用数学思想方法引领高中数学教学

李峥嵘

【摘 要】随着数学教学改革和高考改革的深入，数学教学有了很多变化，但还是会遇到，一方面，都给学生讲练很多遍了，可是学生怎么还不会呢？另一方面典型的问题都讲了，也练熟了，但是问题稍微一变就不会了？作为数学教师，我们到底应该怎么做，能够使学生掌握所学，进一步使得“即使学生把所教给的知识（概念、定理、法则和公式）全忘了，铭刻在他头脑中的数学精神、思想和方法却能使他受益终生”呢？

【关键词】高中数学;数学思想;数学教学

数学思想方法，作为数学知识内容的精髓，是对数学的本质的认识，是数学学习的一种指导思想和普遍适用的方法，是把数学知识的学习和培养能力有机地联系起来，提高个体思维品质和数学能力，从而发展智力的关键所在，也是培养创新性人才的基础，实现现代社会对人才培养的要求，更是一个人数学素养的重要内涵之一。

一、在高中数学教学中要加强数学思想方法教学很重要

案例1：为了让学生更好地掌握一个求和方法“乘公比错位相减”求形如{（2n-1）·3n}的数列的前n项和，实际授课时教师清楚地讲解了解决过程，并工整的板书，总结了要点。学生在解决相关问题时，要参照着黑板上的过程。但当教师将黑板上结论擦掉后，一些学生就不知所措。对这样的课，我们应当认真反思：这种教学方法强调了“乘公比错位相减”方法的程序性，落实的是“技能”。这节课，教师实际上应强调两个字：方程！让学生分析乘公比错位相减的方法过程，发现它实际上是一个消元的过程，再进一步分析这个过程中，会发现运算中产生的最高次项是数列前n项和的最高次项，其结构必是的形式，结合待定系数法求出常数a，b的值也可以得到答案，最后再强调反思结果。这种方法体现的就是函数方程思想。

案例2：“y=f（2+x）与y=f（2-x）图像是什么关系”，经过训练的同学根据系数的符号可以看出它们的图像关于y轴对称，但是一个学生离开学校几十年后能用什么办法呢？利用函数y=x2作为f（x）的代表，描点研究得到了答案，这种研究函数的能力就是数学思想方法给他的力量。

这两个例子虽然是个案，但也说明在数学教学中，数学思想方法的教学起着重要的作用。数学思想方法的学习和领悟会使学生所学的知识不再是零散的知识点，也不再是解决问题的刻板套路和一招一式，它能帮助学生形成有序的知识链，为学生构建良好的认知结构起到十分重要的基础作用，是由知识转化为能力的桥梁，是培养学生数学意识、形成优良思维素质的关键。数学学习时，学生“懂得基本原理使得学科更容易理解”（布鲁纳），也有利于记忆;学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”，培养学生的创造能力，能够缩短高级知识和初级知识之间的间隙;数学思想方法能培养学生的数学思维品质。因此，加强数学思想方法的教学，是深化数学教育的突破口。

二、数学思想方法教学的一些实践体会

数学思想方法是基于数学表层知识，又高于它的深层数学知识，它隐藏在具体的数学知识方法之中，精心设计课堂教学、把握教学全过程是有效进行数学思想方法教学的基础和保证。

（一）数学思想方法教学的课堂组织模式

课堂组织以启发式的教学思想为指导思想，设计课堂方案、组织实施。

教学模式一：观察猜想——探究式。教师引导学生恰当运用观察与实验来获取经验材料，进行大胆猜想，发现新事物。操作程序可设计为：观察—猜想—实验—证明—应用。此模式适用于规律课（定理、公式、性质）的教学，在教学中强调从特殊到一般的方法。

例如：两角和的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+

sinαsinβ，可采用如下研究方法。

1.让学生探索特殊角的三角函数关系;

2.猜想规律，引出定理;

3.构造向量进行证明。

教学模式二：研究、实践——探究式。在数学实际应用问题中经过逐步抽象、概括而得到数学模型，利用数学知识研究数学模型的结论，分析数据，并解释实际问题蕴含的内在原因。此模式适用于数学实际应用问题教学，一方面是利用函数方程思想、最优化思想解决有关的实际问题;另一方面是利用统计知识方法，处理数据，研究有关的实际问题。

例如，利用所学的统计知识研究西安的空气污染问题、美国NBA热火队的取胜因素的问题、学生总成绩与各科目的相關程度的问题。

教学模式三：类比、归纳——探究式。运用类比帮助学生找出相关数学概念、相关数学命题之间的联系与区别，从而确切地去理解数学概念系统，澄清一些易于混淆的概念、定理、公式。此模式适用于新课，复习课。在教学中强调，结构思想、最优化思想、比较与分析、归纳与类比等方法。

例如：基本初等函数、等差等比数列、圆锥曲线教学中，通过对照数学结构相近的知识，用已学过的知识方法来帮助理解新的概念和性质。

教学模式四：化归、转化——探究式。借助旧知识、旧经验来处理面临的新问题。其程序是：对问题观察—联想—回忆旧知识—问题解决。此模式适用于“规律”课，复习课，在教学中强调化归思想、转化思想、数形结合思想。

例如：余弦函数联想到正弦函数;立体几何教学中，立体几何转化为平面几何，研究空间线面关系时，借助长方体进行转化，同时联想平面几何的有关结论探究立体几何中的图形性质。

（二）数学思想方法教学过程中的策略

在教学中，抓住机会，适时渗透、化隐为显。课堂内容的组织结构，数学知识的发生过程，实际上也是思想方法的发生过程、思考过程。因此，问题的发现过程、概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思考过程、规律的被揭示过程都蕴藏着向学生渗透数学思想方法，训练思维的极好机会。

策略一：让学生做学习的主人。 柏拉图说：他从不把自己看作一个教师，而是看作一个帮助别人产生他们自己思想的“助产生”。学习有一条很重要的原则，就是自我培养的原则。对于数学思想方法的学习也不仅仅靠灌输。应将概念、结论性知识的教学设计成再发现、再创造的教学。通过探索研究活动，使学生在动脑、动手、动口的过程中领悟、体验、提炼数学思想方法，并逐步掌握、应用它。

策略二：单元结构组织——要先给出一个整体的知识目标框架。“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构”（布鲁纳）。在组织安排教学内容时，改变按课时分配划分的方法，把教材按照知识的内在联系，将教学内容划分成若干单元进行教学，使学生掌握知识内在联系，获得的知识比较系统、完整，便于记忆，更重要的是学生对知识有一个整体的认识，有利于学生体会掌握其中蕴涵的数学思想方法。

策略三：注重知识的形成过程。概念是思维的细胞，是浓缩的知识点，是感性飞跃到理性认识的结果，而飞跃的实现要经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工，依据数学思想方法指导。现代数学尤其重视数学概念，许多技巧性强的地方可以被计算机代替，因此概念教学应完整地体现这一生动过程，既重视概念的运用，更重视概念的获得，引导学生揭示概念本质特征，让学生对理解概念有一定的思想准备，同时也培养学生从具体到抽象的思维方法。教学中引导学生积极参与数学定理、性质、法则、公式等结论的探索、发现、推导过程，弄清每个结论的因果关系。

策略四：导入、小结、复习——数学思想方法是隐性的知识，在导入的环节，不仅罗列出复习的知识，还给出本节的基本思维流程、基本思想方法，使数学思想方法显现出来引导学生研究体会;或在小结、复习的环节，有效的利用对比、类比、化归、转换等，揭示知识之间的内在联系，讲清来龙去脉，从整体上对内容有清晰的认识，形成知识结构图，利用算法思想展示思维流程，引导学生反思回顾，引起共鸣，促进学生掌握数学思想方法。

策略五：例题、习题——要会反思，“反思是数学活动的核心和动力”（弗兰登塔尔）。对于例、习题，不能就题论题，让学生解完题后进行反思。反思解法是怎样想出来的----关键是哪一步----自己为什么没想出来;能找到更好的解题途径吗----结论还能优化吗----这个方法能推广吗;通过解决这个题，我们应该学什么;这种反思能较好地概括思维本质，从而上升到数学思想方法上来。

策略六：重视数学史的教育。纵观数学史，大凡有所成就的数学家，在数学思想方法上都有良好的素质，他们从无数次的成功与失败中，经过分析与研究探索到了科学的思维规律，掌握了数学思想方法、他们给人类的奉献不仅是数学成就，更重要的是给后人留下从事数学研究的思想方法。学习数学史也是对于一些重要的数学概念形成过程的人文描述，通过数学史的学习加深对它们的认识和理解。为此我们在课堂教学中介绍数学史之外，还开设了数学选讲的选修课。

策略七：不断反复，螺旋上升。数学思想方法是基于数学知识，又高于数学知识的一种隐性的数学知识，要在反复的体验和实践中才能使个体逐渐认识、理解，内化为个体认知结构中对数学学习和问题解决有着生长点和开放面的稳定成分。在高中三年教学中，一方面在日常教学中渗透、突出、强化数学思想方法的教学，另一方面，依据最近发展区理论，可接受的原则，在不同的阶段进行数学思想方法的系统教学。

三、启示

（一）深入钻研教材，充分挖掘有关的数学思想方法

对教材的定义、公理、定理、公式、法则等要逐字逐句推敲，抓住揭示其本质属性的关键字眼，搞清彼此之间的逻辑结构，掌握教材的科学性;明确本节教材在整个体系中所处的地位，以及教材本身的结构特点，探讨和挖掘教材中的辨证唯物主义因素，掌握其中蕴涵的数学思想方法。

（二）注重对教学的反思，开展教学研究，撰写经验小论文

在每节讲课结束后，要认真撰写课后反思，回顾课堂的组织，知识的引入、问题的处理、作业问题等方面，特别是分析学生的问题，提高课堂效率、教学实效，加强数学思想方法的教学针对性，在此基础上，针对一些典型的问题展开研究，剖析问题，全面认识有关的概念、法则，并撰写小论文，不仅能将自己的研究成果或教学经验及时总结出来，启发他人，又通过参考大量的文献资料，展开一定的探讨与研究，提高自己的数学修养和教学能力，并形成對数学思想方法的系统认识。

（三）掌握与教材有关的数学史

“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状”（庞卡莱）。学习数学史有助于全面深刻地理解数学知识;通过学习数学史，可以了解数学知识的来龙去脉，有利于教师处理教材，寻求有效的教学方法;学习数学史，可以了解数学先辈们的刻苦钻研的作风;中学数学教材中有大量的数学史料，必须掌握与充分利用这些史料才能很好地完成教学任务。

（四）紧密地团队合作

在数学课堂教学情景中，对一个问题的讨论往往需要比较多的时间，方案设计也需要一个漫长的过程，需要教师发挥他的聪明才智。如果有一个志同道合的人与他合作，相互交换意见之后的过程会少走许多弯路，另外，教师在交流的过程中能够碰撞出智慧的火花，并使得教师们在数学教育中形成一种伙伴关系，以共同协作进行数学教学。

总之，在教学中，将数学知识和思想方法的教学结合起来，以数学思想方法为指导进行备课，在教学的各个环节渗透、明晰数学思想方法，引导学生领会数学知识间内在的本质联系，使学生形成良好的认知结构，提高学生的数学思维能力。

【参考文献】

[1]钱佩玲编著.数学思想方法与中学数学[M].北京师范大学出版集团

[2]朱水根，王延文等著.中学数学教学导论[M].教育科学出版社

[3][美]G·波利亚著.数学与猜想[M].科学出版社

[4]曹才翰，章建跃著.数学教育心理学[M].北京师范大学出版社