“点与圆、直线与圆的位置关系复习”教学设计

江苏省南京市第一中学马群分校 蔡 璐

一、内容解析

本节课是苏科版九年级上册第二章之后的一节专题复习课。点与圆、直线与圆的位置关系的相关知识是初中数学的重要组成部分，也是中考数学的热门考点之一，因此，需要一节专题复习课来有效地改进学生存在的问题。

二、目标解析

1.巩固和掌握点与圆、直线与圆的位置关系的判断方法及切线的判定和性质。

2.会用切线长定理进行计算和说明，理解三角形的内心。

3.通过具体问题构建此部分的知识结构，完善对点与圆、直线与圆的位置关系的整体认识。在探究的过程中，让学生感受数形结合、分类讨论等思想在数学问题中的作用，培养学生对数学知识的综合运用能力。

三、教学重点、难点

重点：切线的判定定理和性质定理。

难点：灵活运用点与圆、直线与圆的位置关系的相关定理进行计算和说理。

四、教学过程

1.问题探究

问题1：（播放幻灯片）过平面上一点可以画几条⊙O的切线？

追问1：这个点的位置可能在哪里？如何用数量关系刻画这种位置关系？

追问2：过平面上一点可以画一条直线，这条直线与⊙O可能有哪几种位置关系？如何用数量关系表示呢？

追问3：直线与圆的位置关系中，最特殊的一种就是相切，那么过圆上一点如何画出过该点的圆的切线呢？你的依据是什么？这个定理反过来又是什么？

追问4：看到图1你能联想到什么定理？

图1

启发学生用作图来回顾点与圆的三种位置关系和直线与圆的三种位置关系，并用数量关系去刻画这三种位置关系。通过画切线复习切线的判定和性质以及进一步地追问复习切线长定理，并由教师在黑板梳理知识结构。

设计意图：这里没有通过直接罗列知识点或具体的题目来梳理基本知识，而是通过一系列作图和由作图引发的思考来复习相关知识点，可以激发学生的学习热情和积极性，避免复习课的平淡乏味。从点与圆的位置关系到直线与圆的位置关系，并引出其中最特殊的一种“相切”关系，为后面的课堂围绕“切线”展开做准备。

2.典型例题

问题2：连接OP，若PO平分∠APB，且PA与⊙O相切，那么PB也与⊙O相切吗？如图2，PA是⊙O的切线，切点为A，∠APO=∠QPO。PQ与⊙O也相切吗？

追问1：通过这道题目，请你总结一下，证明直线与圆相切有哪些方法？应该如何选取适当的方法呢？

追问2：当题目中给出一条切线的条件时，我们可以联想到什么？

学生独立完成，教师有目的地进行巡批，巡视过程中寻找不同方法的、几何语言书写不规范的。如在作辅助线时，正确步骤应该是“连接OA，过O作OB⊥PQ，交PQ于点B”，学生易写成“连接OA，过O作OB⊥PQ”。学生完成后，用投影展示以上巡批中发现的问题，并与学生讨论交流。

设计意图：在问题1学生画出的图形的基础上，连接线段OP，使之成为问题2的图形。这样的安排不仅可以复习切线的判定和性质定理，又可以将知识连贯起来，让学生参与到题目自然生成的过程中，不断引发学生的思考和往下探究的兴趣。问题过后及时总结和归纳方法，也是复习课提升学生相关知识认知水平的重要途径。

问题3：通过刚才的证明我们已经知道，PQ也与⊙O相切。若把切点记为B，连接两个切点A、B，并延长PO与⊙O分别交于点C、点D，与AB交于点E，你能得到哪些结论呢？如图3，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B。射线PO交⊙O于点C、D，交AB于点E。根据题设条件，你能得到哪些结论？为什么？追问1：若∠APB=60°，你能推出哪些角的度数？追问2：若F为⊙O上的一个动点，那么∠F为多少度？

追问3：当题目中出现两条切线时，我们可以联想到什么？

追问4：问题2中已经画出了⊙O的两条切线，如果再画一条⊙O的切线，与PA、PB围成一个三角形，你有几种不同的画法？

学生举手积极发言，综合利用切线的性质与判定、切线长定理等所学知识得到不同层次的结论，教师适当地对学生的结论加以引导和归纳。

设计意图：本题是一个开放性的问题，综合考查了点与圆、直线与圆的位置关系的相关知识。学生的认知水平不同，得到的结论也深浅不一。这样设置可以避免复习课一刀切的弊端，尊重学生个体的差异性，为不同层次的学生提供不同的发展机会和可能，使不同的人在数学上得到不同的发展。在两条切线的基础上，继续追问第三条切线的画法，这样的直线有两类，一类切点在劣弧AB上，一类切点在优弧AB上，这里也渗透了分类的思想。

问题4：改变⊙O第三条切线的位置，使其与PB垂直，所围的三角形是一个直角三角形。如图4，⊙O为△PMN的内切圆，切点分别为A、B、C，且∠PMN=90°。

图2

图3

（1）若∠PNM=40°，则∠MON=_°。

（2）若PA=4，NA=6，则⊙O的半径为多少？

追问1：若PM=6，MN=8，则⊙O的半径是多少？

追问2：当题目中出现三条切线时，我们可以联想到什么？学生先积极思考独立完成，再通过小组汇报交流展示。

设计意图：在问题3包含⊙O的两条切线的图形基础上，添加第三条切线，引出三角形的内切圆的问题，延续了前面问题的探究思路，即从包含一条切线的图形到包含两条切线的图形，再到包含三条切线的图形，问题的设置也是由易到难、由简单到复杂，符合学生的认知规律。

3.课堂练习，及时反馈，检验学习成果

（1）已知半径为5的圆，其圆心到某直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为( )

A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定

（2）如图5，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C。若AB＝12，OA＝5，则BC的长为( )

A. 15 B. 6 C. 7 D. 8

（3）如图6，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠AOP＝50°，则∠PAB＝_____°，∠OPB＝______°。

（4）已知直角三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形的内切圆半径是________。

图6

图5

图7

（5）如图7，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB于点P，且PC＝BC。求证：BC是⊙O的切线。

4.归纳总结

教师：今天这节课我们复习了点与圆、直线与圆的位置关系的哪些知识？运用了哪些数学思想方法？能不能和大家交流一下你的收获？

学生积极发言，交流想法，分享复习成果，教师根据学生所述进行适当补充和概括，最后评价学生本节课的学习过程和结果。

设计意图：及时的总结可以巩固本节知识，并将知识在归纳和反思中升华，使学生内化于心，灵活运用于证明各种与点与圆、直线与圆的位置关系相关的题目。

五、教学设计说明

本节课从画图入手，让学生画出点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系，引出直线与圆相切的基本图形，课堂都是围绕切线开展，不断地在图上添加一些线，生成新的图形。从包含一条切线组成的图形引出切线的性质和判定定理，到包含两条切线组成的图形引出切线长定理，再到包含三条切线组成的图形引出三角形的内切圆，使得与切线相关的知识联系在一起，让学生的知识系统化，掌握得更加稳固。同时在问题的探究中，不断渗透数形结合、分类等重要的数学思想，在每个问题后也引导学生及时地归纳总结，培养学生利用相关知识解决综合问题的能力。