分母含有奇平方因子的二项式系数倒数级数连带3个整数乘积倒数平方和

及万会，张来萍

(1.宁夏民族职业技术学院,宁夏 吴忠 751100; 2.宁夏大学 新华学院,宁夏 银川 750021)

1 引言及引理

二项式系数级数变换问题在组合数学、解析数学等学科研究领域极为重要，引起了很多组合专家的注意[1-10].一些作者用各种数学工具得到一系列二项式系数级数重要结果.它们在文中给出一些分母含平方因子的数值级数

引理2[12]设p,q为正整数，1≤p

2 主要结果和证明

1)分母为奇平方因子的二项式系数倒数级数连带3个整数乘积倒数平方和

(1)

(2)

(3)

(4)

2)分母为奇平方因子与1个线性因子乘积的二项式系数倒数级数连带3个整数乘积倒数平方和

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

3)分母为奇平方因子与2个线性因子乘积的二项式系数倒数级数连带3个整数乘积倒数平方和

(11)

(12)

(13)

(14)

4)分母为奇平方因子与3个线性因子乘积的二项式系数倒数级数连带3个整数乘积倒数平方和

(15)

级数变量用k+1代替k给出

两端关于x微分，可得

(16)

1)将(16)式左端裂项

令k-1=m，则

并将所有分式化成部分分式得到

由于E1已知，计算得出下面等式，并令其为E3.

2)将(16)式左端裂项

令k-2=m，则

并将所有分式化成部分分式得到

由于E1，E3已知，整理得到E5式.

3)将(16)式左端裂项

令k-3=m，给出

将所有分式化成部分分式得到

由于E1，E3，E5已知，整理得到E7式.定理1证毕.

积分变量替换，令x=sint，dx=costdt积分变量x范围(0,1)，变量t范围(0,π/2)，正整数满足1≤p

根据引理2文献[12]，从而和式上标为[(7+1)/2]=4，[7/2]=3，n为奇数.

其中,ζ(s,l/q)为赫尔维茨zeta函数，ζ(n)为黎曼zeta函数.

为行文方便，令等式右端为D，给出

(17)

1)将(17)式左端裂项

令k-1=m，则

(18)

(1)将(18)式分解成部分分式，得到

由定理1的E1，E3已知.整理得到(2)式并令(2)式为D3.

(2)从(18)式直接得到(5)式.

用符号D3·1，D5·13表示.圆点前表示平方因子，圆点后表示奇因子.

2)将(17)式左端裂项

令k-2=m，则

(19)

(1)将(19)所有分式分解成部分分式，得到

定理1的E1，E3，E5已知.代入上式，得到(3)式，并令(3)式为D5.

(2)在(19)保留2个因子分式，然后对这些2个因子的分式，每次保留1个，其余化成部分分式，得到

由于定理1的E1，E3，E5和D5已知，计算上面2个等式得到(6)(7)式.

(3)在(19)保留3个因子分式，其他分式化成部分分式得到

由于定理1的E1，E3，E5和D5已知，计算上面等式得到(11)式.

以A5·13证明级数连带3个整数乘积倒数平方和上标增加1项或几项不改变其和式收敛性.

前和式为二项式系数倒数级数连3个整数乘积倒数平方和表达式，后式极限趋于0.

所以，级数连带3个整数乘积倒数平方和上标增加1项或几项不改变其和式收敛性.

3)将(17)式左端裂项

令k-3=m，则

(20)

(1)将(20)式所有分式化成部分分式，得出

由于E1，E3，E5，E7已知，计算得出(4)式，并令其为D7.

(2)在(20)式中保留2因子的分式,其他分式化成部分分式，然后对这些2个因子的分式，每次保留1个，其余化成部分分式得到

由于E1，E3，E5，E7，D7已知，计算得出(8)(9)(10)式.

(3)在(20)式中保留3因子的分式,其他分式化成部分分式，然后对这些3个因子的分式，每次保留1个，其余化成部分分式得到

由于E1，E3，E5，E7，D7已知，计算得出(12)(13)(14)式.

(4)在(20)式中保留4个因子的分式,其他分式化成部分分式，得到

由于E1，E3，E5，E7，D7已知，计算得出(15)式.定理2证毕.

3 数值级数恒等式

[(7+1)/2]=4，[7/2]=3，用文献[12]第255页公式计算积分

则分母为奇平方因子二项式系数倒数级数连带3个整数乘积倒数平方和数值恒等式.