最终正解，则存在t1≥t0，当t≥t1时有x（t）＞0，x（τ（t，μ））＞0，x（g（t，ξ））＞0.

当z（t）满足情形（b）时，由引理4知结论成立.

当z（t）满足情形（a）（c）时，由引理5知式（5）成立，令

上式两端同时求导得：

由于z（t）＞0，z′（t）＞0，从而得：

对上式从［t1，t］积分得：

当t→∞时得w（t）＜0，矛盾，可知假设不成立，方程（1）的解是振动的.

定理2若条件H1-H7成立，z（t）满足情形（a）且存在函数ρ（t）∈C1（［t0，∞），R+）使得：

其中

则方程（1）的解是振动的.

证明 若x（t）是方程（1）的非振动解，不妨假设x（t）是最终正解，则存在t1≥t0，当t≥t1时有x（t）＞0，x（τ（t，μ））＞0，x（g（t，ξ））＞0.令：

对式（8）两端求导，并利用式（5）得：

得：

由式（9）（10）得：

由于z′（t）单调递增，故存在常数A1＞0，当t≥t1时有即：

故由式（11）得：

对（12）式两端从［t1，t］积分得：

当t→∞时，w（t）＜0，与式（8）矛盾，故假设不成立，x（t）是方程（1）的振动解.

定理3若条件H1-H7成立，z（t）满足情形（c），且存在函数θ（t）∈C1（［t0，∞），R+）使：

其中：

则方程（1）的解振动.

证明 若方程（1）存在非振动解x（t），不妨假设x（t）为最终正解，即存在t1≥t0，当t≥t1时有x（t＞0，x（τ（t，μ））＞0，x（g（t，ξ））＞0，由引理5知式（5）成立，从［t1，t］积分式（5）得：

由引理1得z（t）≥tz′（t），因此：

由（14）（15）式得：

令

上式求导得：

由引理2，令

得：

由于z′（t）＞0，故存在t2＞t1及常数B，当t＞t2时，z（t）＞z（t2）＞z（t1）＞B，由（17）式得：

对上式从［t2，t］积分得：

当t→∞时，φ（t）＜0，矛盾，故假设不成立，方程（1）的解振动.

定理4若条件H1-H7成立，z（t）满足情形（a），且存在函数H1（t，s）∈X和函数ρ∈C1（［t0，∞），R+）使得：

成立，则方程（1）的解振动.

证明 若方程（1）有非振动解x（t），不妨设x（t）为最终正解，即存在t1≥t0，当t≥t0时有x（t＞0.x（τ（t，μ））＞0，x（g（t，ξ））＞0，因z（t）满足情形（a），则式（10）成立.对式（10）两边同时乘以H1（t，s），并从［t1，t］积分得：

由引理2，取

由（19）式得：

这与（18）矛盾，故假设不成立，即方程（1）的解是振动的.

定理5若条件H1-H7成立，z（t）满足情形（c），且存在函数H2（t，s）∈X和函数θ（t）∈C1（［t0，∞），R+）使得：

成立，则方程（1）的解是振动的.

证明 若方程（1）有非振动解x（t），不妨设x（t）为最终正解，即存在t1≥t0，当t≥t1时有x（t）＞0，x（τ（t，μ））＞0，x（g（t，ξ））＞0，又因z（t）满足情形（c），则式（17）成立，将（17）式两端同时乘以H2（t，s），并从［t1，t］上积分并利用引理2得：

即

这与（20）矛盾，故假设不成立，方程（1）的解是振动的.

3 应用举例

考虑方程

由定理4得：

可知，此方程是振动的.