目标方位不确定时MIMO雷达鲁棒STAP波形设计

王虹旋，高 静，张云雷

(1. 中国人民解放军91550部队,辽宁 大连 116000; 2. 中国人民解放军96946部队,北京 100000;3. 海军工程大学,湖北 武汉 430033)

多输入多输出(MIMO-Mutiple Input and Multiple Out)是雷达系统近年来发展的重要方向,该体制雷达是数字阵列雷达的扩展。MIMO雷达在采用接收波束形成的同时,允许发射端每个阵元灵活采用幅度和相位加权,实现不同发射波形设计,这样可增加额外的自由度,带来其性能上的提升[1]。发射波形是雷达探测目标信息的载体,而不同发射波形检测和分辨性能有差异,因此,通过发射波形设计可提升性能。传统MIMO雷达的不同发射阵元通常发射正交信号,在接收端采用正交匹配滤波。为了实现更灵活的波形设计性能,近年来很多研究采用部分相关波形设计方法[2-6]。

当MIMO雷达位于机载平台时,需对付比目标回波强成千上万倍的地杂波,此时称为空时自适应处理(STAP-Space Time Adaptive Processing),但也使得波形设计维度加大。文献[7]针对单通道雷达STAP处理,采用凸优化方法求解慢时间维的最优码波形；文献[8]将上述研究扩展到快时间,针对发射波形和接收滤波器联合迭代优化求解；文献[9]针对MIMO雷达最优STAP波形设计,采用对角加载将原问题转化为凸问题求解。以上研究均针对理想条件下的波形设计问题。实际系统中,因为目标位置及多普勒信息不能准确估计,抑或因为阵列未经过校准,阵元位置随平台运动发生偏移,均会导致设计波形的性能恶化,因此,有必要开展鲁棒波形设计研究。

文献[10-11]讨论当杂波协方差矩阵在不确定凸集范围内时的波形最优设计问题,借鉴对角加载思想进行鲁棒设计。文献[12]针对目标未知多普勒的情形,讨论MIMO-STAP的鲁棒波形设计,将不确定集合用凸集合表示,通过最大化最差信杂噪比(SCNR-Signal to Clutter Plus Noise Ratio)作为目标函数,然后利用拉格朗日方法求解。我们注意到,上述研究将不确定因素建模为误差椭圆的凸集合,从而可以简化求解方法。然而当目标所在角度或多普勒频移不确定时,该处理会扩大不确定集合的范围,导致所设计的波形并不是最优的。

实际上,利用三角多项式非负表征,可将上述非凸集合的目标优化函数转化为半正定优化问题求解[9],由于避免了扩大不确定集合的范围,可以得到更好性能的波形。类似的研究有:文献[14]针对目标多普勒频移不确定条件下,讨论了无关干扰下单输入单输出(SISO-Single Input and Single Out)雷达的波形设计;文献[15]假设存在相关干扰且未知多普勒频率,讨论了SISO雷达的鲁棒波形设计问题;文献[16]将上述研究扩展到MIMO雷达,针对目标来波方向不确定,开展最优鲁棒波形设计。以上文献为本研究提供了借鉴;另外,针对MIMO雷达STAP处理波形设计问题的变量个数急剧增加,还需要寻找更为高效的设计方法。

本文针对目标所在方位(或目标回波多普勒频移)不确定条件下,基于STAP处理的MIMO雷达最优鲁棒波形设计问题,假定已知分布式杂波协方差矩阵,以最大化最差角度SCNR为波形设计准则,采用最优MVDR(Minimum Variance Distortion-less Response)滤波器表示,得到只和发射波形相关的目标函数,利用shur补定理和三角多项式的半正定表示引理,转化为半正定凸优化(SDP-Semi-positive Definite Optimization)问题,从而求得最优的波形协方差矩阵。为克服分布式杂波自由度过高导致算法收敛速度慢的问题,利用扩展的戴维南定理对上述优化算法进行改进,可有效提高SDP算法的可实现性。获得波形协方差矩阵(WCM-Waveform Correlation Matrix)后,可采用交替优化来求解给定WCM时的综合最优波形[17-19]。

1 问题模型

如图1所示[12],对于运动平台上的集中式MIMO雷达,发射和接收天线阵元数分别为NT和NR,目标发射和接收角度为θt,假定发射为稀疏布阵,接收阵元间隔半波长,取第1个阵元为阵列相位参考中心,则雷达的发射和接收导引矢量可分别为a(θt)=[1ejNRωt…ejNR(NT-1)ωt]T和b(θt)=[1ejωt…ej(NR-1)ωt]T,其中ωt=πsinθt。

图1 MIMO雷达STAP处理示意图

(1)

假定目标相邻方位单元存在Nc个相关杂波干扰,这些干扰与平台由于存在相对运动产生多普勒频移,记第k个杂波单元的归一化多普勒为fc,k,其大小与杂波所在的角度有关。根据图1的几何关系,若平台运动速度为va,假定雷达发射脉冲重频为fr=4va/λ,即STAP处理的杂波脊为1,可以求得第k个杂波单元归一化多普勒频移为

(2)

假定雷达发射波形为S=[s1,s2, …,sNT]T∈CNT×L,雷达共接收P个相干脉冲,则NR个接收天线收到的第p个脉冲可表示为

Yt,p=αtej2πfdt(p-1)b(θt)aT(θt)S

(3)

式中，fdt为目标多普勒频移,αt为目标的复反射系数,p=1∶P。通过引入空域导向矢量u(f)=[1 ej2πf… ej2π(P-1)f]T,对上式矩阵列向量化,得到回波数据列向量:

yt=vec(Yt,p)=αtu(fdt)⊗(STa(θt))⊗b(θt)

(4)

同理,可得Nc个杂波单元回波列向量为

(5)

式中vc,k=u(fd,c)⊗a(θc,k)⊗b(θc,k)的定义和式(4)的vt相类似,为第k个杂波单元空时导向矢量,αc,k为其反射系数。

假定不同方位的杂波单元反射系数互不相关,则上述杂波的协方差矩阵可以简化为

(6)

根据上述假设,检测杂波和噪声条件下的目标是否存在,建模为以下二元假设检验模型:

(7)

当已知目标的方位时,根据文献[12]的思路,代入最优MVDR滤波器,可得最优波形满足优化问题:

(8)

这里D=NRLP,tr(·)代表求矩阵的迹,et代表MIMO雷达发射功率。

(9)

(10)

由于θt存在无穷种可能,导致上述优化问题非凸[13],需要寻找新的求解方法。

2 问题求解

非负三角形多项式半正定表示引理[13]表述为:如果以下三角多项式

(11)

对于所有的ω∈[α-β,α+β](0<β<π)非负,当且仅当存在L×L的半正定矩阵Z1和(L-1)×(L-1)的半正定矩阵Z2,满足:

(12)

其中,

h=[h0,h1, …,hL-1]T,

d=[d0,d1, …,dQ-1]T,

F1=[f0,f1, …,fL-1],

F2=[f0,f1, …,fL-2]，

fl=[1, e-j2πl/Q, …, e-j2πl(Q-1)/Q]T,0≤q≤Q-1,Q满足Q≥2L-1。

上述引理表明:若某个三角多项式f(ω)在[α-β,α+β]上恒大于等于0,则其系数构成的矢量存在半正定表示。根据Shur补定理,通过引入矩阵Q∈CNRNT,式(10)表示的优化问题可转化为如下凸问题:

(13)

然而,由于采用了MIMO 雷达和空时处理,使得优化问题的自变量协方差矩阵维度很大,导致SDP通常不能在规定循环周期内求解而失效。为减少SDP自变量个数,我们利用STAP杂波秩的扩展戴维南定理[19],做如下近似:

rank{Rc}≈NR+NR(NT-1)+βPNeff,

β=2va/dR/fr=2fdt

(14)

式中，va为目标速度,fr为雷达脉冲重复频率,dR为接收阵元间隔,这里取半个波长;参数β求解利用了fdt=2vafr/λ表示归一化的多普勒频率。

从式(14)可以看出,杂波有效秩通常比协方差维数小得多。因此可将优化问题的杂波差矩阵用有效秩对应的特征值和特征向量来表示:

(15)

式中Λeff∈RNeff为杂波有效值(有效秩对应的特征值)的对角线矩阵,V为对应的特征向量构成的长矩阵。

利用上述关系,优化式(13)中的正定矩阵条件重写为

(16)

可以看出,经过上述变换,正定矩阵维度从1+PNRNT减小到1+Neff,可极大减小变量的个数。

3 算法仿真

本节通过仿真,验证本文所求的鲁棒波形设计方法的有效性。由于SCNR与目标检测性能正相关,因此我们仿真算法的鲁棒SCNR性能,然后考虑采用等效秩近似时算法的计算量和计算时间。

3.1 算法性能

设置发射和接收阵元数和脉冲数:1)NT=NR=P=3,2)NT=NR=P=4;其他设置:波形采样L=100,目标中心方位为0,目标方位在-5°～5°;多普勒频率为0.3,相邻杂波单元数为Nc=1 000个。图2给出本文设计的鲁棒波形与文献[12]的凸集约束下得到的鲁棒波形的SCNR性能,并将指向目标中心的非鲁棒设计波形作为对比。可以看出,本文优化波形的SCNR优于文献[12]优化波形,特别是当自由度变大时,本文波形的鲁棒效果越发明显,能够获得基本上平坦的SCNR。

图3给出了目标不确定角度范围变大时算法的鲁棒性能,除了目标方位不确定范围扩大到-10°～10°外,其他仿真条件同图2,取NT=NR=P=4。

图2 波形性能比较

图3 不确定范围扩大时波形性能对比

可以看出,当不确定范围扩大时,文献[12]给出的优化算法不再保持鲁棒的性能,而本文算法仍旧能够获得较为鲁棒的波形。

3.2 算法优化

实际仿真中发现,当直接利用协方差矩阵进行求解,由于优化变量的维数太高,会经常出现优化失效的情形。如果采用等效杂波秩近似的优化方法,则可避免该问题。

针对NT=NR=P=4的情形,对比采用/不采用等效秩近似,本文算法和文献[12]算法优化结果对比如下表1所示。

表1 等效秩优化算法性能

可以看出,采用等效秩算法可以有效提高算法的执行效率。相对于文献[12],本文算法在性能较优的同时,变量的个数更少,因此具有更高的运算效率。

4 结束语

本文研究了MIMO雷达在目标方位不确定下的STAP波形鲁棒设计算法,通过采用非负三角多项式半正定表示引理,可以将问题转化为SDP优化,从而得到比现有算法更好的检测性能的波形。针对算法计算量过大的问题,利用等效戴维南定理,将杂波协方差矩阵利用有效特征值进行近似,从而极大减少SDP优化变量的个数,提高了算法的成功率和执行速度。本文的鲁棒设计和快速算法,可为MIMO雷达开展STAP鲁棒波形设计提供借鉴。

实际系统中,可能存在目标方位和多普勒同时存在不确定的情形,因此，下一步需要针对二维鲁棒波形设计开展研究。