非衍射涡旋电磁波自由空间传播特性研究

周 欣，王 翔，刘默然，周 晨

（武汉大学 电子信息学院 空间物理系，湖北 武汉 430072）

0 引言

涡旋电磁波传播时具有螺旋相位波前结构，且在有不同本征值的涡旋电磁波之间可以相互正交。利用这一特性，人们通过研究携带有轨道角动量的涡旋电磁波在大气环境和空间等离子体环境中的传播特性，可以发展在地球空间环境中的涡旋电磁波通信新技术和空间环境遥感探测新方法。此外，强电磁波与空间等离子体的波粒相互作用特性及其应用一直为人们所关注。

2010 年Mohammadi 系统地研究了如何利用天线阵列仿真产生携带OAM 态的涡旋电磁波[1]。文献[2]利用涡旋电磁波进行了通信实验，实验组采用具有涡旋形状的抛物面天线发射涡旋电磁波并利用八木天线接收，验证了涡旋电磁波能应用在无线传输领域[3]。在雷达成像领域，2013 年Guo 等分析了将涡旋波应用于雷达成像的可能性[4]。此后，一系列理论研究、仿真皆证实涡旋波可用于雷达成像研究[5⁃6]。在此基础上，2017 年Liu 等实现基于涡旋波的超分辨率雷达成像[7]。2017 年崔玉国等利用光学中的菲涅尔衍射理论，对基于拉盖尔⁃高斯涡旋电磁场的自由空间传播特性进行了理论分析，并探讨了涡旋电磁波在地基大功率电离层加热中的应用[8]。

在光学领域，基于非衍射信号源的光束特征研究已经有很长的历史。文献[6]指出亥姆霍兹方程存在一类无衍射模式的解，由于非衍射波束在一定的传输距离内能保持束型不变，而且传播过程中会出现自愈和自聚焦现象，使得非衍射波束具有十分广阔的应用前景。在衍射控制方面，目前主要有Bessel 型、Mathieu 型和Airy 型等非衍射波束，这种非衍射波束在传播过程中具有非衍射性（Non⁃Diffraction）和自愈性（Self⁃Focusing），不会横向扩散能量，具有重要的科学意义和工程实用价值[7⁃8]。因此，本文基于非衍射电磁波的原理，研究非衍射涡旋电磁波束的自由空间传播特性。

本文首先推导典型的非衍射涡旋波束解析形式，研究非衍射涡旋电磁波在自由空间传播的特性，重点分析不同模态和传播距离下，非衍射型涡旋电磁波的空间相位分布和空间场强分布，并将结果与传统的衍射型拉盖尔⁃高斯波束自由空间传播特性进行比较。本文的研究对利用涡旋电磁波进行空间环境探测具有重要的理论指导意义。

1 衍射型涡旋电磁波自由空间传播特性

拉盖尔⁃高斯（Laguerre⁃Gaussian，LG）模 式是由Allen 等人得到的近轴波动方程的一个简单解。LG 波束也是最常见的一种涡旋波束，其幅值分布函数具有如下的解析形式：

式中：r为径向位置矢量的模w0是波束的束腰；zR为瑞利距离；波矢，λ是波长是拉盖尔多项式；m是拓扑荷数；p是光强分布上的径向节点。

由于OAM 电磁波可以基于轴向波动方程进行描述，根据夫琅禾费远场衍射公式进行计算，故OAM 远场辐射的表达式为：

基于拉盖尔⁃高斯模式的源区归一化场强模式为：

式中：P0为阵列的反馈电功率；w为半径比例因子；为拉盖尔⁃高斯多项式；p为拉盖尔⁃高斯模的阶数；r为空间某点到波束中心轴线的距离。下文中所有仿真的电磁波都是50 MHz 。

拉盖尔⁃高斯波束在不同传播距离下的空间幅度分布和xz面的场强形态如图1 所示。由图1 可以看出，拉盖尔⁃高斯涡旋电磁波在自由空间传播时，波束中心具有相位奇点，并且场强空洞随着传播距离的增加而逐渐增大。

图1 拉盖尔⁃高斯波束在不同传播距离下的空间幅度分布和xz 面的场强形态

2 非衍射型涡旋电磁波自由空间传播特性

与拉盖尔⁃高斯涡旋电磁波不同，非衍射波束在无界的自由空间传播时，不会发生衍射，也不会发生扩展，在沿传播方向的任何地方的垂直面上，光强分布都是相同的。为此本文提出非衍射涡旋波束，利用其在无界的自由空间中传播时，不会发生衍射，也不会发生扩展的特性，来降低涡旋波束在自由空间传播时中心空洞增大的影响。

由此，本文提出了几种非衍射涡旋波束，并根据其解析式对其进行仿真分析，最后得出相应结果。通过对仿真结果的分析与比较，发现非衍射涡旋波束在自由空间传播时，其中心空洞不会随光强分布的不同而增大。

2.1 非衍射信号源：贝塞尔⁃高斯模式电磁波

在自由空间光通信的背景下，贝塞尔波束的电场由零阶贝塞尔函数构成。然而在实际过程中，真正的贝塞尔高斯（Bessel⁃Gaussian，BG）是不可能被制备出来的，这是因为它是无界的，而且需要无穷多的能量。贝塞尔⁃高斯模式电磁波电场表达式为：

式中：ρ和θ分别是径向和角向坐标；w是半径因子；Im(x)是m阶贝塞尔函数。由式（4）可以看出，当m不为0 时，其表达式中含有螺旋相位因子exp(imθ)，因此这可称为涡旋波束，其中m就是涡旋波束的拓扑荷数。

贝塞尔⁃高斯波束在自由空间中传播时，其电场为：

式中，r,ϕ,z分别是衍射场中某点的径向、角向和纵向坐标。利用下面的公式：

可以得到贝塞尔高斯波束的数学表达式：

本文利用贝塞尔⁃高斯波束表达式，经过计算可以得到不同模态下贝塞尔波束的空间幅度分布，如图2所示。图2是在模态值m分别为1，2，3时，贝塞尔⁃高斯光束的空间幅度分布。由图2可以看出，贝塞尔⁃高斯波束的中心场强是一个极小点，而且随着模态值m的增大，中心空洞也会随之增大，但是相对于拉盖尔⁃高斯波束来说，在传播距离更远的时候，中心空洞变化更小。在仿真中，将其模态值m都控制为1，但改变其传播距离后得到图3。图3 分别是传播距 离z为1.88 km，9.41 km 和18.8 km 时，贝塞尔⁃高斯波束的空间幅度分布。由图3 可以得出，贝塞尔光束在自由空间中传播时，可保持自身表达形式不变，不会随着传播距离z的增加而改变其传播特性。图4 是贝塞尔⁃高斯波束在不同传播距离下的场强形态的变化，由图4 可以清楚的看出，中心空洞并没有明显增大。

图2 不同模态下贝塞尔波束的空间幅度分布

图3 不同传播距离下贝塞尔波束的空间幅度分布

图4 贝塞尔高斯波束在不同传播距离下的空间幅度分布和xz 面的场强形态

2.2 非衍射信号源：超几何⁃高斯模式电磁波

除了大家熟知的厄米⁃高斯波束、贝塞尔⁃高斯波束、拉盖尔⁃高斯波束，2007 年Karimi 等人给出了近轴亥姆赫兹方程的一个解，从而得到一类新的傍轴光束，即超几何⁃高斯（Hypergeometric⁃Gaussian，HyGG）波束。

由Victor V.Kotlyar 等提出的广义超几何波束的复振幅[9]为：

式中：w，γ是实参量；w0为高斯波束的束腰半径。

超几何⁃高斯分布函数为：

式中：

Cpm为归一化常数；p为空心参数；m是拓扑荷数；Γ(x) 是伽马函数；1F1(a,b,y) 是合流超几何函数。

利用超几何⁃高斯波束的表达式，经过仿真计算，可以得出不同模态下超几何⁃高斯波束的空间幅度分布如图5 所示。

图5 分别是在模态值m分别为1，2，3 时，超几何⁃高斯光束的空间幅度分布，可以看出超几何高斯波束的中心场强是一个极小点，而且随着模态值m的增大，中心空洞也会随之增大。与贝塞尔⁃高斯波束相比，在模态值相同且传播距离相等时，超几何⁃高斯波束的中心空洞更小。图6 是不同传播距离下的空间幅度分布及其xz面的场强形态。由图6 可以看出，超几何⁃高斯波速的形态并没有明显变化，中心空洞也没有随着传播距离的增加而扩大。

图5 不同模态下超几何⁃高斯波束的空间幅度分布

图6 超几何高斯波束在不同传播距离下的空间幅度分布和xz 面的场强形态

3 结语

本文通过利用贝塞尔⁃高斯波束和超几何⁃高斯波束的解析表达式，仿真分析得到了其空间幅度分布和空间相位分布，以及比拉盖尔⁃高斯涡旋波束的空间幅度分布和相位分布，发现这两种非衍射涡旋电磁波在自由空间中传播时，可以保持涡旋电磁波的传播特性；并且在不同传播距离下，其空间幅度分布并没有改变，中心空洞也没有发生变化。说明基于非衍射波束在传播中的自愈和自聚焦的特性良好，为下一步利用涡旋电磁波进行空间环境探测研究奠定了理论基础。