面积为定值的阿基米德三角形的轨迹问题

2021-06-08四川成都七中610041

中学数学研究(广东) 2021年9期

关键词：阿基米德切点过点

四川成都七中(610041) 康盛

2019年高考课标全国Ⅲ卷理科以阿基米德三角形(圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形,如图1)为背景,考察了定值定点问题.在笔者对此题进行变式研究的过程中,偶得一些性质,与同行交流.

一、问题提出

我们先来看这道高考题:

题目(2019年高考全国Ⅲ卷)已知抛物线C:x2=2y,D为直线y=上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点;(2)略.

在第(1)问中,出题者利用“若阿基米德三角形中的切点弦AB恒过焦点,则动点D的轨迹为抛物线的准线”这一结论.这促使我思考这样一个问题:若阿基米德三角形ABD的面积为定值,则动点D的轨迹是什么呢?

二、问题探索

见图1,在几何画板中,我利用文[1]中所介绍的方法,作出抛物线C:x2= 2y的阿基米德三角形ABD,设三角形ABD的面积为40cm2,在几个不同的位置得到了点D的坐标,如下表:

面积(cm2)40.07 40.01 39.9 39.96 39.8 39.96 39.88 40.24点D 横坐标−1.2−0.99−0.53−0.26−0.01 0.21 0.54 0.75点D 纵坐标0.0 0.65 1.16 1.37 1.54 1.68 1.84 1.98

图1

根据表中数据,借助Excel 画出图形(图2).因抛物线具有对称性,故猜想它也应该是一条抛物线.

图2

下面,通过对一般情况的研究,得到两个结论,并予以证明.

三、问题解决

性质1过抛物线C外一动点作抛物线的切线,若两切点与这点构成的三角形(阿基米德三角形)面积是定值,则这点的轨迹为一抛物线,且与C有相同的对称轴和焦准距(焦点到准线的距离).

证明如图3,设抛物线C:y2= 2px,抛物线外一点D(x0,y0),两切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)三角形ABD的面积为S.

图3

1.求切点弦AB的方程.显然由导数的几何意义得,过点A的切线的斜率k=所以过点A的切线方程为:y−y1=整理得yy1−y12=px −px1,即为:yy1=p(x+x1).同理过点B的切线方程为:yy2=p(x+x2).因点D在DA上,故有y0y1=p(x0+x1),同理,点D在DB上,故有y0y2=p(x0+x2),所以切点弦AB的方程为:yy0=p(x+x0).

2.求三角形ABD的面积.点D到AB上的距离联立切点弦AB与抛物线y2= 2px,得:y2−2y0y+2px0=0,所以:|y1−y2|=故|AB|=所以