直线与圆锥曲线的位置关系的常见类型及解题策略

周淑文

【摘要】在新的课程标准下，高考数学越来越重视对学生综合素质的考核。 这就要求数学老师在复习学生的过程中要不断改变自己的教育和教学观念。特别是对于直线与圆锥曲线的位置关系的问题，要做好及时的及其归纳以及技巧归纳，让学生能够不断的进行学习以及掌握技巧，让学生在考试的过程中对试卷最后的大题不至于于束手无策。直线与圆锥曲线的位置关系问题是研究学生综合数学素质的重要途径。这类问题它渗透了功能，约简和数形结合的思想，所以，这类题目也是高考数学试卷中最常出现的题目。

【关键词】直线与圆锥曲线;位置关系;解题策略

引言

直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必要测试题之一，主要以解答题的形式出现，一般来说通常出现在试卷的最后，也就是我们考试中所说的“压轴题”，对学生的代数恒等式都比较高我需要教师对学生做好这类题型的总结工作以及做题技巧的总结，让学生不再“惧怕”这些问题，为学生争取在考场上的时间，提高学生的数学成绩，文章就简单分析一下圆锥曲线当中直线与圆锥曲线的位置关系这类题目的常见类型都有哪些，以及做题的技巧有哪些？笔者对这些内容进行总结，希望可以帮助学生在复习过程当中能够快速的进行学习，提升学习效率、优化学习效果。

一、直线与圆锥曲线的位置关系的考点整合

定值和定点问题必须是变化中所示的恒定量，然后线性方程，定量乘积和问题中的比例关系可以通过变化量来表示。这些线性方程、定量乘积和比例关系是不受变化量影响的关系点，解决此类问题所需的定点解决方案是引入参数来表示直线方程，数量乘积，比例 关系等，基于不断建立的方程式，数学变换等影响的量[1]。

圆锥曲线的最大值：在于求出线段长的最大值以及三角形面积。

3、解决圆锥曲线范围问题的重点是通过适当的变量，利用变量來建立目标函数以及不等式。 主要有以下这么几种问题：

（1） 距离类型：如果要计算点到直线的距离，可以设置直线方程，然后将其代入圆锥曲线，并使用等于判别式找到切点坐标。 该切点是获得的最大值的点。如果问题与焦点相关，那么就可以把平面几何与圆锥曲线两者结合;如果在圆或椭圆上，则可以以参数的形式设置点的坐标，并将其转换为三角函数的最大值。

（2） 斜率，截距类型：面对这些题目，我们可以采用的解决方案一般由这些：将直线方程代入圆锥曲线方程，并使用判别式来找出不等式的求解参数范围。 如果仅给出一部分圆锥曲线，那就需要具体情况具体分析，找到相对应的不等式关系

（3）面积类型：找到面积类型的最大值，可以考虑能不能用不等式，或者使用函数关系，最后使用函数方法来解决问题。

二、直线与圆锥曲线的位置关系解题技巧总结

解析几何的核心思想是“数形结合”.我国著名数学家华罗庚有诗赞：“数形结合百般好 ，隔裂分家万事休”在解 析几何题 的运算 过程中，务必及时注意观察运算结果的几何意义，从图形的形状、大小、位置关系等方 面 加以直观考察[2]。下面笔者就对直线与圆锥曲线的位置关系解题的技巧与方法进行一个简单的总结。

第一类方法是解方程组，在解题中，将直线的方程与圆锥曲线的方程联立 ， 消去一个变量后可得到一个二次方程 ，控制、讨论这个方程的根，并结合韦达定理，可以解决如下问题：

（1）判断直线与圆锥曲线的位置关系（相交、相切、相离）;

（2） 交点问题（公共点的个数 ，与交点坐标相关的等式或不 等式）;

（3）计算弦长其中k为弦AB所在直线的斜率）

如果要计算点到直线的距离，可以设置直线方程，然后将其代入圆锥曲线，并使用等于判别式找到切点坐标。 该切点是获得的最大值的点。如果问题与焦点相关，那么就可以把平面几何与圆锥曲线两者结合;如果在圆或椭圆上，则可以以参数的形式设置点的坐标，并将其转换为函数的最大值问题。

第二类方法是利用点差法来对这类问题进行求解。点差法计算量少，但是需要多个步骤对焦点进行验证，体现了数学的简洁美，同时也体现了事物的广泛联系性，中点的坐标就这样和斜率产生了关系.通过本题的探究有助于学生推理严密性的培养，同时也可以培养学生从多个角度看问题，思考问题，解决问题，拓展思维的宽度和深度{3}。

总的来说，解决圆锥曲线问题，把握以下几个方面

（1）从一个特殊值开始，找到固定值，然后证明该值与变量没有关系;

（2）在整个过程中直接推理，计算和消除变量，获取固定值;

（3）在包含参数的曲线方程式中，将参数与包含参数的项分开，并将其系数设为零，即可求解不定点坐标。

2，曲线求值和范围问题的求法

（1）几何方法：如果问题的条件和结论可以清楚地反映出几何特征和意义，那就思考能不能使用图形方法来求解;

（2）代数方法：如果问题的条件和结论能反映出明确的函数关系，则可以先建立目标函数，然后在使用代数法求解时找到该函数的最大值以及关于最大值和范围的问题，可以从下文的五个要点出发：

①判别用于建立不相等的关系以确定参数的范围;

②使用已知参数范围查找新参数范围，解决这些问题的核心是建立两个参数之间的相等关系;

③使用隐式或已知不等式，建立不等式来对参数的值范围求解;

④可以基于基本不等式来对参数取值范围求解

⑤活用值域，在函数的值范围内确定参数

总结：以上内容就是对圆锥曲线当中的直线与圆锥曲线的位置关系解题方法的总结，希望可以帮到高中学生在学习过程当中的快速解题能够为学生争取得时间。教师在对学生进行总结过程当中，也要根据学生的实际情况对学生进行不断的练习，以及让学生进行不断的总结，这样才能够让学生对于以上内容掌握的更加扎实，在做题过程当中才能够做到游刃有余，同时需要注意的是，学生在做题过程当中也要进行不断的转变，不一定所有的题都是按照以上解题方法进行解答，但是大部分的题目都是根据以上几条进行解答，这就需要教师在引导学生做题过程当中进行活学活用。

参考文献

[1] 直线与圆锥曲线的位置关系的常见类型及解题策略  马惠云  《中学生数理化：高二高三版》 2018 3

[2] 点差法解圆锥曲线中点弦问题新发现   李虎  《中学数学研究》 2020 2