基于改进智能水滴的正交匹配追踪混合预编码算法

刘紫燕，马珊珊，白 鹤

（贵州大学大数据与信息工程学院，贵阳 550025）

（*通信作者电子邮箱leizy@sina.com）

0 引言

毫米波大规模多输入多输出（millimeter-Wave Massive Multi-Input Multi-Output，mmWave Massive MIMO）技术作为5G 的关键技术之一，由于系统具有高带宽、大吞吐量、低能效等优点而受到学者广泛关注［1］。在传统的大规模MIMO 系统中，每根天线通常都需要配置一根射频链路（Radio Frequency Chain，RF Chain）从而实现全数字信号处理。但在大规模MIMO 系统中天线数目的不断增多，使射频链路的能效呈爆炸式增长。为了降低系统硬件成本和能量消耗，混合预编码方案应运而生［2］，其基本原理是将传统的全数字预编码器拆分为高维模拟预编码器和低维数字预编码器两部分。模拟预编码器和数字预编码器分别通过模拟电路和射频链路实现，可以有效提升天线阵列增益和消除用户间干扰［3］。常用的混合预编码方案主要有两种：一是将每条射频链路连接所有天线的全连接结构混合预编码；二是将每条射频链路只需连接一个天线子集的部分连接结构混合预编码［4］。研究表明，全连接混合预编码可以有效提高系统的频谱效率，部分连接混合预编码则能够实现更高的能量效率［5］。

因此，为获得近似最优的系统性能，如何设计混合预编码结构已经成为当前毫米波大规模MIMO 系统研究的热点问题。文献［6］提出一种基于交替优化和干扰对齐的低复杂度混合波束成型预编码算法，通过优化波束控制矢量提升了系统的可达和速率；文献［7］针对能量效率优化问题提出一种基于连续干扰消除的迭代混合预编码算法，该算法假设数字预编码矩阵采用对角矩阵结构，合理分配功率降低能效的同时牺牲了系统性能；文献［8］将混合预编码设计问题描述为稀疏信号的重构问题，并提出一种基于空间稀疏性的混合预编码算法来重构稀疏信号；文献［9］在假设获得完全信道状态信息（Channel State Information，CSI）的情况下，提出一种基于正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法的低复杂度混合预编码，该方法可以有效提升系统空间复用增益，但是RF（Radio Frequency）预编码矢量的选择增加了系统复杂度；针对OMP 混合预编码计算复杂的问题，文献［10］中提出一种基于鸟群算法（Bird Swarm Algorithm，BSA）的OMP 的混合预编码方案，该方案利用BSA 的快速搜索全局最优值的特点直接搜索RF预编码矩阵，同时利用分块矩阵广义逆进行高低维度矩阵转换避免矩阵求逆，降低了系统误码率和复杂度。以上方法均包含一个假设条件，即系统可以获得完全信道状态信息。基于此，在基于非完全信道状态信息的情况下，本文提出一种基于改进智能水滴（Intelligent Water Drop，IWD）的正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit based on improved Intelligent Water Drop，IWD-OMP）混合预编码算法。

1 毫米波大规模多输入多输出系统模型

搭建一个单用户毫米波大规模多输入多输出下行链路系统模型，假设该模型工作在频分双工（Frequency Division Duplexing，FDD）模式［11］下，其中基站端配备Nt根发射天线和条RF 链路，接收端配备Nr根接收天线和条RF 链路，假设发送端向接收端发送Ns条数据流，其中Ns≤≤Nt，Ns≤≤Nr。混合预编码系统框图如图1所示。

图1 混合预编码系统框图Fig.1 Block diagram of hybrid precoding system

其中：s为Ns×1维的发送信号数据流矢量，且满足E(ssH)=。模拟预编码器满足条件表示RF 模拟预编码矩阵的主对角线元素。假设接收端的用户均为单天线用户且满足等功率分配条件，则预编码矩阵需满足

由于毫米波信道散射簇数目少，散射能力有限，不适用于传统的瑞利衰落信道模型，因此，采用基于扩展的Saleh-Valenzuela 窄带群簇信道模型对毫米波大规模多输入多输出信道进行建模［12］。窄带平坦衰落信道矩阵H可以用Ncl个散射簇分布表示，每个散射簇包含Nray条传播路径，即：

其中：αi，l表示第i个散射簇中的第l条传播路径的增益因子，服从均值为0、方差为的复高斯分布。为了确保等式=NtNr成立，需满足条件=γ，条件中的γ为标准化因子。和分别表示收发两端天线阵列的响应矢量分别表示第i个散射簇第l条传播路径的天线阵列中方位角的到达角（Angle of Arrival，AOA）和离开角（Angle of Departure，AOD）。当收发两端天线阵列采用均匀线性阵列（Uniform Linear Array，ULA），且天线间距为半波长时，阵列的响应矢量可以表示为：

式（3）中：λ表示载波的波长，d表示天线元素间距。当天线阵列采用均匀平面阵列（Uniform Planar Array，UPA）时，可以根据文献［13］推导出相对应的阵列响应矢量。

发送信号经信道传输到达接收端后，依次通过模拟射频组合器WRF和数字基带组合器WBB处理，下行链路接收信号y可以表示为：

其中：y∈为用户获得的总接收信号，ρ为系统接收功率，为服从均值为0、方差为的加性高斯白噪声（Additive White Gaussian Noise，AWGN）。同模拟预编码器FRF类似，模拟射频组合器WRF需满足条件假设系统收发两端可以获得完全信道状态信息，且传输数据流满足等功率分配条件，其系统频谱可以表示为：

其中：P表示系统发射功率，Rn=表示组合噪声的协方差矩阵，G=表示等效处理矩阵。假设接收端可以完全解码，根据频谱效率最大化原则，将混合预编码问题等效为如下优化问题：

式（6）中：φRF表示RF 预编码矩阵的可行解集合，其中的所有元素均满足恒模约束条件。由于FRF∈φRF是非凸约束条件，因此难以获得式（6）的通用解。文献［14］证明频谱效率的最大值近似等价于混合预编码矩阵和全数字预编码矩阵的最小欧氏距离，因此，对于混合预编码设计问题可以进一步描述为：

其中Fopt表示最优无约束全数字预编码器，由对应于信道矩阵H的右奇异矩阵的前Ns列奇异向量组成。式（7）表明可以通过寻找最优预编码矩阵Fopt在混合预编码矩阵FRFFBB上的最大投影来设计混合预编码。然而由于非凸约束条件FRF∈φRF的限制，导致在算法求解过程中寻找全局最优变量十分困难。

2 基于IWD-OMP的混合预编码算法

2.1 基于OMP的混合预编码

文献［15］表明阵列天线响应矢量具有的相位恒定和幅度恒定特性与式（7）中的恒模约束条件一致，因此可以利用阵列天线响应矢量的线性组合求解RF 预编码矩阵，将式（7）等效为：

式（8）将混合预编码设计问题转换为从阵列天线响应矢量at中求解最优向量作为模拟预编码矩阵FRF，将模拟预编码矩阵FRF的约束条件嵌入优化目标，寻找数字预编码矩阵FBB的最佳低维表示，可以得到以下优化问题：

其中At为阵列天线响应矢量的集合。当Ns≥1时，式（9）为稀疏信号重构问题。OMP 算法在信号重构时具有速度快、精确高等优点，因此在混合预编码优化设计中采用基于OMP的优化算法，其伪代码程序如下：

OMP混合预编码算法伪代码程序如下：

输出 模拟预编码矩阵FRF和数字预编码矩阵FBB

其中k是通过不断搜索生成内积计算中最大值对应的索引值，是不停更新迭代的，在此不再设置下标。由伪代码可知，基于OMP 混合预编码算法分为两步实现：首先通过迭代和最小二乘法求得近似最优模拟预编码矩阵；然后对信道矩阵进行奇异值分解求得近似最优的数字预编码矩阵FBB。该算法最重要的步骤是求解最大投影来更新模拟预编码矩阵FRF。模拟预编码矩阵FRF需满足恒模约束条件和发射功率约束条件，求解难度较大，矩阵维度会随着向量数量的增加而增加，高维度矩阵求逆操作计算复杂，且会造成一定程度的功率消耗。除此之外，在构造候选矩阵时需要使用精度较高的信道估计算法从而获得天线阵列中方位角的到达角和离开角，不同的信道估计算法对预编码算法的性能影响较大，且提前构造候选矩阵不仅浪费系统资源，更容易引起系统延时。由此可见，基于OMP 的混合预编码算法虽然可以有效减少射频链路数量、降低系统复杂度，但是资源消耗过大。针对以上问题，本文提出一种基于改进IWD的OMP混合预编码算法。

2.2 基于改进IWD的OMP混合预编码

Hamed-Shah-Hosseini 于2007 年模拟自然水滴流动所提出智能水滴算法［16］，它通过模拟现实生活中水流形成河道的过程，依次迭代获得最优解。其基本原理是当水滴遇到距离差异不同的多条路径时，将以较大概率选择携带泥土量较少的一条路径通过。缺点主要在于初期求解速度慢，迭代结果依赖初始值，容易陷入局部最优且出现大量无效搜索。为了解决上述问题，在智能水滴算法中引入变异机制，对寻找的路径以一定概率进行交叉变异操作。由于全局算法是典型的概率算法，容易早熟收敛，局部寻优能力差，将局部搜索和变异操作同时混合到OMP 算法中，通过适当的调节，发挥各自的优点，提高算法的开发能力，增加变异操作防止算法早熟，可以共同提高OMP 算法的全局寻优能力，获得全局最优结果且能实现快速收敛。

通过2.1 节分析可知，想要获得最优模拟预编码矩阵FRF，必须从候选矩阵A*t中选择与残差矩阵Fres内积相乘最大索引向量，即求其全局最优索引向量k。需提前构造候选矩阵FRF是传统OMP混合预编码算法的前提，算法实现复杂，系统开销过大。因此，本节引入智能水滴（Intelligent Water Drop，IWD）算法对OMP 混合预编码算法进行改进，通过智能水滴算法求解最优索引向量k，不需提前构造候选矩阵。

将目标函数最优索引向量k=变为以下表达式：

其中φ=AHFres为候选矩阵与残差矩阵的内积，A=为当收发两端天线阵列采用均匀线性阵列时的天线阵列响应矢量。

改进智能水滴算法求解最优索引向量k的伪代码程序如下：

输入 智能水滴k和泥土量α

2.3 复杂度分析

根据文献［17］OMP 混合预编码算法伪代码可知，复杂度为OOMP根据2.2 节改进后IWDOMP 算法复杂度伪代码可知，计算内积φ需要L×Nt的和Nt× 1 的Fres相乘，复杂度为O(L×Nt)。计算最优索引向量k需要L× 1 的φ和L× 1 的φ*相乘，复杂度为O(L2)，计算FRF的复杂度为计算FBB的复杂度为计算Fres的复杂度为则改进IWD 的OMP 混合预编码IWDOMP 的复杂度为Nt)。由复杂度表达式可知，相较于OMP 混合预编码算法，计算复杂度降低。

3 仿真结果及分析

为验证本文所提算法的有效性，根据式（5）将基于改进IWD 的OMP 混合预编码算法与全数字预编码、OMP 混合预编码两种算法进行系统可达和速率和误码率性能的对比。

搭建毫米波大规模多输入多输出下行链路系统模型，假设基站端发送天线Nt的值分别设置为128 和64，用户端接收天线Nr的值为16，使用4 条RF 链路，配置方式为均匀线性阵列，相邻两根天线之间的距离为λ。假设信道模型采用基于扩展的Saleh-Valenzuela 窄带群簇信道模型；每次数据传输2条数据流；每个传播路径的发送和到达角均服从拉普拉斯分布［18］，每个用户对应的扩展角为5°；迭代次数设置为100 次。为凸显算法性能差异，信噪比取值范围为0～28 dB，以4 dB 为单位间隔，发送信号采用16QAM 调制方式。仿真参数如表1所示。

表1 系统仿真参数Tab.1 System simulation parameters

图2和图3分别表示发送端配置不同数量的天线情况下，所提预编码算法同其他两种预编码算法在系统可达和速率性能上的比较。从图2 中曲线可以看出，改进IWD-OMP 混合预编码算法在信噪比为0～16 dB 时，同OMP 混合预编码算法在系统可达和速率性能上相差不大；当信噪比取值12 dB 时，改进IWD-OMP 混合预编码算法相较于OMP 混合预编码算法，系统可达和速率提升约3.98%。

图2 Nt=64时系统可达和速率性能比较Fig.2 Comparison of system achievable sum rate performance with Nt=64

图3 Nt=128时系统可达和速率性能比较Fig.3 Comparison of system achievable sum rate performance with Nt=128

当信噪比为16～28 dB 时，改进IWD-OMP 混合预编码性能曲线略低于OMP 混合预编码算法曲线，这是因为在发送端天线数量较少时，改进IWD-OMP 混合预编码算法通过IWD算法迭代求解最优索引向量，随迭代次数的增加影响了系统性能。当信噪比为28 dB 时，相较于全数字预编码算法，OMP混合预编码算法系统可达和速率降低约6.76%；改进IWDOMP混合预编码算法系统可达和速率降低约12.83%。

随着发送端天线数的增加，改进IWD-OMP混合预编码系统可达和速率性能明显提升。从图3 中可以看出，圆圈曲线所代表的OMP 混合预编码算法系统可达和速率性能明显低于图中实线和虚线曲线所代表的改进IWD-OMP 混合预编码及全数字预编码。当发送端天线数为128，信噪比为28 dB时，相较于全数字混合预编码，改进IWD-OMP 混合预编码系统可达和速率降低约8.15%；相较于传统OMP 混合预编码，其系统可达和速率提高约7.71%。

图4 为不同天线数下改进IWD-OMP 混合预编码算法的系统可达和速率差异对比。当发送端天线数目增加一倍时，本文所提算法可达和速率随着信噪比的升高而增加。当信噪比取值为28 dB 时，以发送端配置64 根天线时所提算法的系统可达和速率为基准数据，发送端天线数增加一倍时，其可达和速率性能提升约45.48%。根据可达和速率相关公式可以证明，当收发两端天线数成倍增加时，其系统性能可成倍提升；当收发两端中一端天线数成倍增加时，其系统性能可提升50%。值得一提的是，随着天线数的增多，矩阵计算复杂导致系统开销过大，影响系统性能无法达到理论预期值。实验结果与理论分析一致，由此可见本文所提出的基于改进IWDOMP混合预编码算法在天线数增多时仍能保持良好性能。

图4 改进IWD-OMP混合预编码算法在不同天线数下系统可达和速率性能比较Fig.4 Comparison of system achievable sum rate performance of the improved IWD-OMP hybrid precoding algorithm under different antenna numbers

图5 显示了当发送天线时本文所提预编码算法同其他两种预编码算法在系统误码率性能上的比较。改进IWD-OMP算法通过在OMP算法基础上引入改进的IWD 算法，可以快速获得全局最优结果且实现快速收敛。从信噪比为24 dB 开始，本文所提改进IWD-OMP 算法已经开始逐步收敛，其收敛速度明显高于OMP混合预编码。

图5 系统误码率性能比较Fig.5 System bit error rate performance comparison

从图5 中可以看出，方框曲线所代表的改进IWD-OMP 混合预编码算法误码率性能曲线一直低于圆圈曲线所代表的OMP 混合预编码算法误码率，即较OMP 混合预编码算法，本文所提的改进IWD-OMP 混合预编码算法误码率更低。当信噪比为8 dB 时，相较于OMP 混合预编码算法，本文所提预编码误码率降低约19.77%；相较于全数字预编码，本文所提预编码误码率提高约11.36%。

在实际毫米波通信场景中，由于信道矩阵的高维特性，很难直接获得完全信道状态信息。因此，在非完美信道状态信息条件下评估本文所提出的改进IWD-OMP 混合预编码算法的性能是至关重要的。如图6 所示为采用两种常见算法对系统进行信道估计的标准化均方误差（Normalized Mean Square Error，NMSE）曲线。从图中可以看出，虚线曲线一直位于实线曲线之下，即OMP 信道估计算法的均方误差明显低于传统最小二乘（Least Square，LS）估计算法。当信噪比取值为28 dB时，相较于LS信道估计算法，OMP信道估计算法的均方误差降低约39.72%。这是由于OMP 算法充分考虑了毫米波系统具有的稀疏特性，利用压缩感知的思想对稀疏信号进行重构，重构成功率大。因此，本文选取估计效果较好的OMP信道估计算法对毫米波系统进行信道估计，在非理想CSI 情况下对改进预编码算法进行系统性能仿真。

图6 不同信道估计算法的标准化均方误差比较Fig.6 Comparison of normalized mean square error between different channel estimation algorithms

图7 为当发送天线时本文所提预编码算法在不同CSI 状态下的系统可达和速率性能比较。由图7 可以看出，对两种混合预编码算法而言，其在完全信道状态信息情况下系统可达和速率明显高于非完全CSI 情况。对OMP 混合预编码而言，当信噪比取值为28 dB 时，相较于完全信道状态信息，其可达和速率性能降低约9.65%。对本文所提出的改进IWDOMP 混合预编码而言，当信噪比取值为0 dB 时，相较于完全信道状态信息，其可达和速率性能降低约0.05%；当信噪比取值为28 dB时，其可达和速率性能降低约1.08%。实验结果表明本文所提预编码算法对实际信道环境中非完全信道状态信息具有鲁棒性。

图7 不同CSI情况下预编码算法的性能比较Fig.7 Performance comparison ofprecoding algorithms under different CSI conditions

4 结语

本文针对OMP 混合预编码算法实现复杂系统开销过大的问题，运用改进智能水滴算法求解全局最优索引向量。该算法有效解决OMP 混合预编码算法需提前构造候选矩阵的问题，节约系统资源。理论分析和仿真表明，本文所提改进IWD-OMP 混合预编码算法可以高效精确求解最优索引向量，同全数字预编码、OMP 混合预编码两种算法相比具有更好的系统性能，可提升系统可达和速率并降低系统误码率。此外，本文采用OMP信道估计算法模拟实际通信场景中部分CSI情况，仿真结果表明本文所提预编码算法对信道估计误差具有鲁棒性。