新高考背景下高中数学深度学习的探究——以人教版选修2-3“二项式定理”为例

张 青

(广东省广州市番禺区大龙中学 广东广州 511400)

深度学习理念要求学生在学习知识的过程中，能够将知识化为自己解决问题的能力，借助思维导图，构建完整的知识网络，并进行有效应用。深度学习是一种积极主动性的探究活动，要求学习者将所学知识应用于实际问题的解决中，教师在教学过程中应该是课堂的创设者、组织者、管理者、引导者、促进者。深度学习不是一种教学模式，而是一种新的教学理念，是教学改进的一个方向，因此，教师要转变传统教学思想。那么，教师在平时的教学中应如何引导学生进行深度学习呢？如何对历史班学生进行有效的教学，取得高考的双赢、共赢、多赢，是每一位在普通高中任教的教师都必须重视的问题。本文将以人教版选修2-3“二项式定理”为例，利用深度学习理念指导高中数学的课堂教学，目的是让学生在发现的基础上去同化，引导学生通过深切的体验和深入的思考，达成对概念的透彻理解，有效克服数学浅层次的学习，以促进核心素养的发展。

一、创设情境，引入课题

“二项式定理”的新课标要求，用计数原理分析(a+b)2，(a+b)3，(a+b)4的展开式，归纳类比得到二项式定理，并能用计数原理证明。掌握二项展开式的通项公式，解决简单问题，会求各种类型的二项式系数。由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识，总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识，教学目标应体现学生学会知识与技能，同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程。本节课的教法应当遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和促进者”的教育原则，采用“启发式教学法”，学生主要采用“探究式学习法”，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动，生生互动中，完成二项式定理的探究，掌握求二项式定理展开式系数的方法。

引入：提出问题：(a+b)2+? (a+b)3=? (a+b)4=? 学生思考。

那么(a+b)10=? (a+b)n=? 展开式是什么？

二、体验感知，探究归纳

（一）探究归纳，总结规律

观察下列的展开式，归纳猜想(a+b)n的展开式有怎样的规律？

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

引导学生观察每个展开式中有多少项，每一项的次数有什么规律，每一项的系数之间有什么规律，从而发现n次展开式中有n+1项，展开式中每一项都是n次式，系数先增后减，且对称相等。这种由特殊到一般的归纳总结，离不开对特殊实例的观察和教师的引导，只有将具体实例进行整体和局部多方面的分析，才能得到接近一般性规律的总结，才能让学生顺畅抓住展开过程的两个要点，即项的结构和项的系数，有目的地进行下一步的探讨和分析。

（二）探究项的结构特点

展开式中的各项是如何得到的呢？教师引导，学生思考讨论。根据多项式乘法法则，(a+b)n的展开式是从每个因式中任取一项相乘得到展开式的项。多项式乘法法则是展开式的运算基础，同时为用组合数表示系数创设情境，让学生的思维能够活跃起来，为下面的系数研究奠定基础。

（三）探究项的系数特点

展开式各项的系数是如何确定的呢？根据多项式乘法法则，各项的形成过程就是有关计数原理的问题。而各项的系数，就是展开过程中该项出现的个数。本节课的重点是利用多项式的乘法法则和计数原理对展开式中的各项进行分析，透彻理解系数的产生过程和规律，从而为熟练求二项展开式的系数打下坚实的基础，符合学生的思维发展规律，能准确检验学生对问题分析能力和解决方法的掌握。

这一部分的逐步探究过程，可以让学生以小组合作的方式进行，通过同伴的探索、协作与交流，发挥小组学习共同体的作用，让每个学生都参与到深度思考中，从而促进学生的深度学习。深度学习从本质上看就是一种主动的、探究式的、理解性的学习方式，要求学习者在发现的基础上同化，通过小组合作讨论能更好地实现促进式、层次式的、阶梯式的深度学习[2]。

三、知识建构，形成定理

（一）二项式定理：(a+b)n的展开式为：

证明：(a+b)n是n个(a+b)相乘，每个(a+b)在相乘时，有两种选择，选a或者选b，由分步计数原理可知展开式共有2n项（包括同类项），其中每一项都是an-kbk(k=0,1,…n)的形式，对于每一项an-kbk，它是由k个(a+b)中选了b，n-k个(a+b)中选了a得到的，它出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个b的组合数Ckn，将它们合并同类项，就得到二项展开式，这就是二项式定理。

（二）深化认知，加强理解

二项式定理的公式特征：

1.展开式中每一项的次数都是n；

2.展开式共有n+1项；

3.展开式各项按照字母a降幂排列，次数由n递减到0，字母b升幂排列，次数由0递增到n；

4.二项展开式的通项为第k+1项，用Tk+1表示，即Tk+1=Ck

nan-kbk；

5.各项的系数Ck

n(k=0,1,…n),叫二项式系数。

对于二项式定理的公式特征的归纳总结，是从特殊到一般的归纳过程，训练学生的类比、联想、归纳的探究能力。对于这部分内容，可以先让学生小组讨论，总结归纳，但学生的表述能力有限，理解能力有限，教师要及时发挥引导作用，帮助学生完善思维，进行有效性的学习活动。深度学习是提高学生有效性意义建构成效的有效途径和策略，教师要把握住两个基本要点，教师可以一方面立足于深度学习，另一方面立足于学生的实际，努力设计一个能够让学生进行深度学习的过程，培养学生的数学学科核心素养。

四、巩固知识，提升解题能力

设计几道例题，让学生熟悉二项展开式及其通项，区分二项式系数和系数，培养学生的运算能力。练习题是考查学生的学习情况，应用新知的能力，各个题目设计得比较有梯度，逐渐加大难度，符合学生的认知水平，并向高考题靠拢，提高学生的解题能力。

例1（小试身手）：写出(x+1)8=?

变式：写出(2x-1)8的展开式。

例2（课本例题）：（1）求(1+2x)7的展开式的第4项的系数；

例3（走进高考题）：

（1）(1+x)7的展开式中x2的系数是（ ）。

A.42 B.35 C.28 D.21

A.80 B.-80 C.40 D.-40

（3）(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为（ ）。

A.12 B.16 C.20 D.24

（4）(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为（ ）。

A.-80 B.-40 C.40 D.80

上面的几个例题由易入难，层层递进，可以用基本方法二项式定理展开式的通项解决（需要较强的指数幂计算功底），还可以利用计数原理，直接写出指定项的系数，这个方法通俗易懂，学生容易掌握，且可以举一反三，各种类型的二项式系数都可以解决，一个括号的二项式系数（例3（1）（2）），两个括号的二项式系数（例3（3）（4）），甚至三项式系数（拓展提升（2））。

拓展提升：

（1）(2x-3y)(3x+2y)8的展开式中x2y7的系数为_________。（用数字填写答案）

（2）(x2+x+y)5的展开式中x5y2的系数为__________。（用数字填写答案）

解决问题是数学教学的核心，在学生原有认知的基础上，问题设计是非常重要的，因为教师对问题的设置和导向，直接决定了学生的思维方向和思维深度，教学中以问题为主线，激发学生探究问题的兴趣和积极性，使学生的思维始终处于“提出问题，解决问题”的状态中。在学生无法自主完成思维方法提升的时候，教师应引导学生分析问题，促进学生思维的发展，使学生能够熟练掌握所学知识，并将之运用于解决实际问题。总之，教师要重视学生的参与过程，培养学生发现问题、分析问题、逻辑推理、解决问题的能力。

综上所述，开展深度学习的研究与实践是把握教学本质的一种积极努力，是我国课程教学改革走向深入的必需。授之以鱼不如授之以渔，教师要转变立场和思想观念，思考让学生做什么，如思考、探究、小组合作、回答问题等，还要关注教什么，怎么教，学生为什么学，学什么，怎么学，只有教师的深度教学才能促进学生的深度学习，培养学生的数学思维，促进知识的深度加工与机构化，实现从知识到素养的进阶[7]。