利用导数研究参数取值范围方法赏析

广东省广州外国语学校(511455) 叶土生 吴小五

高中数学中,求某一个参数的取值范围是很常见的一种题型.这类问题涉及知识点多,可考查的数学思想方法丰富,并能很好地体现“在知识交汇处命题,以能力立意”的高考宗旨,所以常受到高考命题专家的青睐.利用导数研究参数取值范围是一种常见的考查形式,可以结合函数的单调性、对称性、零点、最值、极值等知识考查.常见解题的方法有三种:

1.带参直接处理.这一般将问题转化为分类讨论研究.

2.分离参数.将参数与主元分离,转化为研究一个具体函数的最值问题或函数值范围问题.

3.数形结合.这一方法常见于一些小题,此时要关注参数的几何意义,转化为研究图像的位置关系.

下面通过具体的例子加以说明:

一、典例赏析

评注 解法二将参数m独立出来后,将问题转化为参数m和具体函数f(x)的函数值间关系问题.化不确定性为确定性,是处理参数取值范围的一种常见方法.对函数求导后,一般还需研究导数的零点位置以确定函数的极值、单调区间、函数值取值范围等.这时如能根据函数性质画出函数的简图,以帮助分析问题,可以降低思维梯度,提高解题准度.

二、方法透析

思路2仔细分析不等式xlnx−ax+a≥0,可以发现不等式可以转化为xlnx≥ax−a.左边函数y=xlnx(x>1)是常见函数,性质明确易求.右边y=ax−a,参数a是一条过定点(1,0)直线的斜率,几何意义明确,将问题转化为过(在)一点求曲线切线问题,所以数形结合也是合理的选择.具体解答过程请读者自行给出.

评注分离参数法一定要注意独立出来的函数性质易于研究,函数图像容易给出,否则,如果你的知识储备不够往往将陷入困境.当参数分类标准明确,函数性质清晰,带参直接分类讨论是这类问题的“通法”.学习时不能为了刻意追求“妙招”而忽视通法的训练.当参数的几何意义清晰明确,特别在小题中,可以先试着应用数形结合解题,这一般计算量相对会小一些.

解析本例显然不适合带参直接处理,因为带参求导f′(x)= (2x+ 1)ex−a后无法进一步研究函数性质,二次求导后又需进行多重分类讨论.因为f(x)<0 等价于(2x−1)ex

思路1根据例3 分析,因为参数a的几何意义明确,所以数形结合是首选方法,将问题转化为过一个点作已知曲线的切线问题.

例4(2017 高考全国I 卷理科第21 题) 已知函数f(x)=ae2x+ (a−2)ex−x.若f(x) 有两个零点,求a的取值范围.

思路1本例因为参数几何意义不清晰,显然不适合数形结合,另外解答题要避免以图代证的不严谨表述.本例求导后f′(x)= 2ae2x+(a−2)ex−1= (aex−1)(2ex+1),发现参数a的取值范围不同,函数的性质发生很大变化,本例需要牢牢抓住a的范围,才能得到清晰的函数性质.所以本例选择对a进行分类讨论比较合理.结合导数零点,先明确分类标准,然后带参分类讨论是本例得以解决的关键.具体解答过程请参照相关资料,在此不再赘述.

思路2另外,由f(x)=0,即ae2x+(a−2)ex−x=0,得参数很容易被分离出来,所以本例利用参数分离法能不能研究呢? 又是否合理呢? 这就取决于同学们研究函数性质的能力,代数式变形能力及意志品质.因在相关资料还没有发现用分离参数法求解本例,以下给出简单解答.

评注以上解法并不显得很复杂,关键是能否根据导数得到函数值取值范围.另外,在解答题中要避免以图代证的不严谨表述,一定要把函数的单调性和函数取值范围等性质说明清楚才能给出结论.

三、结束语

数学学习离不开数学解题,一题多解是数学解题需要重视的一种提高自己解题能力的方法,也是一种有效途径.但一题多解不是目的,不能为了一题多解而一题多解,要在解答过程中总结哪种方法适合哪类题型,选择哪个方法更加合理有效.一题多解的目的在于将能力升华为多题一解,对于一道陌生的题目能快速找准解题突破口,选择最恰当的解题方法,以最快的方法给出准确的解答,这才是一题多解的目的.

我们也常常说平时要注重“通性通法”的训练,但何为“通性通法”? 参数的取值范围通法是什么呢? 分类讨论、数形结合、分离参数都应该是这类问题的通法.所谓“通性通法”一定是要建立在对问题形式、结构有深刻理解的基础上,在有多种方法选择的情况下,能迅速找到最合理有效的方法给出正确的解答,才是对通性通法最准确的理解.只有通过同学们自己深入思考,才能深刻明白方法的适用范围,才更能深刻领悟方法的合理性,特别在高三复习过程中,要重视一题多解,更要重视多题一解,找准一类问题的通法.