关注易错知识 突破难点问题

文 董荣燕

在四边形的学习中，关注图形的性质与判定是重点；灵活运用相关定理，借助基本图形的重组与分解，解决类似翻折等问题是难点。下面结合例题做简要剖析。

一、基于条件开放探特殊

例1如图1，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H。

（1）求证：四边形EHFG是平行四边形。

（2）▱ABCD满足什么条件时，四边形EHFG是矩形？（说明理由。）

（3）▱ABCD满足什么条件时，四边形EHFG是正方形？（不用说明理由。）

【解析】（1）由题意易得AE∥＝CF，BE∥＝DF，所以四边形AECF、四边形BEDF是平行四边形，所以AF∥CE，DE∥BF，即四边形EHFG是平行四边形。

（2）满足条件AB=2AD。理由：连接EF，由条件知四边形AEFD是平行四边形，▱EHFG边EG、FG在▱AEFD对角线AF、ED上。若四边形EHFG是矩形，则∠EGF=90°，即▱AEFD是菱形，所以AE=AD，即AB=2AD。

（3）满足条件AB=2AD且∠BAD=90°。

【点评】本题的易错点在于混淆了特殊四边形的判定条件。因此，我们可以利用类比思想理解记忆易混的证明方式。

二、基于翻折变化用定理

例2将平行四边形纸片ABCD按图2的方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF。（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形，并证明你的结论。

图2

【解析】（1）由题意易得AB=CD=AD′，∠B=∠D=∠D′，∠BAD=∠BCD=∠EAD′，即∠BAE=∠D′AF，由ASA证得△ABE≌△AD′F。

（2）因为△ABE≌△AD′F，所以AF=AE=CE。因为AF∥CE，所以四边形AECF是平行四边形。再由AE=CE，得四边形AECF是菱形。

【点评】本题的易错点在第（2）问。有的同学会这么做：因为AF∥CE，AE∥D′C，所以四边形AECF是平行四边形；又因为AE=CE，所以四边形AECF是菱形。由于未证明点D′、F、C共线，故错误。