基于EFAST的三轴立式加工中心几何误差敏感性分析

2021-06-29余文利邓小雷谢长雄

农业机械学报 2021年6期

余文利邓小雷王胜谢长雄

(1.衢州职业技术学院机电工程学院，衢州 324000； 2.衢州学院浙江省空气动力装备技术重点实验室，衢州 324000)

0 引言

提高机床加工精度的主要方法是补偿各种误差。几何误差和热误差是影响机床加工精度的主要误差源，占总制造误差的 60%以上[1]。几何误差具有重复性好、系统性高、易测量和长时间内稳定等特点，几何误差补偿技术是提高机床加工精度的一种经济有效的重要手段。

通常，几何误差补偿是通过软件补偿实现的，与硬件补偿相比，软件补偿实现更容易、更经济[2]。建立精确而系统的几何误差模型是几何误差补偿的重要环节之一。现有建模方法中最常用的是齐次变换矩阵(Homogeneous transformation matrices, HTM)和多体系统理论[3]，单个运动轴的综合HTM由位置矩阵、位置误差矩阵、运动矩阵、运动误差矩阵构成[4]。国内外许多学者成功地使用HTM和多体系统理论对多轴数控机床的几何误差进行建模，取得了一些研究成果[5-11]。其他新型理论也被应用于机床几何误差建模中，比如旋量理论[12-19]。

通过误差模型可以获得刀具相对于工件的综合几何误差，从而得到机床整个工作空间的综合误差分布，为误差补偿提供依据。几何误差呈现非线性特征，同时误差元素之间存在耦合作用，各项几何误差元素对机床整体精度的影响权重各异。为提高误差补偿效率和降低补偿成本，国内外学者相继进行了几何误差敏感性分析研究，对机床几何误差进行敏感性分析，能够获得对机床精度影响较大的关键性误差，敏感性分析结果可以作为机床精度设计的重要依据[20]。程强及其研究团队提出了多种误差敏感性分析和优化方法，如Sobol法[21]、Morris法[22]、可靠性理论[23]和高阶矩标准化技术[24]等。WU等[25]设计了多因素正交试验和单因素参数试验，将正交试验显著性检验结果的F值和参数化检验结果的欧几里德范数作为几何误差全局敏感度系数。郭世杰等[26]通过计算拉丁超立方抽样确定的误差元素引起的空间几何误差，进行相关性分析，并辨识影响机床精度的关键几何误差元素。CHANG等[27]使用金字塔测试件进行直接切割试验，结合田口方法中的信噪比概念评估多轴机床的几何误差。陈东菊等[28]通过对“S”形加工样件几何误差的逆向追踪实现了误差溯源，获得对机床加工精度影响较大的5项误差参数。刘奕颖等[29]从公差设计角度出发，结合多元线性回归对机床误差进行敏感性分析，并提出运动轴误差的公差设计方法。胡腾等[30]在几何误差敏感性分析基础上构建机床空间误差完备模型，并提出基于实际参预度的关键几何误差项识别方法。杨赟等[31]对机床误差数学模型求解21项几何误差元素的偏导数，得到与机床运动位置相关的空间几何误差的敏感度系数矩阵，建立了简化的空间误差快速补偿模型。

EFAST方法由SALTELLI等[32]提出，是一种有效的全局敏感性分析方法，已成功应用于农业[33]和气象学[34-35]领域。为了提取影响加工精度的关键几何误差元素，本文提出一种基于POE旋量理论和考虑几何误差之间相互关系的EFAST全局敏感性分析的新方法。首先融合POE旋量理论和串联机构运动学原理，构建立式加工中心的几何误差模型，然后采用EFAST全局敏感性分析方法，识别影响机床加工精度的关键误差元素和强耦合误差元素，最后在北京精雕 Carver800T型三轴立式加工中心上进行误差补偿试验，以验证本文方法的准确性和有效性。

1 基于POE旋量理论的多自由度串联机构正向运动学

对于图1所示的n自由度串联机构，定义2个三维笛卡尔惯性系，与刚体固连的动坐标系为B，惯性坐标系为A，B系的原点OB固定在基座上，A系的原点OA固定在末端执行器上。串联机构的关节以移动副和转动副为主，各关节在B系下的平动和转动用θ1、θ2、…、θn表示。

定义初始状态下末端执行器原点OA在B系下的位置为

(1)

式中gBA(0)——初始位形时A系与B系之间的刚体位姿变换

(xa,ya,za)——在B系下点OA的位置坐标

根据旋量理论[36]，在忽略运动误差时，串联机构的各关节在B系下分别进行理想运动θ1、θ2、…、θn后，将各关节运动加以组合，即得到串联机构正向运动学的指数积为

gBA(θ)=ee…egBA(0)

(2)

式中gBA(θ)——A系相对于B系的最终位姿

θn——第n个关节的转动量

相比于传统基于多体系统理论的HTM建模方法，基于POE旋量理论构建运动学模型时具有下列优点：①避免了HTM建模方法中对各部件建立局部坐标系，整个过程只需建立一个全局参考坐标系，解决了矩阵变换时存在的奇异性问题。②运动旋量指数可以方便地描述刚体运动，其清晰的物理意义可以更好地表达刚体运动的空间几何特性，从而简化了串联机构的运动分析。

鉴于此，本文将POE旋量理论应用于三轴立式加工中心的运动学建模，并以此为基础构建几何误差模型。

2 基于POE旋量理论的三轴立式加工中心几何误差建模和辨识

2.1 立式加工中心运动链分析与正向运动学

三轴立式加工中心结构如图2所示，MCS为床身坐标系，OM为坐标原点。图中OW表示工件切削点，OT表示刀尖点，则OW和OT在MCS下的初始位置分别为

(3)

(4)

式中 (xw,yw,zw)——MCS下点OW的位置坐标

(xt,yt,zt)——MCS下点OT的位置坐标

图2所示的三轴立式加工中心运动链为XYFZ型，其运动链结构拓扑如图3所示。图3中实线为工件运动链(床身-Y轴-X轴-工件)，点划线为刀具运动链(床身-Z轴-刀具)，虚线为整体运动链(工件-X轴-Y轴-床身-Z轴-刀具)。显而易见，立式机床进行切削加工时，图中两条运动链末端的交汇点即为切削成形点。结合式(3)、(4)和式(2)串联机构末端执行器正向运动学指数积，可得立式机床工件链与刀具链末端正向运动学指数积为

gMW=eegMW(0)

(5)

gMT=egMT(0)

(6)

式中 e——机床部件沿X轴运动的旋量指数表达式

gWM——OM在WCS下的正向运动学指数积

2.2 立式加工中心几何误差及旋量表示

通常三轴立式加工中心各轴作平移运动时会产生21项几何误差元素[37]，包含定位误差、直线度误差、角度误差和垂直度误差，如表1所示，所有几何误差的下标定义参照文献[38]。其中，定位误差、直线度和角度误差依赖于运动空间位置，属于位置相关(Position dependent，PD)误差；垂直度误差不依赖运动空间位置，属于位置无关(Position independent, PID)误差。

表1 三轴数控机床几何误差元素

机床几何误差可看作刚体微量运动，根据旋量理论[38-39]可将表1的PID误差与PD误差分别表示为

(7)

(8)

式中i——误差方向j——运动方向

S(Sij)——垂直度误差旋量运动指数积表达式

D(δij)——直线度误差旋量运动指数积表达式

R(εij)——角度误差旋量运动指数积表达式

因式(2)的推导过程中忽略了运动误差，因此可看作串联机构在理想状态下的末端正向运动学指数积。在机床的任意运动链引入上述几何误差的旋量运动表示后，通过对式(2)的进一步拓展，便可以得到包括运动误差在内的末端实际正向运动学指数积。

2.3 理想运动与运动误差相乘次序的确定原则

在机床加工过程中，各部件的理想运动与误差微量运动的向量叠加构成了实际运动，结合上述两节内容可知，用上述两种运动旋量指数表示乘积可以描述机床的实际运动，因此，确定理想运动与运动误差间的相乘次序是建立机床实际运动学模型的关键。现应用多体系统理论的HTM变换，以X轴平动为例来说明理想运动矩阵与运动误差矩阵相乘次序的确定原则。如图4a所示，令OM为起始坐标系，该系仅作X向理想运动后到达OWi系。当存在6项PD误差时，OWr为OM系移动后(real.)的实际位置。则有

(9)

如果在OWi系下定义上述误差元素，则

OWr=[EPD.]OWi

(10)

由此可得

OWr=[EPD.][idea.]OM

(11)

由式(11)可知，通过运动误差右乘理想运动可得实际运动。同理，如果在OM系下定义上述PD误差，如图4b所示，则

(12)

可得

OW=[idea.][EPD.]OMi

(13)

此时通过运动误差左乘理想运动可得实际运动。

显然，式(11)、(13)的形式与对PD误差定义方式有关。前者以动点的理想运动后的位置作为参照来定义误差，而后者则以动点运动前的初始位置作为参照来定义误差。由此可得建立实际运动学模型时理想运动与运动误差乘积次序的确定原则为：①明确机床几何误差元素的定义坐标系。②分析上述坐标系是理想坐标系还是初始坐标系，如图4所示。③根据分析结果，按式(11)、(13)构建实际机床运动学模型。

2.4 三轴立式加工中心几何误差模型

由于制造和装配缺陷，机床运动轴在平移过程中的实际运动位姿与理想运动位姿存在偏差，此偏差被称为几何误差[40]。因此，在图3所示的OW处建立工件坐标系(Work-piece coordinate system, WCS)变得尤为必要，在此基础上，求解WCS下刀尖点OT位姿正向运动学指数积。在2.1节中，均以MCS为参考基准构建各运动链拓扑，因此如果以WCS为参考基准，对于工件运动链，式(5)可写为

gWM=(gMW)-1=(eegMW(0))-1

(14)

如果刀具运动链拓扑关系保持不变，则可以将工件链和刀具链耦合成如图3虚线所示的立式加工中心整体运动链拓扑，该拓扑关系以WCS为参考基准。则在WCS下运动链末端刀尖点OT的理想正向运动学指数积gi为

gi=(gWT)i=(gWM)i(gMT)i=(eegMW(0))-1(egMT(0))

(15)

在实际加工中，由于存在21项几何误差元素，机床刀尖点与理想点会出现偏差。依据2.3节所提出的矩阵相乘次序确定原则可知，在进行实际刀尖点运动学建模时，运动误差矩阵位于理想运动矩阵的右边。因此联立式(7)、 (8)、(15)，可得刀尖点在WCS下的实际正向运动学指数积gr为

gr=(gWT)r=(gWM)r(gMT)r=(eD(δix)R(εix)S(Six)eD(δiy)·R(εiy)gMW(0))-1·(eD(δiz)R(εiz)S(Siz)gMT(0))=(eeeeeee·eeeeeee·egMW(0))-1·(eeeeeee·eegMT(0))

(16)

则立式加工中心的几何误差ET为

ET=gr-gi

(17)

根据文献[41]的描述，理论上可以将几何误差分为可补偿和不可补偿两类，与机床切削点的自由度有关。三轴立式加工中心只有3个平动轴，对于加工工件，只需要补偿3个方向的几何误差，因此构建几何误差ET时，提取出最后一列即可。则忽略二阶和高阶误差项后，一阶误差模型为

(18)

式中Ex——几何误差ET在X方向上的分量

Ey——几何误差ET在Y方向上的分量

Ez——几何误差ET在Z方向上的分量

(x,y,z)——刀尖点在WCS下的位置坐标

在POE旋量理论的基础上建立了几何误差综合模型，模型中包含立式加工中心21项几何误差元素中的18项，体现了模型的完备性。该模型包括实际位置与工件坐标中切削点理想位置的偏差，可用于全局敏感性分析并计算补偿值。

2.5 几何误差测量和辨识

在北京精雕Carver800T型三轴立式加工中心上测量几何误差来进行全局敏感性分析。Carver800T型三轴立式加工中心为XYFZ型机床，机床结构如图2所示，测量工作区的空间尺寸为600 mm×800 mm×300 mm，通过激光干涉仪(LDDM型)使用9线法来测量2.4节几何误差模型所包含的18项几何误差元素，测试点分布如图5a所示。图5b为激光干涉仪测量现场图。

通过机床单轴运动和双轴同时运动来实现9线法测量，在机床测量空间中沿9条线在每个测量点测量一次位移误差，根据ISO 230-1[40]数控机床几何误差测量的相关标准，进行3次连续测量以减轻几何误差项随机特性的影响。通过求解线性方程确定18项几何误差元素，测量结果表明测量精度满足全局敏感性分析的要求。

3 基于EFAST方法的几何误差全局敏感性分析

3.1 EFAST方法分析过程

EFAST方法的基本思想来自于贝叶斯定理，即认为参数或输入参数之间的相互作用会导致模型输出的变化，它可以反映模型输出对输入参数的敏感度[34]。因此，可以通过分解模型方差来获得参数与总方差之间的耦合关系，模型方差即是参数的敏感性指标。图6为基于EFAST方法的立式加工中心几何误差全局敏感性分析框架图。输入参数为X(x1,x2,…,xn)，每个误差元素都有一定范围的变化和分布形式，并且所有误差元素都构成一个多维参数空间。

3.2 全局敏感性分析建模

根据POE旋量理论建立了立式加工中心的几何误差模型，X轴、Y轴和Z轴误差模型分别为

Ex=f(Sxz,δxx,δxy,δxz,εyx,εyy,εzy,εzx)

(19)

Ey=g(Sxy,Syz,δyx,δyy,δyz,εxx,εxy,εzx)

(20)

Ez=φ(δzx,δzy,δzz,εxx,εxy,εyx)

(21)

从式(19)～(21)可知，影响立式机床加工精度的主要几何误差元素共22个，其中X轴8个，Y轴8个，Z轴6个，有4个重复项。

以X轴误差模型为例，基于EFAST方法的几何误差全局敏感性分析步骤如下：

(1)通过合适的Saltelli转换函数[32]将y=f(x1,x2, …,x8)转换为y=f(s)。转换函数为

(22)

式中ωi——误差元素xi振荡频率

s——标量，s∈[-π，π]

φi——误差元素的随机相位，φi∈[0,2π]

通过傅里叶变换得到y=f(s)的表达式形式为

(23)

其中

(24)

A-p=Ap

(25)

B-p=Bp

(26)

式中p——傅里叶变换参数，p∈Z

Ap、Bp——傅里叶振幅

A-p、B-p——不包括p个参数的傅里叶振幅

傅里叶级数的频谱定义为

(27)

其中

Λ-p=Λp

(28)

式中Λ-p——不包括p个参数的傅里叶级数频谱

(2)通过步骤(1)获得频谱Λp后，误差元素xi变化引起的输出方差Vi为

(29)

误差模型总方差为

(30)

在[-π, π]范围内对标量s进行等间隔采样，傅里叶振幅Ap和Bp的近似计算式为

(31)

式中Ns——采样总数

p′——变化参数，p′∈{-(Ns-1)/2,…,-1,0,1,…,(Ns-1)/2}

sk——标量s的第k个采样值

(3)对模型总方差进行分解可得

(32)

式中Vi——误差元素xi自身变化引起的模型方差

Vi,j——误差元素xi通过误差元素xj贡献的方差

V1,2,…,m——误差元素x1通过其余m-1个误差元素耦合作用贡献的方差

(4)通过归一化处理后，误差元素xi的一阶敏感度系数Si成为误差模型输出方差的直接贡献，即

(33)

全局敏感度系数为

(34)

式中V-i——不包括误差元素xi的所有误差元素方差之和

(5)根据EFAST方法获得的输入误差元素的一阶敏感度系数和全局敏感度系数，判断单个误差元素对机床精度的影响以及耦合作用对机床精度的影响。

3.3 敏感性分析结果

EFAST方法应用于几何误差的全局敏感性分析时，需要预先知道几何误差的概率分布。在立式加工中心的工作区中采用9线法测量几何误差，如图5a所示，EFAST方法要求采样数须大于几何误差元素数的65倍，分析结果才有意义，因此根据拉丁超立方抽样技术[26]，在每个测点中针对每个几何误差元素采集1 200个数据，作为几何误差全局敏感性分析模型的输入参数。18项几何误差元素通过图5b所示的激光干涉仪测得。表2给出了立式加工中心几何误差元素的概率特征，所有误差元素均满足正态分布。

表2 几何误差元素的概率特征

几何误差全局敏感性分析模型基于几何误差模型和全局敏感性分析方法建立，计算得到的几何误差的一阶敏感度系数和全局敏感度系数以及分析结果如图7、8所示。

以立式加工中心的误差分量Ex的敏感性分析为例，根据图7比较一阶敏感度，识别出关键几何误差元素为：δxx、δxz、δxy、εyx、Sxz，敏感度系数分别为：0.3、0.23、0.14、0.04、0.03。根据图8比较全局敏感度，识别出的强耦合几何误差元素为：δxx、εzx、δxz、δxy，敏感度系数分别为：0.17、0.09、0.08、0.06。因此，为减小X轴的几何误差Ex，应着重补偿修正上述几何误差元素，并合理强化X轴和Y轴的精度。同理，根据图7和图8，其余两个轴的误差分量和总几何误差对应的关键误差元素、强耦合误差元素均可识别，结果见表3。

表3 各轴几何误差与总几何误差的关键误差元素识别结果

从敏感性分析结果可知，3项定位误差、6项直线度误差和1项垂直度误差对立式加工中心的空间定位精度影响较大，而角度误差的影响较小，可以看作是非关键误差，另外，垂直度误差是系统误差，因此对其他误差影响较小。这些误差应通过在机床设计中合理分配公差或补偿误差来严格控制。同时，敏感度系数可用于在加工和误差补偿过程中控制相关运动轴的关键误差元素来提高机床的加工精度。

4 试验验证

4.1 补偿策略

误差补偿对于验证几何误差模型和提高机床精度非常重要，为了在机床上实现误差补偿，基于EFAST的全局敏感性分析方法，综合考虑几何误差的随机性和耦合效应，通过反向添加补偿值重构理想加工代码，修正运动轴的实际位置，来实现几何误差补偿。

(35)

通过式(35)建立了公差、标准差和敏感度系数之间的关系。一阶敏感度是几何误差的主要敏感度，敏感度系数表示对几何误差总方差的直接贡献，因此，选择式(35)所示的几何误差元素的一阶敏感度系数作为输入参数。根据设计精度要求，高精度三轴机床的几何误差小于25 μm。根据一阶敏感度和机床的设计精度，可以获得各几何误差元素补偿值的标准差。

补偿值可以通过本文建立的几何误差模型、几何误差辨识值和加工代码计算得到，补偿值的均值为几何误差重复测量辨识值的平均值，补偿值的标准差取决于EFAST全局敏感性分析结果，如表4所示。通过选择合理范围内的补偿值，可以有效地控制几何误差的随机特征和耦合特征。

表4 几何误差元素补偿值的标准差

4.2 补偿与验证

为验证几何误差敏感性分析方法的有效性，本研究在具有开放式数控系统Carver800T型三轴立式加工中心上进行几何误差补偿试验。Carver800T型机床的X轴、Y轴和Z轴的行程分别为600、800、300 mm，丝杆螺距为16 mm，3个轴的定位精度和重复定位精度分别为0.008 mm和0.005 mm。几何误差补偿基于伺服控制系统中的位置控制进行，插补指令在总线接口的前端进行修改，通过反馈中断补偿方法实现，补偿原理如图9所示。

几何误差补偿试验系统如图10所示，主要包括Carver800T型三轴立式加工中心、伺服电机、直线光栅尺、放大器和dSPACE开放式数控系统。补偿试验系统由dSPACE开放式数控系统控制，每个运动轴由与伺服电机及其放大器耦合的滚珠丝杠驱动。dSPACE开放式数控系统由主机和从机组成，主机通过基于dSPACE的特殊软件进行人机交互代码的生成和数据保存，从机负责实时控制和信号采集。从机上的数字PID运动控制器生成控制信号，该信号发送到相应的放大器。安装在机床床身的直线光栅尺生成位置反馈信号，速度和扭矩反馈信号可以通过直接耦合到伺服电机的编码器获得，最后，位置信号、速度信号和扭矩信号通过数据总线发送到主机，主机根据采集的数据计算几何误差补偿值，生成补偿加工代码实现几何误差补偿。

误差补偿后再次进行测量，将测量结果代入式(18)中可获得相应的空间误差分量，图11为沿X、Y和Z3个运动轴方向的几何误差补偿与未补偿结果比较。

由图11可以看出，对关键几何误差元素进行补偿后，Ex、Ey和Ez几何误差范围分别为：-6.4～5.5 μm、-4.2～4.6 μm和-2.1～1.6 μm，而补偿前，3个误差分量的几何误差范围分别为：-13.6～14.8 μm、-12.8～11.2 μm和-6.7～0 μm。从比较结果可知，经过补偿后，Ex、Ey和Ez的几何误差远小于未补偿前的几何误差，其补偿率分别达到60%、66%和74%。

几何误差补偿前后的结果表明，采用开放式数控系统可以对三轴立式加工中心的几何误差进行有效补偿，而基于EFAST方法的几何误差全局敏感性分析的补偿方法对提高加工精度是有效的。