“围”中感悟，“围”中辨析，“围”中拓展——数学概念走向深度理解策略例谈

福建省厦门市湖里第二实验小学 江 鹭

小学数学概念主要有数的概念、运算的概念、量与计量的概念、几何形体的概念、比与比例的概念、方程的概念以及统计初步知识的有关概念等，这些数学概念是构成小学数学基础知识的重要内容。但是，在教学实践中发现，对小学生来说，要掌握集抽象性与概括性于一体的数学概念有难度，他们喜欢动手操作、喜欢“玩学具”。那么，有没有可能让学生在“玩学具”的同时为“学概念”奠定基础呢？进一步说，是不是可以借助学具，通过动手操作去促进学生对概念的深度理解呢？基于上述思考，就有了利用钉子板来辅助概念教学的想法。在“认识平行四边形”一课的教学中，我让学生一边“玩钉子板”，一边理解和学习概念，让学生在“围”中感悟概念的内涵，在“围”中辨析概念的外延，在“围”中拓展概念的结构，从而促进学生对概念的深度理解。

一、“围”中感悟，促进学生深度理解数学概念的内涵

数学概念的理解，本质上是对数学概念内涵的理解。数学概念的内涵在表述上往往具有简明、抽象的特点，对此，学生的理解往往是有困难的。抽象概念的理解需要借助形象的手段，完成个人意义上的自我建构，动手操作是一个好的媒介。在认识平行四边形的教学活动中，我借助钉子板，让学生在“围”中感悟，促进学生深度理解平行四边形概念的内涵。

上课伊始，我让学生凭着之前的学习印象用橡皮筋在钉子板上快速围一个平行四边形。在展示学生作品时，我并没有直接出示完整的图形，而是先把图形遮去一半，再慢慢地展露出整个图形，让学生逐步做出判断。（如下图）

1 号图形

2 号图形

“1 号图形”被遮住了一半，学生刚开始无法确定，直到图形全部露出后才判断所围的图形是平行四边形。“2 号图形”也被遮住一半，但大多数学生能借助钉子板各点间距相等的特点，发现图形上下两条边之间的距离不相等，不用看见完整的图形，就能马上判断出“2号图形”不是平行四边形。在“半遮半掩”中，学生的目光自然而然地聚焦到“对边是否平行”这一平行四边形的数学内涵之上。

课的最后，我首尾呼应，再次设计了一个围平行四边形的操作活动：公园内规划了一块平行四边形的绿地，设计师已经在方格图中画出了这个平行四边形的三个顶点，位置分别是A、B、C，请问第四个顶点D的位置可能在哪里？你能不能在钉子板上围出来？（如下图）教学过程中，我让学生先脱离钉子板，在脑中想象，而后让他们在钉子板上动手操作，验证自己的想法。学生在发散思维的过程中，再次巩固了概念的内涵：只要是两组对边分别平行的四边形就是平行四边形。两组对边分别平行是“一个四边形是平行四边形”的充分必要条件。

学生经历以上两次围平行四边形的操作活动后，对平行四边形的概念有了更清楚的认识。

二、“围”中辨析，促进学生深度理解数学概念的外延

数学概念的构成有内涵和外延两个方面，明确数学概念包括明确概念的内涵和外延，数学概念理解的关键是对数学概念内涵的理解，与此相对应的是对数学概念外延的辨别与确定。学生对数学内涵的理解是否深入、是否深刻，往往可以用能否准确界定数学概念的外延作为考查的手段和指标。在数学概念外延的理解上，一般的教学手段是借助变式，在充分的变式中让学生清晰辨明：对于相关数学概念，哪些特征是数学概念的本质属性，哪些特征是数学概念的非本质属性。在这一过程中，学生界定了概念的外延，同时也更深刻地理解了概念的内涵。

具体到本节课中，在学习概念之后，我让每个学生在钉子板上再围一个平行四边形，同桌互相判断围的图形对不对。这时，有学生提出疑问：围成的图形有的胖、有的瘦，有的高、有的矮，有的往左倾斜、有的往右倾斜，都是平行四边形吗？我引导学生仔细观察每一个图形的对边，他们在对比、讨论之后发现，围成的四边形虽然形状各异，虽然倾斜的程度不同，但都满足平行四边形的特征，即“两组对边分别平行”，所以都是平行四边形。（如下图）

这个环节，学生从不同中归纳出相同，又从相同中分辨出不同，对平行四边形这一数学概念的外延更加明晰。在判断中，学生紧抓概念本质“只要两组对边分别平行的四边形就是平行四边形”，这正是平行四边形这一概念的内涵，在反复判断中，学生对概念内涵的理解也更深刻了。

三、“围”中拓展，促进学生深度理解数学概念的结构

数学知识的产生从来不是割裂的，其具有网状的、链条式、结构化的发展特点。对数学概念的理解走向结构化，是学生对数学概念深度理解的体现。本课中，为了帮助学生深刻理解平行四边形的概念，我设计了“围一个特殊的（不一样的）平行四边形”的操作环节，并让学生和同桌说一说它特殊在哪儿。

这个环节是本课的高潮，学生围出的图形多种多样，有的特别扁，有的特别大，有的特别高。突然，一个男生兴奋地高举着他的钉子板，自豪地说：“我围的最特殊，是长方形！”学生一听都安静了，我趁热打铁发问：“长方形是平行四边形吗？”他迫不及待地为自己辩解：“长方形满足两组对边分别平行的条件，它是平行四边形，特殊在它有四个直角！”这时候，另外一个女生也站起来举着她的钉子板说：“我围的是正方形，不仅满足两组对边分别平行，而且四个角都是直角，四条边都相等，也是特殊的平行四边形！”学生一听纷纷点头，长方形和正方形虽然有特殊的角度或者边长，但都满足平行四边形概念的本质“两组对边分别平行”，它们都是特殊的平行四边形。

这个环节的教学打通了这三种图形之间的联系，学生头脑中关于平行四边形的认识体系更丰满了，长方形和正方形都是特殊的平行四边形，而正方形不仅是特殊的平行四边形，还是特殊的长方形。显然，这种数学概念的理解水平已经达到结构化的程度。

在小学数学概念教学过程中，教师要了解数学概念的特点和要求，了解概念的发生发展过程，借助学具动手操作感悟概念的内涵，明晰概念的外延，整体把握概念的体系，使学生不仅能掌握概念，而且在解决问题的过程中能够灵活运用，从而实现对数学概念的深度理解。