基于统计损伤理论的混凝土应力应变行为

白卫峰， 沈鋆鑫， 管俊峰， 苑晨阳， 徐存东

(1.华北水利水电大学 水利学院, 河南 郑州 450046;2.河南省水工结构安全工程技术研究中心, 河南 郑州 450046)

混凝土材料广泛应用于复杂工作环境下的各种结构，导致新的工程力学问题不断出现[1-2].准确把握复杂荷载环境下混凝土材料强度与变形破坏规律，是进行混凝土结构安全性和稳定性评价的理论基础.随着混凝土材料科学的迅速发展，各类新型混凝土不断涌现，任何一种掺和料的添加都会对混凝土力学性能产生显著影响，在逻辑上已构成组合爆炸问题.耗费大量人力、物力建立起来的经验性本构关系，会因为混凝土中某一组分的添加或缺失而失去用处[3].从本质上说，混凝土复杂的力学行为均由材料细观组成的异质性和细观损伤演化的非均质性所引起，该过程涉及宏-细-微观多个尺度上无序非均匀性的跨尺度耦合.要建立科学合理的混凝土本构模型，必须深刻理解材料的细观损伤演化机制和规律，这已成为制约混凝土损伤力学进一步发展的瓶颈.

近年来，以协同学、突变论为代表的现代非线性科学为人们重新认识混凝土等准脆性材料的变形破坏过程提供了新的思路和方法.白以龙等[4-5]研究发现：非均质固体受载变形破坏实际上是一个损伤演化诱致灾变的过程，而灾变破坏通常由变形和损伤的局部化发展所触发；同时基于力学、统计物理学和非线性科学，进一步提出了损伤演化诱致灾变理论，并通过跨尺度分析方法将材料的微结构效应与宏观力学行为联系起来.固体灾变破坏研究的热点一方面集中于对损伤演化过程及机理的认识和理解，另一方面在于探索诱发灾变破坏的前兆特征.纪洪广等[6]利用突变理论建立了声发射参数的灰色尖点突变模型，对混凝土单轴压缩过程的声发射参数进行了突变分析.荆昱等[7]利用协同学对混凝土损伤过程的声发射现象进行研究，并分析了声发射事件的混沌效应.细观统计损伤力学是近年来损伤力学研究的热点[3-5，8-12]，该类模型将固体材料抽象为由细观物理元件组成的复杂系统，通过假设细观单元强度服从某种统计分布而引入材料的细观非均质性，探讨其细观损伤机制与宏观非线性力学行为之间的联系.白卫峰等[8-12]结合突变理论和细观统计损伤理论，建立了考虑细观断裂和屈服2种损伤模式的混凝土统计损伤模型，将混凝土理解为具有自组织行为的复杂系统，其变形破坏过程是该系统通过“损伤”(微裂纹萌生、扩展)方式，使混凝土的潜在承载能力进一步释放以“适应”外界荷载环境的过程.

正确理解和把握细观损伤机制是建立科学合理的本构模型的关键，单轴拉伸、压缩是混凝土最基本的2种变形破坏模式.本文基于统计损伤理论，分析了混凝土单轴变形破坏过程细观损伤机制与宏观非线性应力-应变行为之间的内在联系，建立了考虑强度等级影响的混凝土统计损伤模型，并分析强度等级对混凝土细观损伤机制的影响规律.文中以受拉为正、受压为负.

1 理论基础

1.1 损伤演化诱致灾变理论

白以龙等[4-5]提出了损伤演化诱致灾变理论，认为非均质固体介质的变形破坏过程实质上是一个损伤演化诱致灾变的过程，可分为整体稳定(GS)和演化诱致灾变(EIC)2种模式，将整个过程分成分布式损伤和局部灾变2个阶段.在由微损伤演化累积引起固体介质最终断裂破坏的过程中，GS模式向EIC模式转变的临界状态具有关键意义，存在敏感性特征.当系统临近灾变破坏时，许多与内部损伤相关的物理信号，如变形、电信号、声发射信号、电磁信号等会呈现幂律等异常行为，进而实现从分布式损伤到局部灾变破坏的转变.灾变前兆的研究是近年来研究者关注的热点，白以龙等[4-5]指出临界敏感性、跨尺度涨落和损伤局部化是触发灾变破坏的共性前兆特征.

局部化是准脆性固体损伤演化诱致宏观破坏的普遍现象，初始阶段的随机损伤会逐渐集中到一个很窄区域.破坏阶段的局部化行为加深了变形破坏问题的复杂性和预测难度，难以再用整体平均量统一表示.郝圣旺[13]通过微扰分析法确定了材料系统发生微扰失稳的条件：

(1)

式中：σ、ε分别为材料的名义应力、应变.

式(1)表明，在峰值名义应力后，材料系统的均匀变形和损伤场将可能在微小扰动下发生失稳而向损伤局部化阶段转变.

1.2 损伤基本假定

混凝土等准脆性材料在受载变形破坏过程中，微结构内部存在2种作用机制：

(1)劣化效应.微裂缝萌生、扩展、成核和贯通，期间伴随着微结构的声发射现象.劣化效应被作为传统损伤力学的物理基础.

(2)强化效应.在受力初期，材料微结构的受力骨架并非最优.伴随着微裂纹的萌生和扩展，材料微结构中的薄弱部位陆续退出受力状态，受力骨架通过应力重分布的方式得以进一步优化调整，材料潜在的承载能力得到进一步发挥，从而能够承受更大的外界荷载(有效应力).当材料微结构的有效受力骨架调整到最优，不能再承受更大的有效应力时，随即进入局部灾变过程.该机制通常被传统损伤力学所忽视.

以往研究者对准脆性材料的局部化转变点(临界状态)讨论很多，郝圣旺[13]、Wawersik等[14]、张晓君[15]指出，岩石类材料的局部化发生在峰值名义应力之后的软化段上.在混凝土材料方面，李杰等[3]、Van Geel[16]分别在混凝土单轴拉伸、压缩试验中观测了变形(损伤)局部化现象，发现局部化的转变点均滞后于峰值名义应力，位于应力-应变曲线的软化段上.一些研究者分别在混凝土单轴拉伸[3,17]、单轴压缩[6,18]试验中观测了与微裂纹扩展过程密切相关的声发射现象，发现声发射能量率的演化过程呈现典型的突变特征，且峰值突变点一般位于峰值名义应力之后.

上述现象可从有效应力的角度解释：有效应力最大值与名义应力最大值并非同时发生，而是相对滞后；当有效应力达到最大值时，将会触发相关物理参量的临界敏感性和损伤局部化现象.有效应力σE反映了材料真实的受力状态，则式(1)可修正为如下形式：

(2)

2 混凝土单轴应力-应变行为

2.1 单轴拉伸

2.1.1细观损伤机制与宏观本构行为

图1为混凝土单轴拉伸变形破坏过程，可分为均匀损伤和局部破坏2个阶段，包含A、B、C 3种典型状态，其中A为比例极限状态.将拉伸方向记为1方向，对应的名义应力和有效应力分别为σ1，A、σ1，B、σ1，C和σ1E，A、σ1E，B、σ1E，C；q(ε1)和p(ε1)分别表示与混凝土细观断裂、屈服损伤对应的概率密度函数；D1R为与细观断裂相关的损伤变量；εat为初始损伤应变；εht为与p(ε1)峰值对应的应变；εbt为最大屈服损伤应变，同时为与q(ε1)峰值对应的应变；ε1cr为临界状态应变，满足ε1cr=εbt.

图1 混凝土单轴拉伸变形破坏过程

由于细观组成的非均质性，混凝土内部各部位受力状态是不同的.在受力初期，微结构中受力骨架并未达到最优，某些强度高的部位甚至可能没有参与受力.随着拉伸变形的增大，首先在骨料和砂浆交界面等薄弱部位随机产生一系列微裂纹，走向大致垂直于拉力方向.在此过程中，伴随着薄弱部位逐步退出受力，应力重分布得以实现，较强的部位更多地参与受力，一些初期未参与受力的部位陆续补充到受力骨架中.通过上述方式，微结构有效受力骨架得以进一步优化调整，进而获得与每个受力状态相匹配的承载能力.

从初始受力到加载到C状态的过程(O→A→B→C)中，一方面，微裂纹在试件内部杂乱无序地萌生和扩展，微裂纹密度逐渐增大；另一方面，微结构中受力骨架得以进一步优化调整，在每个增量状态均能处于受力平衡.σ1E单调增大，σ1先增大后减小，在B状态达到最大值σ1，B.C状态下，受力骨架调整到最优，承载能力达到极限，有效应力达到最大值σ1E，C；微裂纹在整个试件范围内随机产生，整体上处于均匀损伤变形状态.

C状态后，材料系统无法再通过微裂纹扩展的方式来获得更大的承载能力，随即进入以损伤和变形局部化为特征的破坏阶段.在断裂过程区(FPZ)内，损伤进一步加剧，形成单一的宏观主裂纹，而其余部位则出现卸载回弹现象.对应的软化段曲线存在明显的尺寸效应，不能被看作是纯粹的材料属性.定义C状态为临界状态，B状态为峰值名义应力状态.以C状态为界，均匀损伤阶段体现了损伤演化累积由量变到质变的过程；在局部破坏阶段的局部化行为不能再用整体平均量统一表示.

2.1.2统计损伤本构模型

白卫峰等[8-9]建立了修正平行杆模型(IPBS)用于模拟混凝土单轴拉伸变形破坏过程.该模型考虑细观断裂和屈服2种损伤模式，分别与微结构的“劣化”和“强化”效应相对应，可分别用微杆件的断裂和屈服表征；通过赋予微杆件随机的断裂和屈服强度引入材料的细观非均质性.混凝土宏观非线性的应力-应变行为由细观断裂和屈服2种损伤模式的演化过程控制(见图1(b)).统计损伤本构关系可表示如下：

σ1=E0(1-D1y)(1-D1R)ε1

(3)

σ1E=E0(1-D1y)ε1

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

上述式中：E0为初始弹模；D1y为与屈服损伤相关的损伤变量；E1v为与细观屈服损伤相关的强化因子，表征微结构受力骨架优化调整及潜在承载能力发挥的程度，当E1v=0时，对应初始无损伤状态，E1v=1时，对应临界状态，此时模型中所有微杆件全部屈服，受力骨架调整至最优，σ1E达到最大值，即将进入局部破坏阶段；Ht=D1R(εbt)，为与临界状态对应的断裂损伤值.

真实情况下，p(ε1)和q(ε1)可能服从Weibull、正态等复杂的概率分布形式.为简化分析，已有研究表明[8-12]，当其采用简单的三角形概率分布时，就能很好地拟合混凝土单轴应力-应变曲线，并能反映其细观非均质的损伤演化机制.假设p(ε1)和q(ε1)均服从三角形分布形式(见图1(b))，其中q(ε1)的分布形态可从声发射试验结果获得依据.声发射现象与材料内部微裂纹扩展过程密切相关，反映了混凝土内部损伤演化过程.李杰等[3]针对混凝土单轴拉伸过程开展的声发射试验结果显示，声发射能量率的演化过程具有典型的突变特征，与图中q(ε1)的概率分布形态是相似的.对于均匀损伤阶段，p(ε1)和q(ε1)可进一步表示为式(8)、(9).

2.2 单轴压缩

2.2.1细观损伤机制与宏观本构行为

图2为混凝土单轴压缩变形破坏过程，可分为均匀损伤和局部破坏2个阶段，包含A、B、C、D 4种典型状态，其中A为比例极限状态.将压缩方向记为3方向，两侧向为1、2方向，则压缩方向对应名义应力和有效应力分别为σ3，A、σ3，B、σ3，C、σ3，D和σ3E，A、σ3E，B、σ3E，C、σ3E，D.

图2 混凝土单轴压缩变形破坏过程

由于泊松效应的影响，混凝土试件在1、2两侧向产生横向拉应变.当某些薄弱部位局部拉应变超过极限拉应变时将导致局部微裂纹的产生，微裂纹最先在骨料和砂浆交界部位产生和扩展，走向大致平行于压力方向，微裂纹密度随着压力的增大逐渐增加.

从初始受力到加载到C状态的整个过程(O→A→B→C)中，材料系统能够通过微裂纹随机萌生和扩展这种方式实现应力重分布，促进受力骨架优化调整并获得更大的承载能力，在每个变形增量状态均能够达到受力平衡.σ3E单调增大，C状态下受力骨架调整至最优，达到最大值σ3E，C；σ3先增大后减小，在B状态达到最大值σ3，B.微裂纹在整个试件范围内随机萌生和扩展，可近似地认为处于均匀损伤变形状态.

C状态之后，材料系统达到微扰失稳的条件，将会触发变形和损伤局部化，随即进入破坏阶段.在局部压缩破坏区域(CFZ)内损伤进一步加剧，出现局部鼓胀并逐渐形成一系列平行于压力方向的纵向宏观裂缝；在D状态进一步形成倾斜剪切裂缝带；其余部位则出现卸载回弹现象.对应的名义应力-应变曲线存在明显的尺寸效应.分别定义B状态和C状态为峰值名义应力状态和临界状态.

Van Geel[16]在混凝土单轴压缩试验中，沿试件高度方向布置一系列应变片，同时借助高速摄像机观测了试验过程中的损伤局部化现象.试验结果明确显示，混凝土损伤局部化现象并非出现在峰值名义应力状态，而是相对滞后，位于应力-应变曲线下降段的“陡峭”段上，且该位置与混凝土强度、骨料粒径、水灰比等多种因素相关.上述现象同样可以从有效应力的角度进行解释.

2.2.2统计损伤本构模型

混凝土单轴压缩本质为三维空间的损伤演化过程，压缩方向损伤由泊松效应引起的侧向拉损伤过程控制，可由IPBS模拟[10-11].

σ3=E0(1-D3y)(1-D3R)ε3

(10)

σ3E=E0(1-D3y)ε3

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

式中：D3y为与屈服损伤相关的损伤变量；E3v为强化因子，0～1；Hc=D3R(εbc)，为与临界状态对应的断裂损伤值.

2.3 强度等级的影响

按照统计损伤理论的观点，混凝土材料宏观非线性应力-应变行为由细观非均质的损伤演化过程决定.不同强度等级的混凝土采用不同的配合比制备而成，导致其微结构的组成和力学性能存在显著差异.与之相对应，不同强度等级混凝土在受载过程中微裂纹萌生、扩展的形态及规律也存在显著不同.

以单轴拉伸为例，上述细观层面影响可用2类特征参数进行表征：(1)E0，表征微结构组成对混凝土初始力学性能的影响；(2)εat、εht、εbt和Ht，分别表征细观屈服和断裂2种损伤模式演化过程对应的三角形概率分布形态，反映微结构特征对损伤累积演化过程的影响.假设不同强度等级混凝土对应的微结构特征和细观损伤演化过程的变化服从某种规律性(见图3)，则可将E0、εat、εht、εbt和Ht看作是混凝土强度等级fcu,k的函数，即：

图3 混凝土强度等级对细观损伤演化机制的影响

(17)

可通过上述参数变化规律来分析强度等级对混凝土单轴拉伸细观损伤演化过程的影响.单轴压缩条件下可得到类似的结论，即将E0、εac、εhc、εbc和Hc看作是fcu,k的函数.

每条单轴拉伸或压缩应力-应变曲线需确定5个参数.其中：E0由试验曲线获得；εat、εht、εbt、Ht或εac、εhc、εbc、Hc这4个参数可利用Matlab遗传算法模块通过多元回归分析确定[12].具体步骤为：(1)创建包含4参数的适应度函数，以应力预测值与实测值离差的最小平方和作为优化判据；(2)初设4个参数取值区间；(3)执行遗传算法，获得本次迭代计算最优解，再根据结果调整和缩小参数搜索区间范围；(4)重复执行第(3)步，直至获得参数最优解.

3 验证与分析

GB 50010—2010《混凝土结构设计规范》推荐了混凝土单轴拉伸/压缩应力-应变全曲线本构关系式.该关系式是在总结了大量试验成果的基础上获得的经验表达式，能够反映不同强度等级(C20～C80)混凝土主要的单轴受力和变形特征，在工程实践中得到了广泛的应用.利用本文模型对GB 50010—2010建议的混凝土应力-应变曲线进行预测，以验证模型的合理性和适用性，并分析混凝土单轴拉伸/压缩过程的细观损伤演化机制.E0按上述规范取值，ν=0.2；其余计算参数见表1.

3.1 单轴拉伸

图4为本文模型预测的C20～C80混凝土单轴拉伸均匀损伤阶段对应的名义应力-应变曲线及其有效应力-应变曲线.由图4和表1可见，本文模型预测曲线与规范建议曲线吻合良好，两者之间的相关系数R2均在0.99以上.在均匀损伤阶段，名义应力σ1先增大后减小，中间存在一个峰值名义应力状态(强度状态)；有效应力σ1E单调增长，在临界状态达到最大值；临界状态之后，试件随即进入以宏观裂纹扩展为特征的局部破坏阶段.

表1 计算参数

图4 单轴拉伸应力-应变曲线

图5比较了C20～C80混凝土单轴拉伸临界状态和峰值名义应力状态的关系，其中临界状态应力与峰值名义应力之比σ1,cr/σ1,p的变化范围为0.79～0.93，应变比ε1,cr/ε1,p的变化范围为1.24～1.33；从曲线形状看，临界状态位于名义应力-应变曲线软化段的2阶拐点附近，采用该状态能够充分考虑混凝土材料均匀损伤阶段的延性，并能够在曲线上升段和下降段的损伤演化过程之间建立起有效的联系.

图5 单轴拉伸临界状态与峰值名义应力状态比较

图6显示了C20～C80混凝土单轴拉伸过程中表征屈服损伤的特征参数εat、εht和εbt随fcu,k的变化规律.由图6可见，随着混凝土强度等级的提高，上述参数的变化表现出明显的规律性.εat、εht和εbt分别由C20时对应的37.763×10-6、74.841×10-6和110.779×10-6单调增大到C80时对应的71.014×10-6、136.673×10-6和152.989×10-6，其中εat呈线性增长趋势.根据上述3参数可确定函数p(ε1)三角形概率分布形态的演化规律.

图6 εat、εht、εbt与fcu,k的关系曲线

图7显示了表征断裂损伤的特征参数Ht随fcu,k的变化规律.由图7可见，随着混凝土强度等级的提高，Ht由C20时的0.163线性增大到C80时的0.351.通过回归分析，可得到图6、7中4个参数随fcu,k变化规律的表达式，其中x=fcu,k.

图7 Ht与fcu,k的关系曲线

上述特征参数具有明确的物理含义，可用于分析不同强度等级混凝土单轴拉伸过程中细观损伤演化机制与宏观非线性力学行为之间的内在联系.

图8显示了强化因子E1v的演化曲线.E1v与屈服损伤有关，反映了混凝土微结构受力骨架优化调整的程度.在均匀损伤阶段，E1v变化范围为0～1，在整个过程中起决定性作用.由图8可见，混凝土强度等级的提高显著延缓了E1v的演化进程.从变形的角度分析，在相同应变情况下，混凝土强度等级越高，其微结构受力骨架优化调整的程度越低.因此，强度等级高的混凝土临界状态相对滞后，导致其变形能力有所提高.当E1v=1时达到临界状态，意味着微结构有效受力骨架调整到最优，材料潜在承载能力发挥到极限，试件随即进入以损伤局部化为特征的破坏阶段.

图8 E1v演化曲线

图9显示了断裂损伤变量D1R的演化曲线.D1R与微裂纹密度相关，反映了微裂纹萌生、扩展的过程.由图9可见，在相同应变情况下，混凝土强度等级越高，D1R值越小，即微裂纹密度越小.但由于高强度混凝土的临界状态相对滞后，导致临界状态对应的D1R值随着强度等级的提高而增大，由0.163增大到0.351；微裂纹密度仍然维持在较小的程度.

图9 D1R演化曲线

3.2 单轴压缩

图10显示了本文模型预测的C20～C80混凝土单轴压缩均匀损伤阶段对应的名义应力-应变曲线及其有效应力-应变曲线.由图10和表1可见，本文模型预测曲线与规范建议曲线吻合良好，两者之间的相关系数R2均在0.99以上.在均匀损伤阶段，σ3先增大后减小；σ3E单调增长，在临界状态时达到最大值.

图10 单轴压缩应力-应变曲线

图11比较了C20～C80混凝土单轴压缩临界状态和峰值名义应力状态的关系，其中应力比σ3,cr/σ3,p的变化范围为0.66～0.97，应变比ε3,cr/ε3,p的变化范围为1.29～1.63.为充分考虑混凝土材料的延性，同时避免局部破坏阶段尺寸效应的影响，Xiao等[19]提出将单轴压缩应力-应变曲线下降段对应应力为0.85σ3,p的状态定义为极限状态.本文模型中的临界状态与该极限状态的定义类似.

图11 单轴压缩临界状态与峰值名义应力状态比较

图13显示了表征断裂损伤的特征参数Hc随fcu,k的变化曲线.由图13可见，随着混凝土强度等级的提高，Hc由C20时的0.094增大到C80时的0.506.通过回归分析，可得到图12、13中4个参数随fcu,k变化规律的表达式，其中x=fcu,k.

图12 εac、εhc、εbc与fcu,k的关系曲线

图13 Hc与fcu,k的关系曲线

图14显示了强化因子E3v的演化曲线.在均匀损伤阶段，E3v变化范围为0～1.由图14可见，混凝土强度等级的提高显著延缓了E3v的演化进程，临界状态相对滞后，导致其在均匀损伤阶段的变形能力有所提高.临界状态对应的压应变ε3由C20时的-1.679×10-3增大到C80时的-2.937×10-3.

图14 E3v演化曲线

图15显示了断裂损伤变量D3R的演化曲线.由图15可见，随着强度等级的提高，混凝土的初始损伤应变逐渐增大，D3R的增长速率明显加快；同时由于均匀损伤阶段混凝土的延性逐渐增大，导致临界状态对应的D3R值由0.094增大到0.506.

图15 D3R演化曲线

白卫峰等[9,12]利用统计损伤模型对硫酸盐侵蚀环境以及动态应变率下混凝土单轴非线性应力-应变行为进行了分析，揭示了混凝土的细观损伤演化机制与宏观非线性本构行为之间的内在联系，表明了该方法的合理性和有效性.

4 结论

(1)混凝土材料变形破坏是一个损伤累积演化诱致局部灾变的2阶段过程.在损伤累积阶段，微结构内部存在“劣化”和“强化”2种作用机制；其中“强化”机制反映了应力重分布和受力骨架的优化调整，以及材料潜在承载能力的进一步释放过程.本文详细描述了混凝土单轴拉伸、单轴压缩变形破坏过程中细观损伤机制与宏观非线性应力-应变行为之间的内在联系，强调了细观“强化”机制在整个过程中起到关键作用.

(2)本文建立了考虑强度等级影响的混凝土单轴拉伸、压缩统计损伤模型，该模型考虑细观断裂和屈服2种损伤模式，分别与“劣化”和“强化”机制对应；同时利用本文模型预测规范建议的C20～C80混凝土单轴拉伸、单轴压缩应力-应变曲线.结果表明：随着混凝土强度等级的提高，表征细观断裂和屈服损伤演化过程的特征参数表现出明显规律性的变化趋势；混凝土宏观非线性应力-应变行为由细观损伤演化机制决定.区分峰值名义应力状态和临界状态，将后者作为损伤局部化和灾变破坏的前兆，能够在名义应力-应变曲线上升段和下降段的损伤演化过程之间建立起有效的联系.