一“线”生“机”

文 许 颐

不少同学在解有关“圆”的综合题时往往思路不清，不是找不到方法，就是方法烦琐。而解决的关键还是在于对基本性质、基本定理、基本图形的熟练掌握，一些难度较大的问题，往往还需要构造辅助线来牵线搭桥。下面我们就以2020年浙江省杭州市的中考题为例，分析一下如何抓住基本图形找到解题的突破口。

例如图1，已知AC、BD为⊙O的两条直径，连接AB、BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF。

图1

（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC=30°，求线段EF的长。

（2）连接BF、DF，设OB与EF交于点P，

①求证：PE=PF。

②若DF=EF，求∠BAC的度数。

【分析】（1）根据条件可知△OBC为等边三角形，且F为OC中点，那么根据等腰三角形三线合一的性质可得BF⊥AC，再根据直角三角形斜边中线定理可求出EF。

【分析】（2）①本题要证明PF=PE，可以考虑证明△OEF是等腰三角形，利用三线合一证得结论，但此方法没有了（1）中的条件，无法证得，故考虑其他方法。如果我们抓住F为OC中点、OE∥BC这两个结论，那么可以过点F作FG⊥AB于点G，交OB于点H，连接EH，利用相似形得出一组对边相等，再结合这组对边平行，从而证明四边形OEHF是平行四边形，便可得出结论。

图2

（2）①证明：过点F作FG⊥AB于点G，交OB于点H，连接EH。

∵∠FGA=∠ABC=90°，

【思考】（1）中求EF的长也可以用（2）中的辅助线，构造直角三角形求线段长是常用思路之一，且为解决问题（2）提供了辅助线的作法。以下是问题（1）的另一种解法。

【分析】（2）②证明PE=PF后，易发现FE=FB这一结论，结合FD=FE，证得FD=FB，根据等腰三角形三线合一性质推出FO⊥BD，最后得出△AOB是等腰直角三角形即可解决问题。

【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等多个知识点，体现了综合题的特点。其难点是添加合适的辅助线，突破口在于对相似基本形的熟练掌握。

【方法总结】辅助线的作用是将分散的条件加以集中，构造出“基本形”，简单来说就是“补形”。“形”指基本性质和定理中的基本图形。本题中就出现多个“基本形”（如下图）。等腰三角形中作高，遇到直角三角形斜边中点连中线，三角形中已知n分点作平行线构造相似基本形，这些常用辅助线都需要我们熟练掌握。

图3

图4

图5