“初等数论”课程教学对师范生数学能力培养的研究

刘 双,唐海军,蒲双艳

(1.四川文理学院 数学学院; 2.四川 达州中学, 四川 达州 635000)

0 引 言

随着《高中数学课程标准(2017版)》的实施,新一轮义务教育课程改革也在如火如荼的进行中.严士健教授曾指出“教改的关键是教师问题”,而教育部2011年颁发的《教师教育课程标准(试行)》中也明确提出:教师教育课程应引导未来教师树立正确的专业理想,掌握必备的知识与技能.[1]对于大学数学专业师范生(以下简称数学师范生)掌握基本的知识固然重要,但数学能力的培养也不容小觑.作为未来中小学数学教育的中坚力量,数学师范生数学能力的培养一方面是为了满足自身专业发展,为将来的教育教学工作打下坚实基础.另一方面有利于提升就业核心竞争力,更好的服务于社会.目前,普遍认为“能力是指人们顺利完成某种活动的一种必需的个性心理特征”,但国内外学者对数学能力的概念和组成成分的探讨异常激烈,提出的数学能力已达数百种,其中包含逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力、创新能力以及发现问题等.[2]不同群体所从事的工作性质和内容的不同决定了他们应该具有的数学能力的差异性,因此刘喆等人对于数学师范生这一特定对象的数学能力进行了深入研究,提出了数学师范生的数学能力构成要素.[3]

好的数学教育是在促进人的发展的同时服务于社会的,想要培养出适应社会发展的数学人才,这需要在高校的数学课程中去实现.而初等数论(Elementary Number Theory)又称为整数论,是数学师范专业的一门基础性课程,主要开设在大三或大四阶段.其在计算科学、组合数学、密码学、代数编码和计算方法等领域内有着广泛的应用,又与中小学数学教学有较强的联系.目前,从数学师范生专业教学的视角,立足于初等数论课程,探究师范生数学能力培养的研究还较为缺乏.因此以“初等数论”课程教学为例,对数学师范生数学能力培养的内容和策略展开探究具有重要的意义.通过查阅大量文献,结合笔者多年的初等数论教学实践,构建了初等数论课程教学对数学师范生能力培养的结构图(如图1所示).

图1 初等数论教学对数学师范生的能力培养结构图

1 数学能力培养的内容

1.1 运算求解能力的培养

数学师范生运算求解能力的培养贯穿其整个学习生涯,而通过初等数论的学习,此能力可在中学的基础上得以进一步升华.比如:

求解：如果今天是星期一,问从今天起再过101010天是星期几？[4]

这类问题贴近生活且充满趣味,不难想到运用除法求解.但数字“101010”的出现,让中小学方法在求解中出现一定困难.事实上,这个问题可以理解为“若101010+1被7除的非负最小剩余为r,则这一天就是星期r(当r=0时是星期日)”.由欧拉定理得106≡1(mod7),又：

1010≡(-2)10≡1024≡4(mod6),

所以：

1010=6k+4(k∈Z),101010+1≡106k+4+1≡104+1≡34+1≡5(mod7)从而：

利用同余理论运算求解得到这一天是星期五,其解题过程属于高等教育内容,但立足点却是初等数学内容,拓展了师范生运算求解能力.

1.2 演绎推理能力的培养

数学以严密的逻辑性著称,初等数论的学习对演绎推理有着较高的要求.比如:在不定方程教学内容的“勾股数”小节里,其主要目的是研究一种特殊形式的二次不定方程x2+y2=z2的一切解,教师在该节内容的教学中可以采用三步走的方式进行,着重培养师范生演绎推理的能力.

第一步融入数学文化,引出探索主题. 先以《周髀算经》记载的“勾广三,股修四,径隅五”(即勾三,股四,弦五的原始提法)列出等式“32+42=52”,进而联系中学的勾股定理三边关系式“x2+y2=z2”,给这样的方程下定义,并引发思考“x2+y2=z2还有其他解吗?如何求解?”.接下来以刘徽的《九章算术》里“短面曰勾,长面曰股,相与结角曰弦,勾短其股,股短其弦”引出几组解“5,12,13；8,15,17；7,24,25；20,21,29”,同时加入古希腊数学家毕达哥拉斯相关研究等国外数学文化素材,以体现数学文化的博大精深.从特殊到一般,从具体到抽象,步步深入教学主题.

第二步去粗取精,提炼问题本质. 该方程满足xyz=0的解很容易求得,将其称为显然解.满足xyz≠0的解称为非显然解.根据方程的对称性,只需求出一切正整数解就可以了.

因此假定:x>0，y>0，z>0.若:(x,y)=d>1,则d2|x2+y2,即：d2|z2,d|z.此时方程的两边可以约去d,因此可以再假定(x,y)=1,同时考虑到此时x和y中一定是一奇一偶,不妨假定2|x.从而得出想要求出不定方程x2+y2=z2的一切解,只需要求出满足上述三个假定的一切正整数解就可以了.这一过程是对问题本质的高度概括和抽象.

第三步严密论证,挖掘解法.可以先给出定理内容,然后引导师范生执果索因,经过严密的逻辑推理证得:

定理“不定方程x2+y2=z2的适合条件x>0,y>0,z>0,(x,y)=1,2|x的一切正整数解可以用下列公式表示出来x=2ab,y=a2-b2,z=a2+b2,a>b>0,(a,b)=1,a和b一奇一偶.”[4]

数论教学内容里有很多定理和性质需要去证明,这就体现出对演绎推理能力的较高要求.若能够加以有效引导,师范生的这一能力将在初等数论课程学习过程中得到较好的培养.教学中需要在注重引导学生掌握知识和技能的同时,领会其中蕴含的数学思想方法,并潜移默化的形成良好的数学能力.

1.3 抽象概括能力的培养

高度的抽象性是数学学科的三大特征之一,这一特征在“初等数论”这一小分支里得以充分体现.比如:整除、带余数除法、最大公因数、最小公倍数等概念及其性质,在初等数论里以概括程度较高的抽象方式呈现,而在中小学的相关教学内容则是取具体数字进行讲解和计算,其学习过程对数学师范生的抽象概括能力起作良好的培养作用.教学中可充分利用“具体-抽象-具体”的思维过程,帮助他们理解概念,养成站在高观点下看初等数学的思维习惯.

例如: 某数被7、11、13整除的特征是这个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差能被7、11、13整除.

这是一个具有高度抽象概括特征的结论,通常中学老师会要求学生记忆并直接运用于解题,而学生往往知其然而不知其所以然.在教学中,让同学们随意写出满足要求的数字,这似乎很容易做到,当询问这个结论为什么成立时,却又不知如何作答.可设具有这个特征的数：

a=an·10n+an-1·10n-1+…+a0，令M=a2·102+a1·10+a0，

N=an·10n-3+an-1·10n-4+…+a3，

因而：a=N×1000+M=N×1001+(M-N).

因为：1001=7×11×13,7|a,11|a,13|a,

所以：7|(M-N),11|(M-N),13|(M-N).

利用整除理论对中学结论加以证明和推导,这时师范生在初等数论的学习过程中解除了以往的疑惑,获得了学习的成就感,学习的动力自然也会增加不少,接下来他们就可以放心的将这个结论运用于今后的解题和中小学数学教学.整个内容的教学过程“举满足条件的例子-证明过程-结论的具体运用”和“具体-抽象-具体”的思维过程相对应,对数学师范生抽象概括能力的培养起作重要的作用.这样的内容在初等数论中并不少见,在教学中要善于挖掘这类素材,有针对性的对师范生的数学抽象概括能力进行培养,才能更好的实现数论知识和课堂教学的价值.

1.4 直观想象能力的培养

初等数论虽然是一门代数类课程,但数论知识在欧几里得的《几何原本》中却是以几何的形态呈现,其中第7、8、9卷这三卷内容讲解数论知识,涉及22个定义和102个命题.不妨将其适当融入教学中,用以提升师范生的直观想象能力.比如:

命题VII.1“设有不等两数,从大数中连续减去小数直到余数小于小数,再从小数中连续减去余数直到小于余数,这样一直下去,如果余数测不尽其前一个数,直到最后的余数为一个单位,那么该二数互质.”[5]

这一命题描述的其实就是辗转相除法,在西方常被称作欧几里得除法,也是我国古代数学著作《九章算术》中提出的“更相减损术”.其在《几何原本》中的证明过程主要是结合线段直观的进行逻辑推理证明,在教学过程中,可与其代数证明方法结合讲解,建立代数与几何的联系,促进师范生对其的理解和掌握,培养师范生的直观想象能力.

1.5 数学建模能力的培养

初等数论知识在组合数学、密码学和代数编码等领域的广泛应用性是有目共睹的.但在实际教学中往往采用的是重理论而轻实践的教学模式,导致学生对初等数论的认识大多局限于理论,很少真正体会学习这门课程的实用性.

例如: 教师在对同余理论内容进行章末小节的时候,可以参考潘承洞等人主编的《初等数论(第三版)》中“制作循环比赛的程序表”这一实践课题:

设有N个篮球队进行循环比赛,每个队都要和其他的队伍进行N-1场比赛.这样至少要进行N-1轮比赛才能使各个球队之间都进行了比赛.

这个课题里有两个值得思考的问题,一是为了实现循环赛,举行N-1轮比赛是否足够?最少要举行多少轮比赛?二是如何安排每一轮各队之间的比赛?[6]在对课题内容进行简要分析以后,引导学生利用同余理论建立数学模型,经过逻辑推理证明模型的可靠性以后,再考虑利用MATLAB软件编程运行出N取不同数值时的比赛程序表.经历提出问题、分析问题、建立模型和得出结论这一系列问题解决的过程,数学师范生的同余理论知识得以巩固,理论联系实践的能力得以加强,数学建模能力得到培养.

2 数学能力培养的策略

2.1 加强代数类课程内容的融合,完善师范生的数学知识系统

高等教育各代数课程并不是孤立存在的,只要善于挖掘和深究,找到他们的契合点,将有利于帮助师范生完善数学知识系统,提升他们的数学能力.比如:高等代数作为初等数论的先修课程,其中整除、带余数除法、辗转相除法和多项式的标准分解式等内容可以在初等数论教学时适当融入.还可以利用近世代数中环的相关知识给出模n的剩余类环的一些性质,并利用这些性质证明初等数论课程中的孙子定理和Euler定理.[7]

2.2 数论教学立足于师范生未来发展,建立与中小学数学教学的联系

大部分数学师范生将来会从事中小学数学教育教学工作,而很多初等数论知识是对中小学相关内容的高度抽象概括.其证明和推导过程为师范生理解中小学教材中那些“直接给定的结论”提供了依据,为他们数学能力的储备提供了良好的平台,为将来更好的开展教学奠定了一定的基础.因此,数论教学中需要引导师范生研读与中小学数学课程标准、竞赛和教材相关的资料,适当的将课程教学目光投向他们今后从事的中小学数学教育工作,带着教书育人的心态学习这门课程.同时近年来公务员和部分事业单位招考题目中包含了不少初等数论知识的内容,若在教学中融入这部分信息,可以在一定程度上促进学生未来职业发展的多样化.

密切关注中小学数学竞赛,可以将部分竞赛题纳入数论教学.例如:在2013年中国国家队选拔考试题目中,有这样一道题:

值得注意的是该题采用数学归纳法证明了条件加强的命题,即先证明一般性结论,再取特殊值证出原命题的结论.从一般到特殊的思维过程对师范生数学演绎推理能力的发展有着良好的促进作用.

2.3 将教学方式灵活化,课程评价体系多元化

在2015年国务院办公厅颁发的《关于深化高等学校创新创业教育改革》的实施意见中,倡导各高校要积极实现教学和考核方式的改革.目前初等数论的教学方式大多采用传统的讲授式,学生的主体地位体现得较为薄弱,且教学内容枯燥难懂.在教学中可以广泛开展启发式、讨论式和参与式教学,适当融入数学文化,不仅有助于课堂教学有效性的提升,推进师范生对数论知识的理解和内化,还能让其师德在积极的数学文化氛围里得以养成.同时罗列出具有代表性的课题,以任务驱动的方式让学生分组完成.每组成员分工收集素材、制定问题解决方案、归纳总结和汇报课题等,在每个章节总结时开展,既有利于巩固新学知识,又能帮助学生构建良好的知识体系,为授课技能的培养奠定基础.对于课程评价不能局限于期末考试,可以让学生选择与初等数论相关的内容写小论文,结合小组课题任务的完成情况作综合性评价,旨在培养师范生的数学能力.

2.4 融入新的教学理念,增强数论知识的实用性

任何一门课程只有与时俱进才能体现出其最大的价值,所以将新的教育理念融入初等数论教学是很有必要的.比如:初等数论知识在密码学、最优设计和代数编码等领域的应用体现了多学科融合,与现今热点研究问题“STEAM教育理念”相符合,打破学科壁垒,让师范生的知识更系统化是将来教育教学的一个重要趋势.对于数学这一门高度抽象概括的学科,其中的理论知识在各领域的应用情况具有重要的现实意义.例如:在闵嗣鹤等人主编的《初等数论》中介绍的“公开密钥”内容属于密码学技术领域的问题,在潘承洞等人主编的《初等数论》中“电话电缆的铺设”内容属于通信工程问题,“循环比赛的程序表”内容属于体育艺术类问题等等.只有充分了解数论知识在各领域的实际应用,才能在教学过程中更好的培养师范生的创新精神和实践能力.而师范生学到的知识越丰富越系统,其数学能力才能得以更好的发展,在将来的中小学教育教学工作中才能更好的驾驭课堂,管理课堂.

结 语

在2018年8月教育部印发的《关于狠抓新时代全国高等学校本科教育工作会议精神落实的通知》中明确了新时代高校教学的主题:淘汰“水课”,打造“金课”.理想的数学课程设计应该是融知识、文化和实践于一体的,初等数论作为数学师范专业的一门基础性课程,其授课对象决定了数论教学需要聚焦在师范生数学能力方面的培养.想要提升数论教学的有效性,其教学理念、教学内容、教学方法和教学评价就必须紧跟时代的步伐,精心打磨才能成为一门促进学生发展,真正服务于社会的“金课”.