厘清线角关系 巧破易错痛点

文 徐菊萍

圆是涵盖知识点较多的图形，可以从线段、角、多边形等直线图形扩充到弧、扇形等曲线图形。如果将圆与各类直线图形结合，我们能构造出更复杂的图形。如何有效解决圆中的易错问题，避免失误呢？我们可以从以下几个方面来辨析错误，精准解题。

一、善用圆中弧、角、弦对应关系解决圆中线角关系

例1如图1，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD=40°，则∠ABD的大小为（ ）。

A.60° B.50° C.40° D.20°

【解析】很多同学可能因为找不到∠BCD与∠ABD的关系而不能求解。因为图中有“圆周角”，关于圆周角有两个基本图形，因此可以从以下两个方向思考。

解法一（利用同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）：连接OD，如图2。∵∠DOB和∠BCD分别是弧BD所对的圆心角和圆周角，∴∠DOB=2∠BCD=80°，再由半径相等，所以在等腰△DOB中，∠ABD=50°。故选B。

图2

解法二（利用直径所对的圆周角是直角，同弧所对圆周角相等）：连接AD，如图3。∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°。∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°-40°=50°。故选B。

图3

二、善用多边形边角关系解决圆中线角问题

例2若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为________。

【解析】本题需理解两个圆与正多边形的关系，如果能将内切圆半径与外接圆半径转化为三角形的线段关系，就能轻松破解。如图4，连接OE，作OM⊥EF于点M，则OE=EF，EM=FM，由正六边形的知识可知，内切圆半径OM=2，∠EOM=30°。在Rt△OEM中，，解得，即外接圆半径为。

图4

三、善用切线与过切点的半径垂直解决圆中位置关系

例3如图5，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为（ ）。

图5

A.20° B.25° C.40° D.50°

【解析】本题只有利用切线的性质，正确添加辅助线才能解决。如图6，连接OA，可得直角△AOP和等腰△OAB，得∠B=25°。故选B。

图6

四、善用空间想象力解决圆锥问题

例4如图7，圆锥的底面半径r=6，高h=8，则圆锥的侧面积是（ ）。

图7

A.15π B.30π C.45π D.60π

【解析】本题易用错圆锥侧面积的公式。因为圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形，故先由r=6，h=8，得母线为10，再得圆锥的侧面积=6×10π=60π。故选D。

例5如图8，矩形纸片ABCD中，AD=6cm。把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则AB的长为（ ）。

图8

A.3.5cm B.4cm C.4.5cm D.5cm

【解析】本题需理解圆锥侧面与底面的关系，即侧面展开图的弧长=底面圆的周长。

从上述例题可见，要想解决圆中的线、角问题，还要善于添加合适的辅助线。常见的辅助线有：连半径、作弦心距、构造直径所对的圆周角、连过切点的半径等。因此，我们如果能熟悉圆中的基本图形，做到心中有图，再结合常见的数学思想方法，那么一定能轻松破解圆中的易错问题。