巧用“转化思想”解二次函数背景下三角形面积问题

叶燕华

【摘 要】转化思想是数学解题中的一种重要思想方法，也是提高学生思维，应用意识的一个重要途径。基于与二次函数图象有关的面积问题，解决方法常常用到转化思想，所以依托本节专题复习课，让学生学会，将点坐标转化为线段长，将不规则图形转化为规则图形，将未知转化为已知，将动态问题转化为静态问题等转化的基本技巧，从而促进问题的解决。

【关键词】点坐标;转化思想;数形结合;三角形面积

1.复习目标

根据学情，结合课标要求制定了如下的复习目标：（1）能根据三角形在抛物线中的位置特点，选择合适的方法求面积;（2）以三角形面积的最值问题为载体，感悟转化、数形结合、函数建模、方程等数学思想，培养几何直观，提高应用意识。本节课的教学重点是通过数学转化思想的渗透，培养几何直观、应用意识，难点是如何渗透转化思想。

2.教学设计

2.1课前热身

【问题1】已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D。

问1：请求出A，B，C，D四点的坐标;

问2：请求出AB的长，OC的长，点D到x轴的距离，点D 到y轴的距离;

问3：请求出△ ABD的面积，并与同桌交流你的解法;

问4：请求出△ ABC的面积，并与同桌交流你的解法;

问5：若点P的坐标为（4，5），则△ ABP的面积为多少呢？请说明理由。

功能分析：本题先设置了简单的问题，再层层递进，步步为营。第（1）题根据抛物线的解析式求出与坐标轴的交点坐标以及顶点坐标，明确抓住交点、顶点、对称轴就是抓住了二次函数的“根”。第（2）题通过点坐标计算线段长，初步体会转化思想。第（3）-（5）题利用线段长计算三角形的面积。本环节让学生经历由点到线线到面的过程，渗透转化和数形结合思想，也为后续问题的解决奠定基础。

教学示范：先让学生独立思考求出A、B、C、D四个点的坐标，然后步步引导由点坐标计算线段长，有了线段长就可以求三角形的面积，师生共析，教师在黑板上总结归纳并板书：求三角形面积的方法：①直接运用面积公式法。（具体说明：当三角形的一边落在坐标轴上时，则以此边为底，再作其边上的高即可直接求出面积）。

2.2知识应用

【问题2】 在【问题1】的背景中，如图1，请同学们求出△BCD的面积。

追问1：这题三角形的三边均不在坐标轴上，看起来有点“歪”，该如何求△BCD的面积？若有想法了，可到黑板上展示交流。

学生活动：学生一一上台展示，分享交流自己的解法。

【方法总结】当三角形三边有点“歪”时，可用割补法间接求三角形的面积。

追问2：请思考，解答过程中添加的辅助线都有什么特点？

添加的辅助线对解决问题起到了什么帮助？

学生活动1：都是过一点作与x轴或者y轴平行的直线，从而把三角形分割成几个可直接利用公式求面积的图形。

学生活动2：添加辅助线目的在于把不规则的图形分割成几个规则的图形。

功能分析：本题中三角形的三个顶点是定点，有了问题1的层层铺垫，学生已经具有了求解的基本思路与方法，难点在于此时三角形的三边有点“歪”， 无法直接利用三角形面积公式求出，如何改“斜”归“正”？这正是本题的功能所在，再次引导学生形成转化思路，从而归纳总结出求三角形面积的第2种方法：割补法。

教学示范：通过层层铺垫，学生已经掌握了求定点三角形面积的基本思路和方法，但在计算△BCD面积时发现三边关系不具有特殊性，此时不要直接给出答案，先让学生自主探究，再小组讨论一起去寻求解决问题的办法。接着让学生一一上台讲解，最后师生共同对同学們分享的做法进行归纳总结，重点指出方法4和方法5的巧妙性，得出求三角形面积的另一方法“割补法”，也就是当三角形的两个顶点在坐标轴上时，就利用割补法进行转化。最后教师总结出求“歪”三角形的面积公式：■×水平距离×竖直距离。

2.3拓展延伸

1.已知抛物线y=x2-2x-3，与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C。设点E（m，n）（其中0

【方法点拨1】

追问1：本题与上一题的区别在哪儿？

学生回答：定点D变成了动点E。

追问2： 你能求出△BCE的面积与m之间的关系吗？此时上面的方法还适用吗？

【方法点拨2】

追问1：如果能知道△BCE 面积最大时，点E的位置，问题就迎刃而解了。大家能否确定△BCE 面积最大时E点的坐标呢？

追问2：点E在运动时，△BCE 中有哪些量是保持不变的？哪些量会发生变化？

学生活动：线段BC始终不变，要使得△BCE面积最大，则高要最大。

功能分析：本题是对前一题的巩固与延伸，将定点问题变式成动点问题。解决本题的难点在于点坐标不确定，图形不确定，不过有了前面定点三角形面积问题的铺垫，学生容易想到转化思路。本题的主要目的是让学生感悟面积最值问题的求解方法，通过点坐标建立函数模型，数形结合，培养学生几何知识代数化的能力。

教学示范：本题教师通过设置问题串，启发式点拨，打开学生思维，引发学生深度思考，解决相关问题。因为有了前面的层层铺垫，学生基本上懂得利用割补法。设动点E的坐标，将动点E当成定点，然后用含有m的代数式表示面积，得到S关于m的二次函数关系式，从而得到最值。时间允许的话，可以引导学生利用平移平行线的方法将面积之间的关系可以转化为高之间的关系，为今后高中解析几何作铺垫，再一次地渗透转化思想。

2.已知抛物线y=x2-2x-3，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，点E（4，5）在该抛物线上，点F是该抛物线上位于D、E之间的一动点，求四边形ADFE面积的最大值，此时点F的坐标。

功能分析：本题让学生体验将四边形面积问题转化为三角形面积问题来解决，对所学知识再次迁移。

教学示范：本题无需让学生在课上完成，只需让学生思考如何计算四边形的面积，懂得连接ED将四边形问题转化为三角形的问题，而三角形问题就是本节课在求解的问题即可，具体的解答过程可在课后完成。

2.4反思感悟

在本节课中，你学习到了哪些解决面积问题的方法？解决问题的关键是什么？

通过本节课的学习，学生积累了解决二次函数背景下三角形面积问题的经验。在利用割补法求解的过程中逐步领悟，解决问题的关键是找“点”，将点的坐标转化为线段长。 通过“点”把面积构建成函数问题，即“形”的问题转化为“数”的问题，学会转化思想。

（设计意图：通过学生的反思，教师的总结，帮助学生综合地看待所运用的方法，形成知识体系。）

3.回味反思

3.1 层层递进，一图贯之

考虑到二次函数是一大难点，本节课的问题设置起点低，又有梯度，课前热身的题目是根据构成图形的点坐标直接求面积，慢慢过渡到三边有点“歪”的三角形面积问题，将问题提升到了把不能直接求的面积问题转化为易求的图形面积的和或差上，最后突破動点问题。在整个教学过程始终用二次函数y=x2-2x-3的图象为背景，由浅入深，层层铺垫又层层递进，一步一步地培养学生的转化意识，一点一点地提高学生解决问题的能力。

3.2 总结方法，发展数学能力

中考复习课的重要目标在于梳理知识点的同时，感受数学思想方法，提炼解题方法，从而发展数学能力。本节课通过点坐标开启了探索二次函数面积问题的大门，由点坐标计算线段长，再由线段长计算三角形面积，及时总结了求解三角形面积的常用方法，最后提升到通过点把面积问题构建成函数问题，以形助数，数形结合。当遇到不规则的图形可以通过添加辅助线转化成规则图形，最终让学生明白本专题复习课的核心就是学会转化思想，懂得将不熟悉的问题转化为熟悉，将未知转化为已知，有效提高了数学解题能力。