基于翻转课堂模式的高等数学教学研究

温坤文　黄慧青

摘  要：翻转课堂是一种新兴的教学模式，已经在国内外取得显著的效果，为高等数学教学改革与创新提供了一种新思路。文章简要介绍了翻转课堂模式，并比较了与传统课堂的差别，针对目前高等数学教学的现状，将翻转课堂模式引入高等数学的教学，并以二重积分的教学为例，探讨翻转课堂模式在高等数学教学的具体应用。教学实践表明，在高等数学教学中引入翻转课堂模式，有助于激发学生学习高等数学的兴趣，提高教学效率。

关键词：翻转课堂;高等数学;教学研究

中图分类号：G642       文献标志码：A         文章编号：2096-000X（2021）01-0078-04

Abstract： Flipped classroom is a new teaching mode， which has achieved good results at home and abroad. It provides a new idea for the reform and innovation of higher mathematics teaching. This paper briefly introduces the flipped classroom model， and compares it with the traditional classroom. According to the current situation of higher mathematics teaching， the flipped classroom model is introduced into the teaching of higher mathematics. Taking the teaching of double integral as an example， this paper discusses the specific application of flipped classroom model in higher mathematics teaching. Teaching practice shows that flipped classroom model in higher mathematics teaching can help stimulate students' interest in learning higher mathematics and improve teaching efficiency.

Keywords： flipped classroom; higher mathematics; teaching study

一、翻轉课堂的定义与内涵

翻转课堂（Flipped Classroom），即是学生通过观看老师录制的教学视频完成知识的传递，在课堂上老师通过组织各种形式（比如小组讨论、作业检测、教师单独辅导等）的教学活动，完成知识的内化的一种教学模式[1]。因此，翻转课堂具有以下三个特点：1. 将主要的知识传递转移到了课堂之外;2. 课堂上主要用于主动的学习、讨论，协作与交流、反思等的学习活动;3. 需要学生完成课前才能更好地在课堂上进行翻转活动。Hamdan等人[2]认为，翻转课堂还应具备四个要素：1. 灵活的学习环境。翻转课堂的环境应该是灵活的，具有弹性的，其灵活性还体现在学生能够选择何时何地进行学习，教师应根据学生需求适时调整教学方式和方法。2. 以学生为中心。翻转课堂要求以教师为中心转变成以学生为中心，课堂时间教师应积极引导学生进行深入的自主探究和创造丰富的学习机会，让学生积极参与有意义的学习过程进而获得知识的内化和构建。3. 内容的明确性。实施翻转课堂中，教师需要对教学内容进行重新整合和选取，哪些内容可以通过视频展示由学生自主学习，哪些内容需要课堂上自主或者合作探究完成的。教学内容的明确性能够更加高效地利用课堂时间来进行主动学习，探究学习，问题解决等教学活动。4. 更加专业的教师。翻转课堂并不是说用视频代替教师，教师的专业要求其实更加严格，专业的教师在实施翻转课堂时更加关键。教师需要掌控学生学习的整个过程，需要决定何时何地将直接的教学转化为个体学习或者是小组或者是群体学习，如何最大化师生面对面的教学效率。

很多人认为翻转课堂是简单的“课前视频讲授+课堂答题做题”。Bergmann和Sams[3]认为这是对翻转课堂狭隘的理解。他们进一步提出翻转学习（Flipped Learning）的概念，扩充了翻转课堂的内涵。翻转学习是将群体的学习转移到多元化的个体的学习，学习空间变成动态的，交互的学习环境。在学生学习过程中，教师则提供指导。他们还认为，翻转学习的核心在于将直接讲授转移到了课前，可以把面对面有限的非常宝贵的时间用来进行多元化丰富的有意义的学习活动。最大化学生在课堂进行深入参与的时间，真正实现以学生为中心的课堂。

二、翻转课堂与传统课堂比较

所谓传统课堂教学方式，是指以班级为单位进行授课和组织教学，教师主要通过讲授法，在固定时间内将大量的知识传授给学生的方法。其优势主要包括：1. 显著提高教学效率。教师可以同时给几十甚至几百学生进行讲授，教师可以在有限时间将大量知识传授给学生，有利于学生快速掌握系统知识，提高教学效率。2. 有利于学校的管理。固定教学人数，统一安排上课时间、教学进度和内容、评价方式，有利于进行教学管理。3. 有利于培养学生的组织纪律性和集体观念。虽然传统课堂教学方式有其优势，但是不可否认，这种传统课堂也存在一定的局限，具体表现为：一是集体学习与个性化学习的矛盾，集体学习在提高效率同时也导致了很难兼顾学生的个体，很难做到因材施教。二是知识学习与能力发展的矛盾，讲授法能够系统地学习知识，但是从能力形成来看，讲授法远不如探究式的翻转课堂有效。三是被动学习与主动学习的矛盾。大学生学习被动，积极性不高，除了他们自身的问题，教师的授课方式也是一个很重要原因。讲授法对学生的学习动机要求较高和严格，这种单向性的教学方式容易压抑学生学习的积极性和主动性。四是教师中心与学生中心的矛盾。传统课堂教学强调以教师为中心和主导作用，从教材和教师的角度进行教学设计，实施和评价，学生也有自己的认知能力，传统课堂很难做到以学生为中心。

翻转课堂与传统课堂相比，不仅仅是课堂教学流程的变化，更加体现在师生角色，教学资源，教学环境，评价方式的改变。具体来说，传统课堂的教学流程为课中教师讲授与课后学生作业，翻转课堂则是课前知识学习与课中知识内化。这对学生养成自主学习的习惯和发现问题的能力的培养很重要;在传统课堂中教师充当知识拥有者和传播者的角色，翻转课堂中教师是整个教学活动的策划人和“总导演”;学生由被动的知识接受者变成主动学习的参与者，可以很好地培养学生的动手能力，发现和解决问题的能力。传统课堂主要的教学资源为课本，翻转课堂的教学资源为教学视频，微课，微PPT，网络资源等等。传统课堂主要教学环境为教室，而翻转课堂可以打破这种界限，变成线下课堂和网络空间。传统课堂的评价体系已平时作业成绩和期末考试成绩按一定比例得到总评成绩，翻转课堂是一种综合性的评价体系，注重学生平时的学习效果，更加全面。

三、在高等数学课堂教学中引入翻转课堂模式

高等数学是高等院校理工类、经管类等许多专业的一门十分重要的公共基础课，但是很多学生学习高等数学感到比较抽象，很难掌握而逐渐失去学习的兴趣。同时，作为地方性院校，学生的数学基础参差不齐，要学习高等数学的教学内容较多，但是课时安排较少，这使得教师教學过程中往往无法讲授得透彻，甚至对教学内容有所取舍;部分学生也觉得学无乐趣。

2011年以后，翻转课堂以燎原之势席卷全球，迅速成为全球教育界关注的热点。美国《时代周刊》和加拿大《环球邮报》等媒体把翻转课堂评为当今影响课堂教学的重大技术变革。美国“教师焦点”网站在2014年对1089名美国和加拿大的教师高校教师进行调查，调查结果表明：有四分之三的高校教师进行过翻转课堂教学，“提高学生参与度”“提升学生成绩”和“使教学更加以学生为中心”是高校教师选择翻转课堂模式的最重要的三个原因。采用翻转课堂模式教学，是一种积极的教学和学习体验，学生参与程度更高，同时提高了学生的学习成绩。在我国，翻转课堂在中小学课堂上较早引入并开展实践，已有一些高校对翻转课堂进行了一定的研究与实践，在百度上搜索“翻转课堂”为关键词，能立刻有千万上亿条结果[4]。翻转课堂在国内外的流行程度可见一斑。翻转课堂模式为大学生提供一种自主和合作学习的形式，这种学习形式由老师设计和主导，学生自主完成，能更好地解决目前高等数学教学中学生积极性不高，参与程度低等问题。鉴于翻转课堂模式在国外的成功及在国内的逐渐流行，结合教学实践，在高等数学教学中引入翻转课堂模式对提高学生学习高等数学的积极性和热情有所帮助。借助学校已有的教育技术平台，以二重积分的教学实践为例，探究翻转课堂模式在高等数学教学中运用。

“二重积分”是大学本科课程“高等数学（下）”的一个重要内容，是多元函数积分学的一部分，它是定积分的思想和理论在多元函数情形下的一种直接推广。

（一）确定教学目标

二重积分的教学内容包括二重积分的概念、性质与计算方法与应用。

该主题知识性的教学目标为理解二重积分的定义与性质，掌握二重积分计算方法。

该主题的能力性教学目标为通过二重积分的定义学习，分析二重积分在实际生活中的应用，培养学生的探究能力与创新能力。

（二）课前准备活动

二重积分是比较抽象的知识，为了引起学生的学习动机和兴趣，把数学与实际生活联系起来，这里通过求平面薄片的质量引入。

设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D，它在点（x，y）处的面密度为f（x，y），这里f（x，y）>0且在D上连续。现在要计算该薄片的质量M。

我们知道，若薄片是均匀的，即面密度是常数，则薄片的质量可以用公式：质量=面密度×面积来计算。现在面密度f（x，y）是变量，薄片的质量就不能直接用上式来计算。

由于f（x，y）连续，把薄片分成许多小块后，只要小块所占的小闭区域？驻？滓i的直径很小，这些小块就可以近似地看作均匀薄片，在？驻？滓i上任取一点（？孜i，？浊i），则

可看作第i个小块的质量的近似值（图1），通过求和、取极限得出学生已经知道均质物体质量的计算方法，也学习了定积分的概念与性质，会发觉求平面薄片的质量与定积分定义的引入：求曲边梯形的面积的步骤非常类似。通过对比分析，他们会带着问题和思考进入到视频的学习。

（三）课前教学视频

本主题包括三个教学微视频，分别为：二重积分的定义与性质、二重积分的计算和二重积分的应用。

制作微视频是翻转课堂教学设计的基础和关键。高等数学微视频，以教学知识点为单位，明确教学目的，突出重点难点，要做到短而精，通俗易懂。可以为学生传递以下几个信息，首先传递授课的主要内容和必须掌握的知识点，给学生提供一个比较普遍性的学习媒介，既可以帮助同学们复习，又可以作为新课的预习，甚至达到掌握基本知识点的功效，这也叫做自主学习阶段的目标;还要传递课上教学目标，通过学习制作的微视频，分组讨论和汇报，让学生对教学内容有更加深刻的认识，融会贯通。首先要传递给学生的是教学目标，分为自主学习阶段的目标和课上教学目标。

课前，教师录制与二重积分相关的微视频，包括由从几何与物理问题出发引进二重积分的概念，并进一步提出有关二重积分的性质、求解步骤，二重积分的在几何和物理上的应用。做到主题鲜明，内容短小精悍，每个视频时间大概10-15分钟;课上，教师将已做好的微视频发布到教学平台上，学生通过在线观看学习。

这里必须指出：除了要传递教学目标，微视频的制作要有吸引力，给学生一种视觉上的震撼，要让视频具有美感，可以配置出动画、声音、节奏感。从而使学生对视频讲解的内容产生兴趣，让学生以积极主动的心态对知识点进行吸收和消化。

（四）课前学习效果测试

课前学习测试非常有必要和关键，是教师进行课堂翻转能否顺利开展的重要依据。为了检测学生是否观看了教学微视频，以及是否看懂了微视频，理解了二重积分的相关概念与性质，计算方法等。这里通过给定相应的练习进行测试，例如：

成的右半闭区域;

（v）一均匀物体（密度？籽为常量）占有的闭区域？赘由曲面z=x2+y2和平面z=0，|x|=a，|y|=a所围成，求物体的体积和质心。

其中，（i）-（iii）考查学生对二重积分定义与性质的

理解;（iv）考查学生对二重积分在直角坐标系下的计算方法;（v）考查学生对二重积分在几何和物理上应用

的理解。根据学生在上述问题出现的情况，进行有针对性指导和解析，加深学生对二重积分计算方法和应用的理解和掌握。

（五）课堂活动探究

根据学生观看视频和练习测验的效果，结合二重积分的教学目的，提出具有探索意义的问题给学生选择进行探究。（1）二重积分的定义及其内涵。第一个探究性活动：举出可以由二重积分表示的实际问题，并说明原因？这个探究活动能够让学生理解二重积分的定义和内涵，加深对元素法的理解，并且与实际联系，让学生知道数学来源于现实生活，体会高等数学在实际生活的应用。（2）掌握直角坐标系下二重积分的计算方法，并总结计算的一般步骤。第二个探究活動是：在直角坐标系下积分区域非X型和非Y型的积分区域（如图2），让学生探究这种情况下应如何计算二重积分。

学生根据老师提出的问题，以小组为单位进行合作探究，小组人数一般6人左右，学生可以通过查阅资料，分工合作，讨论等方式完成老师提出的探究性问题，这是一个学习的过程，同时也促进了学生之间的交流、协作互助和数学语言表达能力，因此，翻转课堂教学模式的课堂组织和课堂学习有助于知识的内化。

（六）课堂总结提升

课堂的最后，对本次课进行回顾、总结和提升。今天的学习内容是对二重积分的练习与拓展，涉及到以下方面的内容：二重积分的定义，计算方法和在现实生活中应用，再次突出重点和难点。

（七）课后评价

根据学生学习微视频，练习检测，小组协作交流过程中的表现对学习效果进行综合性的评价，不再以分数为唯一标准。这种评价体系不仅重视评价学习的效果，还需要对学生学习的整个过程进行评价，更加需要对小组所在团队的学习过程和团队功能进行评价，并归档，定量，定性分析教学效果。教师对形成性的综合评价结果获取教学反馈信息，不断改进，进一步提高综合评价值。

四、结束语

高等数学是高校理工科大学生必修的公共基础课，对理工科学生学习后继课程至关重要，也是大多数理工科大学生考研的必考科目，然而，高等数学知识有别于初等数学，较为抽象，目前高校大多采用传统课堂对高等数学进行教学，以“教师讲授为中心”，这种传统的课堂教学能在课堂内将大量的知识系统地传授给学生，但同时也存在着一些弊端;同时，现在的大学生生活在一个信息网络的时代，信息网络对他们的冲击是非常大的。为避免传统课堂教学方式的弊端，充分利用信息技术的优势来提高高等数学教学的质量，有必要对高等数学教学进行教学方式的改革与创新。

本文简要介绍了翻转课堂模式，比较了翻转课堂与传统课堂的差别，针对高等数学知识较抽象，学生缺乏兴趣的实际情况，在高等数学教学中引入翻转课堂，这里以二重积分为主题的教学引入翻转课堂模式。在实际教学中，对其他知识点还可以不断地研究和改进，让学生更加主动地参与到学习之中。通过观看老师精心准备的微视频，在教师指导下学生自主探索，协作学习和分享交流，既可以帮助学生掌握知识，提高学习的积极性，引发对高等数学知识及其应用的浓厚兴趣，还可以培养他们自觉发现问题，观察规律的良好习惯。

参考文献：

[1]张金磊.翻转课堂教学模式的关键因素探索[J].中国远程教育，2013（10）：59-64.

[2]N. Hamdan， P. Mcknight and K. Arfstrom. The flipped learningmodel： A white paper based on the literature review， https：//flippedlearning.Org/wpcontent/uploads/2016/07/WhitePaper_FlippedLearning.pdf.

[3]J. Bergmann and A. Sams. Flipped learning： Gateway to student engagement[J].Leading with Technology， 2014（5）：19-23.

[4]郭建鹏.翻转课堂与高校教学创新[M].厦门大学出版社，2018.

[5]郭正光，方明亮.高等数学[M].广东科技出版社，2008.

[6]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.

基金项目：广东省高等教育教学改革与研究项目“基于翻转课堂模式的高等数学教学探究”（粤教高函[2018]180号）;嘉应学院第十五批高等教育教改项目“基于翻转课堂模式的《高等数学》课程改革”（编号：JYJG20180201）

作者简介：温坤文（1984-），男，汉族，广东梅州人，博士，讲师，研究方向：高等数学教学与改革。

通讯作者：黄慧青（1981-），男，汉族，广东梅州人，博士，讲师，研究方向：大学数学教学。