基于动态加点Kriging模型的机床立柱多目标优化

2021-06-22赵家黎栾尊腾景宏斌

机械制造与自动化 2021年3期

赵家黎，栾尊腾，景宏斌

(兰州理工大学机电工程学院，甘肃兰州 730050)

0 引言

复合机床作为工作母机，广泛应用于加工制造领域。机床整机静动特性作为机床重要性能指标，其优劣程度直接影响机床稳定性及动刚度。所以，提高机床整机静动特性对改善机床加工质量和效率具有重要意义。

近些年，借助有限元等分析方法，国内外学者针对机床整机静动特性的研究内容愈加丰富。胡勖等[1]基于有限元理论，利用静动态特性分析结果，通过改变材料的方法实现对机床的优化。刘成颖等[2]基于有限元辨识立柱薄弱环节，通过拓扑优化改进筋板选型及布局，提高机床整机静动态特性。KONON D等[3]在考虑接触刚度的同时通过对地脚支撑位置的调整达到提高机床性能的目的。ZHAO L P等[4]通过有限元分析和动态灵敏度分析相结合来提高机床整机性能。

本文针对优化过程中传统响应面模型精度较差、优化效率偏低等不足，结合有限元分析方法和响应面模型手段，以提高机床整机稳定性和动刚度为目的，对某型复合机床进行多目标优化研究。

1 机床有限元建模及特性分析

1.1 机床简介及模型建立

本文研究对象为采用模块化设计而成的多功能复合机床(图1)。该复合机床主要由床身、立柱、主轴箱、床鞍、工作台等部件组成。

相较于传统三轴数控立式铣床，该复合机床增置了绕y轴0°～90°可倾斜轴(B轴)、绕z轴分度旋转的回转轴(C轴)、车削主轴(S2)以及数控四方刀架。其在实现传统立式铣床基本加工功能外，还可进行空间曲面、回转曲面、螺纹等较复杂零件的车、铣、钻削等基本切削加工，同时具备标准圆柱直齿轮滚切加工功能。图2分别为车削、曲面铣削、滚齿加工示意图。

图1 多功能复合机床简化模型

图2 车削、曲面铣削与滚齿加工示意图

1.2 机床整机有限元模型建立

复合机床三维模型网格划分的优劣程度会直接影响有限元分析效率及准确性。本文鉴于模型复杂度采用Automatic法对其进行网格划分。该方法根据被划分的几何体能否被扫掠及在四面体和扫掠型间能否进行自主切换，对无法扫掠划分的实体通过协调分片算法划分四面体网格，反之采用扫掠方法划分为六面体网格，同时舍去或简化倒角、凹槽、凸台、孔洞等对机床特性影响甚微的特征，以提高优化效率,最终得到单元数和节点数分别为261709和453047个的整机有限元网格划分模型，如图3所示。

图3 有限元模型

1.3 机床动特性分析

本文着重分析图1位姿(x、y轴处于行程中间位置，主轴箱位于立柱z轴上端极限位置)下机床整机的固有特性及工作激励下的动态响应。

1) 模态分析

模态分析可以明确机床振动特性(即固有频率和振型)，它们是机床结构在动力载荷作用下进行优化的重要参数。本文基于ANSYS Workbench平台，先对机床整机采用模态叠加法进行模态分析。其中床身和立柱为铸铁(密度7200kg/m3，弹性模量110GPa，泊松比0.27)，其他结构零部件为结构钢(密度7850kg/m3，弹性模量200GPa，泊松比0.3)。最终通过有限元方法得到模态分析结果如表1所示。

表1 整机前6阶固有频率与振型

2) 谐响应分析

模态分析仅可得到整机各阶振型，呈现出机床各部分相对振动情况，下面对整机进行谐响应分析，进一步了解整机在动态激励下的抗振特性。为反映机床整机在不同激励下的动态特性变化趋势，在主轴轴端三个方向上各自施加大小为1000N、频率为0～200Hz的谐振力，以同一部位为拾振点，获取其幅值与激振频率曲线如图4所示。

图4 机床整机三个方向的谐响应曲线

分析图4可知，整机在x、y、z方向都有多个共振点，其中x、y方向的最大振幅发生在60Hz附近，对应机床整机的第1阶固有频率；z方向的最大振幅发生在90Hz附近，恰好为机床整机的第2阶固有频率，对应z方向振幅最大达到了1.02mm。

1.4 机床整机薄弱环节辨识

通过机床整机的谐响应分析可知，在三个方向上的响应峰值分别出现在机床第1和第2阶固有频率附近，由此可知，机床整机动态性能受低阶振型影响最大，又由模态分析可知机床整机低阶振动形式对应的结构件都以立柱为主，因此立柱对机床整机低阶振型影响程度最大，是机床整机的薄弱环节。从机床整机性能优化的角度出发，对立柱进行结构优化设计为最佳方案，可降低对机床性能优化的盲目性，提升优化效率。

2 基于动态加点Kriging模型立柱优化

2.1 设计变量选取

明确立柱为整机薄弱环节后，通过对立柱主要尺寸参数进行调整达到提高机床整机性能的目的。立柱尺寸参数众多，经灵敏度分析后，此处筛选前、侧、后壁厚及板筋厚度和孔径大小等7个主要尺寸作为优化设计变量，对应设计变量取值范围及原始尺寸如表2所列。

表2 设计变量尺寸参数及取值范围单位：mm

2.2 优化模型建立

通过模态分析可知立柱薄弱状态主要表现为低阶频率偏低，又由谐响应分析可知机床立柱受力变形偏大，通过提高机床立柱低阶固有频率和立柱自身刚度，可显著改善机床立柱薄弱状况，实现提高机床整机性能的目的。同时顺应现代机床绿色经济的发展趋势，在保证机床质量不增加的前提下，最终构建立柱多目标优化模型如下:

min[-fi(x)，σ(x)]，i=1，2，3

(1)

X=[b1，b2，…，b7]T

(2)

式中:X为设计变量矢量，X∈Ω，Ω为设计空间；f0、σ0、m0分别为优化前立柱的频率、变形和质量；f(x)、σ(x)、m(x)分别为优化后立柱的频率、变形和质量。

2.3 动态加点准则的Kriging代理模型

1) Kriging代理模型

使用拉丁超立方实验设计能够让各个水平上的因素均匀分布，设计空间可通过较少样本点得到反映[5]。在设计空间通过拉丁超立方实验设计法采样，可获得Kriging代理模型样本点，获取样本点应使得式(3)取值最小：

(3)

式中：‖xi-xj‖为两样本间的距离;N为样本点数量。

Kriging代理模型表达了预测值y和设计变量x的关系，基本形式为[6]

y(x)=F(β，x)+z(x)

式中：F(β，x)为变量空间全局模型；z(x) 为随机统计过程局部偏差，其均值为0，方差为σ2，协方差为cov(z(xi)，z(xj))=σ2R(xi，xj)，其中R(xi，xj)是两样本点xi，xj间的变异函数。

通常选择高斯模型：

(4)

通过线性加权和法得到Kriging模型在样本点x处的预测值为：

式中：R为对应模型矩阵；r(x)为预测点和试验点间的模型向量；g是样本点的相应向量。

2) 最大期望(EI)加点准则

(5)

式中:φ(·)为正态分布累积函数；φ(·)为正态分布概率密度函数。

2.4 优化流程及其结果分析

NSGA-Ⅱ是目前普遍使用的多目标遗传算法，它降低了非劣排序遗传算法的复杂性，在快速运行的同时能够很好地保证解集的收敛稳定性。基于动态加点准则的Kriging代理模型及NSGA-Ⅱ多目标优化算法基准，构建优化流程如图5所示。

图5 优化流程图

图6所示是优化所得Pareto前沿解集。3个坐标轴分别对应机床整机的第1阶、第2阶固有频率及质量。由所得Pareto前沿解集可知，进行多目标优化时，各目标函数间可能是相互冲突的，即某个目标函数的最优解可能对应另一个目标函数的较差情况。表现在低阶频率较高情况下对应的机床质量就会增加，反之质量的减少就会导致低阶频率的降低。虽然目标函数之间存在相互削弱的现象，Pareto前沿解集依然可以提供相当大的设计空间供设计人员挑选，设计人员根据目标期望的权衡就能确定满足设计需求的最佳方案[8]。本文在保证质量不增加的前提下，对第1阶、第2阶固有频率关注较大，故在Pareto解集中选择表3中一组符合权重要求的优化数据。

图6 pareto前沿解集

将经过优化修整后的立柱导入复合机床整机装配体中重新建模，并依照上节中同样条件下进行模态分析和谐响应分析，得到整机前两阶固有频率如表3所示，机床整机优化前后的频响曲线如图7所示。由表3可知，机床整机在质量几乎不变的情况下，第1、2阶固有频率分别提高了9.2%和5.6%，机床抗振性得到增强。又由图6可知，机床整机在x、y、z三个方向上的最大共振峰值分别由原来的0.69mm、0.61mm、1.02mm降低到0.42mm、0.38mm、0.78mm，下降39.1%、37.7%、23.5%，机床整机刚度有所加强，机床整机动态性能得到显著改善。

图7 优化后整机三个方向上幅值与激振频率曲线

表3 立柱-主轴箱结构优化结果

综上所述，将拉丁超立方实验设计、动态加点准则Kriging模型、NSGA-Ⅱ遗传算法相结合的优化方法，改善了传统响应面模型精度较差、优化效率偏低的不足，利用该方法对机床进行多目标优化改进后，机床整机刚度有较大的提升，薄弱模态下的固有频率得到提高，达到了机床结构动态优化设计的目的。经验证后证明，其动态性能得到大幅度提高。