钻井系统黏滑效应的非线性稳定性研究

张康智，毕永强，曹鹏飞

(1. 西安航空学院 机械工程学院，陕西 西安 710077；2. 西安兴航航空科技股份有限公司，陕西 西安 710077)

0 引言

钻井系统主要是由钻头、钻柱井架、驱动等部分组成。钻井过程中，钻柱推动钻头深入地下岩层切削岩石，钻头与岩石之间存在相互挤压、摩擦、黏滞等接触力引起钻头和钻柱的振动，加速了钻柱和钻头的疲劳及断裂。

有许多学者致力于研究钻井系统的稳定性。 RICHARD T等[1]将钻柱系统简化为两自由度扭摆模型，建立了系统的二阶滞后动力学方程，考虑钻头与岩石相互作用的切削力和摩擦力，获得了系统的动态特性，并进行黏滑振动模拟。基于此模型，NANDAKUMAR K等[2]考虑钻柱的黏性阻尼，重新建立了模型，分析了系统的线性稳定性，绘制了旋转的稳定边界速度和钻孔速度。然而，在NANDAKUMAR K的模型中没有考虑轴向振动。 RICHARD T[3-4]和KHULIEF Y A[5]考虑基于扭摆模型的轴向振动并研究了黏滑振动，但没有对模型添加阻尼。 KAMEL J M等[6]分析了钻柱轴向和扭转振动的时域响应，并比较了每个钻孔参数对扭转振动的影响。有学者指出通过增加钻削系统刚度、阻尼或者附加动力吸振器吸收振动来抑制颤的方法，主要是采用各类减振器[7]。BAKHTIARI-Nejad F[8]考虑钻铤的影响并将钻柱系统分解为钻杆、钻铤和钻头3个集中质量模型，分析了输入参数和钻杆长度等参数对其的影响。上述学者都将钻柱系统视为轴向和圆周集中质量模型，以这种方式研究黏滑振动，不能解释黏滑振动钻头以高频旋转时发生的振动不稳定性。

本文将钻柱系统考虑为弹性体模型，考虑钻柱轴向和扭转阻尼，并考虑切削力和接触力，建立其力学模型如图1所示。

图1 钻柱系统的弹性体力学模型

1 钻井系统动力学模型

1.1 动力学方程

在距离钻柱顶部z处取长度为dz的微元体进行受力分析，微元体受力如图2所示。

图2 微元体受力分析

根据微元体受力分解图，可以得到如下公式：

(1)

(2)

其中：ρ表示钻柱的密度；A表示钻柱的截面积；ca和cr分别表示钻柱的体积轴向阻尼和体积旋转阻尼；v表示截面轴向速度；ω表示截面扭转角速度；F表示截面上的轴向力；T表示截面上的转矩；p表示体积分布轴向力；m表示体积分布转矩。

根据材料力学，力与变形的关系如下：

(3)

(4)

其中：E为弹性模量；G为切变模量；u表示截面轴向位移；φ表示截面扭转角度。

位移与速度的关系如下：

(5)

(6)

将式(3)-式(6)代入式(1)和式(2)，可得无限维钻井系统的动力学方程如下：

(7)

(8)

1.2 钻头受力分析

钻头与岩石的作用如图3所示。其中，R表示钻头的半径，N表示钻头的刀齿数，L表示进给量，D(t)表示单个刀齿的切削深度，tN表示钻头切削延迟时间，则钻头整体的切削深度d(t)=ND(t)。

图3 钻头与岩石作用

根据PDC钻头的单刃切削实验[9]，作用于钻头上的力可以分解为切削力Fc和摩擦力Ff，如图4所示。

图4 刀齿受力分析

切削力和摩擦力共同作用于钻头上，于是，钻头所受轴向力PL和转矩TL可以写作：

PL(t)=ζFc+Ff=ζεRd(t)+NσlR

(9)

(10)

单齿切深可以采用状态依赖延迟(SDD)模型，写作如下形式：

(11)

1.3 动力学方程的解

利用模态分解法求解式(7)和式(8)，定义：

(12)

(13)

其中i为模态阶数，取整数。将式(12)和式(13)代入式(7)和式(8)，得:

(14)

(15)

(16)

(17)

将式(9)和式(10)、式(14)和式(15)代入式(16)和式(17)，即可得到钻井系统各阶模态的振动微分方程：

(18)

(19)

其中：λ是与钻速有关的量；μ是采用平滑处理的干摩擦模型，其表达式如下：

(20)

(21)

2 非线性稳定性仿真

定义状态参数ψi、θ、V，定义切削参数向量Q(t)，其形式如下：

(22)

(23)

利用式(22)和式(23)可将钻井系统的响应方程化为如下形式：

(24)

其中：

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

其中：

(32)

D=A+B

(33)

则t=ti+1时，式(31)可化为

(34)

Pi+1=EPi+F

(35)

其中：

(36)

(37)

称为系统的转移矩阵。应用Floquet稳定性理论可判定系统的稳定性。

钻井系统的参数值如表1所示。

表1 钻井系统参数表

图5 系统前3阶模态稳定性边界(σ=0)

接触应力σ的最大值为max(σ)=ε，故选取σ=ε绘制稳定性边界。σ=0与σ=ε绘制的边界将平面分为稳定区、颤振区和失稳区，如图6所示。

图6 钻井系统稳定性边界

分别从失稳区、颤振区、稳定区选取A、B、C三点，代入原方程，进行时域仿真，仿真结果如图7-图10所示。

图7 A点转速时域波形

图8 B点转速时域波形

图9 B点转动相图

图10 C点转速时域波形

从时域仿真结果可以看出，系统在失稳区工作时，系统的振动幅值会越来越大，处于失稳状态；系统在颤振区工作时，摩擦力能够稳定振动幅值在一定区间内，使系统的振动呈现稳定的周期振动；系统在稳定区工作时，没有摩擦力的作用，系统的振动会逐渐减小。

3 结语

1)钻井系统的稳定性与切削力及接触力有关，研究钻井系统的稳定性时必须同时考虑。

2)钻井系统由细长钻柱构成，研究其稳定性时，应考虑为无限维弹性体，这样，针对研究系统在中高转速下的稳定性也能适用。

3)接触应力作用于钻头产生的摩擦力是引起黏滑振动的主要因素。

4)在实际工程中，系统处于稳定区工作时，具有减振效果，处于颤振区工作时系统振动较为稳定，处于失稳区工作时系统振动会扩大。