一类三阶线性非齐次微分方程的通解公式

张巧玲 陆海霞 刘晓兰

【摘 要】本文研究三阶线性非齐次微分方程 y'''+2a（x）y''+b（x）y'+c（x）y= f（x），且a（x），z（x）满足微分方程组，提出利用已知一个特解的二阶变系数齐次微分方程的降阶，通过常数变易法求得其通解。

【关键词】三阶线性非齐次微分方程;常数变易法;降阶

【中图分类号】G642  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）10-0007-02

数学作为工具学科，广泛应用于工程力学、物理学、种群动力学等领域[1-3]。对于其中极为重要的三阶线性非齐次微分方程

对于系数函数满足的三阶线性非齐次微分方程 y'''+2a（x）y''+b（x）y'+c（x）y= f（x），其求解大体可按照以下步骤进行：①将三阶线性组合凑成关于因变量的二阶线性微分方程的微分，两边积分，得到二阶变系数非齐次线性微分方程;②对上述二阶变系数非齐次线性微分方程的齐次方程，利用其已知的一个特解，降阶求得其另一个线性无关的特解，进而得到齐次方程的通解;③利用常數变易法对上述通解进行变易，求得待定系数函数，从而得到三阶线性非齐次微分方程的通解[5-6]。

当利用上述方法求解比较困难时，可以考虑其他方法，微分方程的求解技巧非常灵活，当然也存在三阶线性非齐次微分方程本身可能无解的情形。因此，三阶变系数线性非齐次微分方程的可积性，至今仍是世界难题.

【参考文献】

[1]王高雄，周之铭.常微分方程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1983.

[2]罗亚平，陈仲.微分方程[M].南京：南京大学出版社，1987.

[3]敏志奇.一类变系数微分方程通解公式的求法[J].高等数学研究，2005（3）.

[4]张云，叶永升.一类二阶变系数线性齐次微分方程的解[J].淮北师范大学学报（自然科学版），2019（1）.

[5]高焕江，徐迅迅，张翠丽.一类二阶变系数非齐次线性微分方程的通解[J].大学数学，2019（6）.

[6]王明建，温少挺.一类特型Riccati微分方程有解的充要条件及应用[J].西安文理学院学报（自然科学版），2019（6）.

【作者简介】

张巧玲（1990～），女，汉族，山东临沂人，硕士，讲师。研究方向：微分动力系统，生物控制。

陆海霞（1976～），女，汉族，江苏盐城人，博士，教授。研究方向：生物数学。

刘晓兰（1981～），女，汉族，江苏徐州人，硕士，讲师。研究方向：生物数学。