整体思想在高中数学解题中的应用探讨

李宣怡 指导老师：彭娟

摘要：数学思想方法是我们通过数学知识内容学习与归纳所形成的思想类、方法类的认识，是对数学的理性的、规律性的认识，也是数学问题解决的重要策略。整体思想是我们高中生需要认真学习、全面掌握，从而在数学问题的研究与解决过程中，能够将一些看上去彼此独立、毫不相关，但实际上密切关联的条件和量作为一个整体进行全面考虑、综合考量，这样不仅能够从固定模式的束缚中摆脱和解放出来，让数学问题由陌生变得熟悉、由复杂变得简化，还能够对一些常规方法难以解决的题目进行解决。

关键词：整体思想;高中数学;解题应用

一、整体思想的基本内涵

整体思想主要指的是在问题研究中运用整体的视角和整体的思维，将问题之中的各个组成部分进行细化成不同的整体，以此实现数学解题效率的提升。高中数学解题中最基本、最常用的数学思想就是整体思想，也是问题研究的整体结构和整体形式，借助整体思想就能够对解题的思维、条件和方法进行调节、转化和优化，让解题过程变得更加简单、简便，这也是我们解题速度提升、解题效率提高的重要手段和关键途径。高中数学解题中整体思想的运用过程中应当坚持对问题的整体特征进行分析，将一些式子和图形都看成是统一的整体，同时对不同整体之间的关系进行研究，进而有意识、有计划、有目的、有的放矢地进行高中数学问题的整体处理。

二、高中数学解题中常用的整體思想

（一）整体代入的数学思想

高中数学解题过程中，一些题目如果对其中给定的已知条件进行孤立地利用，有时虽然也能够实现问题的解决，但往往会有着复杂的过程和运算，而如果我们从整体上对其中的已知条件进行分析和把握，借助直接代入或者变形代入等方法进行问题的求解，那么问题的求解就会变得简单、容易，解题的思路和方法也会更加明确。

（二）整体换元的数学思想

高中数学解题过程中一些数学问题看上去有着繁杂的计算和复杂的结构，直接求解几乎是不可能的，但如果我们深入分析、合理加工，再巧妙地借助整体换元就能够推动问题的整体转化，问题也会变得更加简单、容易，这个过程中需要对新元的性质进行深入研究，以此推动问题的解决。

（三）整体构造的数学思想

整体构造主要指的是要以题目中给定的已知条件和需要求解的条件为依据，对相应的式子进行整体构造，再有效联合和整合两个式子从而进行问题的研究和解决，当然问题也可以直接地进行求解，在解题过程中有时面对问题我们会感觉无从下手，但借助整体构造的实施就能够实现答案的准确求解。比如：已知有这样一个密码：3BCDRST=4RSTBCD，密码之中的每一个字母均表示十进制数字，请将这一密码以数字的形式破译。这一问题总共涉及到的未知数共有6个，如果考虑依次进行每一个未知数的求解，那么在一个算式之中几乎是不可能完成的。而我们通过认真的审题和细致的思考就能够发现BCDRST同RSTBCD之间的相互轮转关系，基于此，我们可以将其中的BCD、RST分别看成是一个整体，之后可以设定X=BCD、Y=RST，那通过列算式我们就可以得出3（1000a+b）=4（1000b+a），由此可以得出428a=571b，由于a、b均代表了三位数，那么由此可以进行密码的破译，即密码为4428571。

（四）整体补形的数学思想

在高中数学问题中的非特殊图形、非规则图形的求解过程中，我们可以尝试和探索进行整体补形数学思想的应用，在完成补形之后，就能够将原有的图形转化为完整的、特殊的图形，一些题目已知条件仅能够进行一个局部图形的提供，这样往往会对学生的思维产生干扰，而此时如果将全部的图形补全，再从整体上对图形进行分析和研究，就能够将问题的本质突出出来，实现简洁证法和解法的寻找与得出。比如，针对题目：球面上总共有四个点，即A、B、C、O，这四个点之中OA、OB、OC三条线段两两垂直，而且OA=OB=OC，那么球的半径是多少？在这一题目的求解中就能够借助整体补形的方式将整个球体补充完全，以此实现球半径的准确求解。

（五）整体联想的数学方法

整体联想主要指的是将已知的各个数学元素充分放到一起，对数学中的某一公式、某一定理、某一性质进行充分联想和想象，这样在高中数学解题过程之中，就能够借助联想的发挥、有效的构造，实现问题由复杂向简单的转化，从而实现结论的快速得出。比如，立体几何是高中数学的难点，解题过程之中要先对点与点、线与线的关系进行处理，之后再对点与线、线与面、点与面、面与面的关系进行处理，计算过程中要从角、距离两条主线进行思考和把握，循序渐进、层次递进，从而从这整体上对点、线、面、角的知识形成理解和把握。

三、结语

综上，高中数学解题中要强化对整体思想的认识和把握，对题目的特征进行认真观察，将解题重点、焦点和着力点放到问题的整体结构上，借助充分的挖掘、提炼逐步延伸和拓展到问题的本质，再通过对整体结构、整体形式的思考和处理，实现问题的快速解决、有效解决。

参考文献：

[1]姚根红.例谈整体思想在数学解题中的应用[J].数学月刊（中学版），2019（2）.

[2]梁卫祥.例谈整体思想在高中数学解题中的应用研究[J].高中数理化，2021（12）.

[3]王立嘉.整体思想在高中数学解题中的应用[J].中学数学教学参考，2021（3）.

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