2021年高考数学模拟试题

许少华

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若集合A={x│x2-6x+8<0}，集合B={x∈N│y= }，则A∩B=（   ）

A. {3}B. {1， 3}C. {1， 2}D. {1， 2， 3}

2. 若z=1- i，则复数 -z-1在复平面上对应的点在（   ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 对于实数a， b，a>b是a3>b2b的（   ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要條件D. 既不充分也不必要条件

4. 如图1，是函数f（x）=Asin（？棕x+？准）（A>0，？棕>0，0<？准<？仔）的一个周期的图像则f（x）的解析式为（   ）

A. 2sin（ + ）

B. 2sin（ + ）

C. 2sin（ - ）

D. 2sin（ - ）

5. 如图2，E， F在边长分别为2和1的矩形边DC与BC，若 · =6，则 · =（   ）

A. 3 B. 2

C. 1 D.

6. 已知两条直线a，b与两个不同的平面α、β，b⊥α下列命题：

①若a∥α，则a⊥b. ②若a⊥b，则a∥α. ③若b⊥β，则α∥β. ④若α⊥β，则b∥β.

其中正确的是（   ）

A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③

7. 设随机变量X的分布列如下表：

若EX=0.75，则b-a的值为（   ）

A.  B.  C.  D.

8. 一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3=8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（   ）

A. 13， 12B. 13， 13C. 12， 13D. 13， 14

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9. 设函数f（x）=ax2+bx+c（a>b>c）的图像经过点A（m1， f（m1））和点B（m2， f（m2）），f（1）=0. 若a2+[f（m1）+f（m2）]a+f（m1）·f（m2）=0，则（   ）

A. b≥0B. a>0

C. 3a+c>0 D. 3a-c>0

10. 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图3所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，则（   ）

A. a-c=m+R B. a+c=n+R

C. 2a=m+n   D. b=

11. P为正方体ABCD-A1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BP= BD1（ ∈（0，1））. 下面结论正确的是（   ）

A. A1D⊥C1P.B. 若BD1⊥平面PAC，则 = .

C. 若△PAC为钝角三角形，则 ∈（0， ）.

D. 若 ∈（ ，1），则△PAC为锐角三角形.

12. 已知函数f（x）=x2-2xcosx，则下列关于f（x）的表述错误的是（   ）

A. f（x）的图像关于y轴对称      B. f（x）的最小值为-1

C. f（x）有4个零点                  D. f（x）有无数个极值点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 函数f（x）=2021asinx+2022bx3+1，记f ′（x）为f（x）的导数，则f（2021）+f ′（2021）+f（-2022）+f ′（-2022）的值为________.

14. 已知点P（x， y）在不等式组x-2≤0，y-1≤0，x+2y-2≥0表示的平面区域上运动，则z=x2+y2 的取值范围是________.

15. 设△ABC的内角A， B， C所对的边长分别为a， b， c，且a tan B= ，b sin A=4. 若△ABC的面积S=10，则cos4C的值为___________.

16. 已知点A是抛物线y2=2px上一点，F为其焦点，若以F为圆心，以FA为半径的圆交准线于B，C且△FBC为正三角形，当△ABC的面积为 时，抛物线的方程为________.

四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）已知向量m=（sinx， - ），n=（1， cosx），且函数f（x）=mn.

（1）若x∈（0，  ），且f（x）= ，求sinx的值.

（2）在锐角△ABC中，角A， B， C的对边分别为a， b， c，若a=4，△ABC的面积为4 ，且f（A+ ）= csinB，求△ABC的周长.

18.（本小题满分12分）设公差不为零的等差数列{an}的前5项的和为55，且a2， ，a4-9成等比数列.

（1）求数列{an}的通项公式;

（2）设数列bn= ，且数列{bn}的前n和为Sn，证明：Sn> .

19.（本小题满分12分）如图4在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D、E分别为线段AB、AC的中点，AB=4，BC=2 . 以DE为折痕，将Rt△ADE折起到图5的位置，使平面A′DE⊥平面DBCE，连接A′C，A′B，设F是线段A′C上的动点，满足 =  ，

（Ⅰ）证明：平面FBE⊥A′DC;

（Ⅱ）若二面角F-BE-C的大小为45°，求 的值.

20.（本小题满分12分）某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有1， 2， 3三个问题，每位参赛者按问题1， 2， 3的顺序做答，竞赛规则如下：

①每位参赛者计分器的初始分均为10分，答对问题1， 2， 3分别加1分，2分，3分，答错任一题减2分.

②每回答一題，积分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局. 当累计分数大于或等于12分时，答题结束，进入下一轮.当答完三题，累计分数仍不足12分时，答题结束，淘汰出局.

已知甲同学回答1， 2， 3三个问题正确的概率依次为 ， ， ，且各题回答正确与否相互之间没有影响.

（1）求甲同学能进入下一轮的概率.

（2）用X表示甲同学本轮答题结束时的累计分数，求X的分布列和数学期望.

21.（本小题满分12分）已知椭圆C∶  + =1（a>b>c）的左、右焦点分别为F1， F2，P为椭圆上任意一点，△PF1F2面积的最大值为3 ，且|PF1|·|PF2|的最大值为12.

（1）椭圆C的左顶点为A1，过椭圆右焦作直线交椭圆于A， B，试求三角形A1 AB面积的最大值，并求面积最大时直线AB的方程.

（2）椭圆C 的左、右焦点分别为F1， F2，在椭圆C上是否存在点H，使 ， ， 成等差数列？若存在，求出HF1与HF2值. 若不存在，说明理由.

22.（本小题满分12分）已知函数 f（x）= （a≠0），g（x）= +2ln（x+2），

（1）若 f（x）在区间（-2，+∞）上的最大值为e，求a的值.

（2）若a>1，是否存在x1，x2∈[- ，-a]，使 f（x1）>g（x2）.

（3）若P是曲线g（x）上任意一点，求P到直线8x+y+15=0的最小距离，并求此时的点的坐标.

参考答案

一、选择题

1. D. 由x2-6x+8<0，得2

又B={x∈N│y= }={x∈N│x≤3}={0，1，2，3}.

那么A∩B={3}.

2. D. 由z=1- i，得 -z-1= - = - = - .

3. C. 若b>0，则a>b？圳a3>b2b. 若b=0，则a>b？圳a3>b2b.

若b<0，则a>b？圳a3>b2b. 故a>b是a3>b2b的充要条件.

4. A. 由图像可知A=2，T=7-（-1）=8，

又由 =8，得？棕= ，得f（x）=2 sin（ +？准）

结合f（-1）=0，即2 sin（- +？准）=0，得？准=

那么f（x）=2 sin（ + ）.

5. C. 以A为原点，AB为x轴，AD为y建立直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，1），设E（x，1），F（2，y），则 =（x，1）， =（2，y），由 · =6得2x+y=6， =（x-2，1）， =（2，y-1），则  · =2（x-2）+y-1=2x+y-5=1.

6. A. 根据线面垂直的性质可知①正确. ②中，当a⊥b时，也有可能为a？奂α，所以②错误. ③垂直于同一直线的两个平面平行，所以正确. ④中的结论也有可能为b？奂β，所以错误，所以命题正确的有①③，选A.

7. B. 由 +a+ =1，a+5× = ？圯a= ，b= ？圯b-a= .

8. B. 设等差数列{an}的公差为d（d≠0），a3=8，a1a7=a23=64，即（8-2d）（8+4d）=64也就是（4-d）（2+d）=8？圯2d-d2=0又d≠0故d=2.

故样本数据为：4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，平均数为 = =13，中位数为 =13，故选B.

二、多选题

9. ABCD. 由f（1）=0可得a+b+c=0，若a≤0，由a>b>c，得a+b+c<0，这与a+b+c=0矛盾，故a>0.

又3a+c>2a+b+c=a>0.

若c≥0，由a>b>c，得a+b+c>0，这与a+b+c=0矛盾，所以c<0成立.

因为a2+[f（m1）+f（m1）]a+f（m1）·f（m1）=0，所以（a+f（m1））（a+f（m2））=0，所以m1，m2是方程f（x）+a=0的两个根，所以△=b2-4a（a+c）=b（3a-c）≥0，而a>0，c<0，所以3a-c>0，所以b≥0.

10. ABD. 因为地球的中心是椭圆的一个焦点，

并且根据图像可得m=a-c-R，n=a+c-R（*）∴a-c=m+R，故A正确. a+c=n+R，故B正确.

（*）两式相加m+n=2a-2R，可得2a=m+n+2R，故C不正确.

由（*）可得m+R=a-cn+R=a+c，两式相乘可得（m+R）（n+R）=a2-c2，

a2-c2=b2，∴b2=（m+R）（n+R）？圯b= ，故D正确.

11. ABD. 可推得A1D⊥平面ABC1D1，所以A1D⊥C1P，所以A正确.

因为过A的平面AB1C与BD1垂直，平面AB1C与BD1的交点P恰好三等分BD1，所以B正确.

当 = 时，P为球心，设球半径为a，则AP=PC= a，AC= a.

由cos∠APC= =- <0，∴∠APC是钝角，所以C错误.

要使△PAC为锐角三角形，只需判断∠APC是锐角. 考虑∠APC是直角的情形：当∠APC是直角时，求得AP=a，∵ cos∠ADP= ，在⊿ADP中，用余弦定理求得D1P= a或 .

所以BP> 时，△PAC为锐角三角形，所以 ∈（ ，1），D正确.

12. ABC. 对于A，因f（-？仔）≠f（？仔），故A错误;对于B，假设存在x0∈R，使得f（x）的最小值为-1，则方程x2+1=2x cos x有解，即x+ =2 cos x有解，当x>0时，x+ ≥2，当且仅当x=1时取“=”，当x=1时，2cos 2<2，故方程无解，故B错误;对于C，问题等价于方程x=2 cos x有3个解，作出函数y=x，y=2 cos x的图像，可知方程只有1个解，故C错误;对于D，f ′（x）=2x-2（cos x-x sin x）=2x（1+sin x）-2 cos x，由f ′（x）=0，得x= = = = ，由函数y= -1与y=tan 的图像有无数交点，知f（x）有无数个极值点.

三、填空題

13. 2. 由f（x）=2021asinx+2022bx3+x？圯f ′（x）=2021acosx+3×2022bx2可以看出f ′（x）为偶函数，于是f（-2022）+f ′（-2022）=0.

而f（x）-1=2021asinx+2022bx3为奇函数，

于是f（2021）-1+f ′（-2021）-1=0？圯f（2021）+f ′（2021）=2.

故f（2021）+f ′（2021）+f（-2022）+f ′（-2022）=2.

14. [ ， 5]. 如图6，阴影部分为可行域，由于z=x2+y2表示区域内的点到原点距离的平方

于是可以看出其最大值由A点原点的距离产生，最小值由原点到直线x+2y-2=0的距离产生，因为A的坐标为（1， 2）

故（ ）2≤x2+y2≤12+22？圯 ≤x2+y2≤5.

15. - . 由bsinA=4得asinB=4，由atanB= 与asinB=4两式相除，有cosB= >0.

又通过atanB= 知：tanB>0，则cosB= ，sinB= ，tanB= .

则a=5. 由S= acsinB，得到c=5. ∴A=C.

由cos4C=2cos22C-1=2cos2（A+C）-1=2cos2B-1=2×（ ）2-1= - .

16. y2=8x. 由题意，如图7可得 =cos30°及DF=2p？圯BF= ，从而AF= ，由抛物线的定义知点A到准线的距离也为 ，因为？驻ABC的面积为 ，即

× × = ？圯p=4，故抛物线的方程为y2=8x.

四、解答题

17.（1）f（x）=mn=（sinx，- ）·（1，cosx）=sinx- cosx=2sin（x- ）

∵ f（x）= ，∴sin（x- ）= .

又x∈（0， ），∴x- ∈（- ， ），cos（x- ）= .

所以sinx=sin[（x- ）+ ]= · + · = .

（2）因为f（A+ ）= csinB，所以2sinA= csinB，即4sinA=csinB.

由正弦定理可知4a=bc，又a=4所以bc=16.

由已知？驻ABC的面积 bcsinA=4 ，可得sinA= ，又A∈（0， ）.

∴ A= .

由余弦定理得b2+c2-2bccosA=1，故b2+c2=32，从而（b+c）2=64.

所以？驻ABC的周长为12.

18.（1）设等差数列的的首项为a1，公差为d，

则5a1+ d=55，（ ）2=（a1+d）（a1+3d-9）？圯a1=7，d=2或a1=11，d=0.（舍去）

故数列 {an} 的通项公式为an=7+2（n-1）即an=2n+5.

（2）由（1） an=2n+5，得bn= = = （ - ），

那么Sn=b1+b2+…+bn= [（1- ）+（ - ）+（ - ）+…+（ - ）]= （1+ - - ）= - （ + ）> .

19.（Ⅰ）∵平面A′DE⊥平面DBCE，A′D⊥DE，

∴  A′D⊥平面DBCE，∴  A′D⊥BE.

∵ D，E分别为中点，

∴ DE= BC= ，BD= AB=2.

在直角三角形DEB中，∵ tan∠BED= = ，tan∠CDE = = ，

1-tan∠BED·tan∠CDE=0，

∴∠BED+∠CDE=90°得BE⊥DC.

∴ BE⊥平面A′DC，又BE？奐平面FEB，

∴平面FEB⊥平面A′DC.

（Ⅱ）作FG⊥DC，垂足为G，则FG⊥平面DBCF，

设BE交DC于O点，连OF，

由（Ⅰ）知，∠FOG为二面角F-BE-C的平面角

由FG∥A′D， = = ，∴ FG= A′D=2 .

同理，得CG= CD，DG=（1- ）CD=2 （1- ）.

∵DO= = ，∴OG=DG-DO=2 （1- ）- .

在Rt？驻OGF中，由tan∠FOG= = =1，

得， =1- .

方法2：以D为坐标原点DB，DE，DA′分别为OX，OY，OZ轴建立空间直角坐标系，各点坐标分别为D（0， 0， 0）， A′（0， 0， 2）， B（2， 0， 0）， C（2， 2 ， 0），E（0， ， 0）.

（Ⅰ） =（-2， ，0）， =（2，2 ，0）， =（0， 0， 2）

∵ · =-4+4=0，∴BE⊥DC，∵ · =0，∴BE⊥DA′.

又DC∩DA′=D，∴BE⊥平面A′DC，又BE？奂平面FBE，

所以平面FBE⊥平面A′DC.

（Ⅱ）设 =   ∴ = （-2，2 ，2） ∴F（2-2 ，2 -2  ， 2 ）.

設平面BEF的法向量为 =（x， y， z），

∵  =（-2， ， 0）， =（-2 ， 2 -2  ， 2 ），

-2x+ y=0，-2 ·x+（2 -2  ）·y+2 ·z=0，取 =（ ，  ，3 -2）.

又∵平面BEC的法向量为 =（0，0，1），

∴ cos45°= = 得3 2-6 +2=0.

解得 =1± ，又∵ 0< <1，∴  =1- .

20.（1）设事件A表示“甲同学问题1回答正确”，事件B表示“甲同学问题2回答正确”，事件C表示“甲同学问题3回答正确”，则P（A）= ，P（B）= ，P（C）= ，

记“甲同学能进入下一轮”为事件D，则D，

P（D）=P（A C+AB+ BC）=P（A C）+P（AB）+P（ BC），

P（A）P（ ）P（C）+P（A）P（B）+P（ ）P（B）P（C）= × × + × + × × = .

（2）X可能的取值是6， 7， 8， 12， 13.

P（X=6）=P（  ）= × = ，P（X=7）=P（A  ）= × × = ;

P（X=8）=P（ B ）= × × = ，P（X=12）=P（A C）= × × = ;

P（X=13）=P（AB+ BC）= × + × × = .

∴ X的分布列为：

X的数学期望EX=6× +7× +8× +12× +13× = .

E（X）=6× +7× +8× +12× +13× = .

21. 由|PF1|·|PF2|≤（ ）2=a2，由题意得a2=12.

又 ·2c·b=3 ？圯b2（a2-b2）=27？圯b2（12-b2）=27？圯b2=3，

故椭圆C的方程为 + =1.

（1）设椭圆左、右焦点分别为F1，F2由（1）知椭圆的右焦点坐标为F2（3，0）

①若直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为x=3，由x=3， + =1？圯x=3，y=± .

此时，三角形A1AB面积为：

S = ·A1F2· = ×（2 +3）× = .

②若直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，A（x1， y1）， B（x2， y2）， 直线AB的方程为y=k（x-3）.

由y=k（x-3）， + =1？圯（1+4k2）y2+6ky-3k2=0.

则|y1-y2|= =

= ，当 = - ？圯k=± 时 |y1-y2| 最大，其值为2.

由于S = ·A1F2·|y1-y2|≤ ×（2 +3）×2=2 +3> .

故三角形A1AB面积的最大值为2 +3，

此时，直线AB的方程为y=± （x-3）.

（2）假设存在点T满足题设，由 + =1可知，|HF1|+ |HF2|=4 ，|F1F2|=6结合 = + ，得|HF1|·|HF2| =12.

由|HF1|+|HF2|=4 ，|HF1|·|HF2|=12？圯|HF1|2-4 |HF1|+12=0？圯|HF1|= 2 ，此时点H为椭圆的上（或下）顶点.

故点H存在，且|HF1|=|HF2|=2 .

22.（1）由f（x）= ？圯f ′（x）=

若a<0，则当x∈（-2，-1）时，f ′（x）>0此时函数递增. 当（-1，+∞）时，f ′（x）<0此时函数递减. 于是，当x=-1时，函数有最大值f（-1），由题意得f（-1）=-e，即ae=-e，从而得a=-1.

若a>0，则当x∈（-2，-1）时，f ′（x）<0此时函数递减. 当（-1， +∞）时，f ′（x）>0此时函数递增. 于是，函数f（x）在区间（-2， +∞）上有最小值无最大值，与题意不符.

故f（x）在区间（-2， +∞）上的最大值为-e，则a的值为-1

（2）当a>1时，由（1）可知，当x∈（-2，-1）时，f（x）递减. 因此，x∈[- ，-a]时，f（x）递减，由此可得x∈[- ， -a]时，f（x）的值域为x∈[ ，  ].

由g（x）= +2ln（x+2）？圯g′（x）=- + = .

显然，当x∈（-2，- ）时，g′（x）<0，函数g（x）递减. 当x∈（- ，2）时，g′（x）>0，函数g（x）递增. 因此，x∈[- ，-a]时，g（x）遞增，由此可得x∈[- ， -a]时，g（x）的值域为x∈[2-2ln2，  +2ln（2-a）].

若存在x1，x2∈[- ， -a]，使f（x1）>g（x2），

则只需  >2-2ln2即a> .

由于a>1，故必存在x1， x2∈[- ， -a]，使f（x1）>g（x2）.

（3）设与直线8x+y+20=0平行且与g（x）相切的切点坐标为（x0，y0）.

由于g′（x）=- + ，则k=- + =-8？圯x0=- 或x0=- （舍去）得切点坐标为（- ，4（1-ln2））.

此时，切线方程为y-4（1-ln2）=-8（x+ ）即y=-8x+4（1-ln2）-14.

令r（x）=g（x）-y= +2ln（x+2）-[-8x+4（1-ln2）-14]，

则r′（x）=- + +8= = ，由于函数r（x）的定义域为（-2，+∞），于是当x∈（-2， - ）时，r′（x）<0，函数r（x）递减. 当x∈（- ， +∞）时，r′（x）>0，函数r（x）递增. 那么，当x=- ，r（x）有极小值，其实也是最小值，其值为r（- ）=0，故g（x）的图像恒在直线y=-8x+4（1-ln2）-14的上方.

那么点（- ， 4（1-ln2））到直线8x+y+15=0的距离即为P到直线8x+y+15=0的最小距离，于是得 = .

责任编辑 徐国坚