析弹簧檩型 悟三个性质

张海军

弹簧是高考物理试题中的经典模型之一，它常与力的平衡、牛顿运动定律、动能定理、动量定理、动量守恒定律、机械能守恒定律、功能关系等知识结合在一起，考查学生的学科思维能力。在高中阶段我们研究的轻弹簧（质量不计）是一种理想化的物理模型。轻弹簧因形变量的变化而导致其弹力、弹性势能等物理量也随之发生变化，并表现出可变性、渐变性、对称性三个重要的性质。下面逐一举例说明轻弹簧的这三个性质在解决相关物理问题中的具体应用。

一、可变性

可变性是指在弹性限度内，弹簧弹力满足胡克定律F=kx，其中k为弹簧的劲度系数，z为弹簧的形变量（伸长量或压缩量）。由胡克定律可知，弹簧弹力与形变量成正比，当弹簧的形变量不同时，弹簧弹力也就不同。此外，弹簧弹性势能的大小也与形变量有关（Ek=1/2kx2），当弹簧的形变量不同时，弹簧的弹性势能也不同。

例1 （2018年高考全国工卷）如图1所示，轻弹簧的下端固定在水平桌面上，上端放有物块P，系统处于静止状态。现用一竖直向上的力F作用在物块P上，使其向上做匀加速直线运动。以x表示物块P离开静止位置的位移，在弹簧恢复原长前，如图2所示的表示F和z关系的图像可能正确的是（    ）。

解析：无外力F作用时，物块P静止，根据二力平衡得mg=kx0，解得弹簧的压缩量x0=mg/k;有外力F作用时，物块P向上做匀加速直线运动，设加速度为a，对物块P进行受力分析，如图3所示，根据牛顿第二定律得F+F弹-mg =ma，又有F弹=k（x0一x），解得F=ma十kx。

答案：A

点评：物块P向上做匀加速直线运动的过程中，弹簧的形变量发生了改变，弹力也随之改变，明确了弹簧弹力的可变性，才能利用胡克定律和牛顿第二定律得出F-x图像对应的函数关系式。

二、渐变性

渐变性是指弹簧产生的弹力是连续变化的，只能渐变而不会发生突变（弹簧被剪断的情况除外）。

侧2 （2015年高考海南卷）如图4所示，物块a、b、c的质量相同，物块a和b、b和c之间用完全相同的轻弹簧S1和S2相连，通过系在物块a上的细线悬挂于固定点O，整个系统处于静止状态。现将细线剪断，将物块a的加速度大小记为a1，轻弹簧S1和S2相对于原长的伸长量分别为△l1和△l2，重力加速度大小为g。在剪断细线瞬间（    ）。

A.a1=3g

B.a1=0

C.△l1=2△l2

D.△l1=△l2

解析：设三个物块的质量均为m，在剪断细线的瞬间，细线的拉力立即消失，但弹簧还没来得及发生形变，弹力不会突变，因此物块a受到重力mg和弹簧S1的拉力T1，如图5所示。剪断细线前，以由物块b、c和弹簧S2组成的系统为研究对象，根据二力平衡得T1=2mg。因此剪断细线的瞬间物块a受到的合力F=

mg+T1 =3mg，加速度a1=F/m=3g，选项A

答案：AC

點评：求解本题需要知道剪断细线的瞬间，弹簧还没来得及发生形变，弹力不会发生突变，仍然保持原来的大小，而细线的拉力却突变为零。

三、对称性

对称性是指当弹簧的压缩量与伸长量相等时，根据胡克定律F=kx可知，弹簧弹力的大小是相等的;根据Ep=1/2kx2可知，弹簧储存的弹性势能也是相等的。因此轻质弹簧在伸长或缩短相同的长度时，弹力大小和弹性势能具有对称性。

例3 （2016年高考全国Ⅱ卷）如图6所示，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。已知在M、N两点弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<π/2。在小球从M点运动到N点的过程中（   ）。

A.弹力对小球先做正功后做负功

B.有两个时刻小球的加速度等于重力加速度

C.弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零

D.小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差

解析：根据在M、N两点弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<π/2可知，小球在M点时弹簧处于压缩状态，小球到达N点时弹簧处于伸长状态，且弹簧的压缩量等于伸长量。因此在小球从M点运动到N点的过程中，弹簧先被压缩至最短（设为A点），再恢复至原长（设为B点），然后又被拉伸，弹簧弹力对小球先做负功再做正功又做负功，选项A错误。在A点，弹簧被压缩至最短，小球的受力情况如图7所示，则F合=ma =mg，解得a=g。在B点，弹簧恢复至原长，小球的受力情况如图8所示，则F合=mg，解得a=g。因此在小球从M点运动到N点的过程中，有两个时刻小球的加速度等于重力加速度，选项B正确。在A点，弹簧长度最短，F弹垂直于杆，则P弹一F弹vcos 90°=0，选项C正确。在小球从M点运动到N点的过程中，由小球和弹簧组成的系统机械能守恒，则Ek增=Ep减，即EkN -O=E重M - E重N+E弹M- E弹N。因为在M、N两点弹簧对小球的弹力大小相等，所以弹簧的形变量也相等。根据弹簧的对称性可知，其弹性势能也相等，即E弹N=E弹M。整理得EkN=E重M- E重N，选项D正确。

答案：BCD

点评：因为弹簧弹力的对称，我们可以分析清楚小球的受力情况，尤其是弹力的变化情况;因为弹簧弹性势能的对称，我们可以利用机械能守恒定律（动能定理）求出小球到达N点时的动能与重力势能的关系。

方法与总结

弹簧是高中物理试题中的一种常见模型，以它为载体的物理情景一般比较复杂，且涉及的知识点也比较多。遇到涉及弹簧模型的物理问题，需要从弹簧的形变量人手，关注其可变性、渐变性、对称性这三个重要的性质，正确地分析物体的受力情况、运动情况和能量变化情况，恰当地选取相关规律列式求解。

跟踪训练

1.如图9所示，一轻质弹簧的一端固定在倾角为θ的固定光滑斜面的底部，另一端和质量为m的小物块a相连，质量为詈3/5m的小物块b紧靠小物块a静止在斜面上。现施加 沿斜面向上的力F拉小物块b，使小物块b始终做匀加速直线运动。弹簧的形变量始终在弹性限度内，重力加速度大小为g。用z表示小物块b的位移，如图10所示的表示F随x变化关系的图像正确的是（    ）。

2.如图11甲所示，长为L的木板水平放置，可绕左端的转轴o转动，左端固定一原长为L/2的弹簧，一质量为m的小滑块压缩弹簧到图甲中的A点（小滑块与弹簧不拴接），O、A两点间的距离为L/4。将小滑块由静止释放后，木板不动，小滑块恰能到达木板最右端。将木板绕O点逆时针转动37°后固定，如图11乙所示，仍将小滑块从A点由静止释放，小滑块最多运动到离O点3L/4的B点。已知弹簧的弹性势能Ep=1/2k（△x）2，其中k为弹簧的劲度系数，△z为弹簧的形变量。sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。下列說法中正确的是（    ）。

A.小滑块与木板间的动摩擦因数为6/7

B.小滑块在A点时，弹簧的弹性势能为1/2mgL

C.木板水平放置时，小滑块在运动过程中的最大动能为13/29mgL

D.木板水平放置时，小滑块在运动过程中的最大动能为25/56mgL

3.如图12所示，固定光滑斜面的倾角为θ，A、B两小球的质量相等，用轻质弹簧相连，通过系在小球A上的细线固定于斜面顶端。系统静止时，弹簧与细线均平行于斜面。在细线被烧断的瞬间，下列说法中正确的是（ ）。

A.两个小球的瞬时加速度均沿斜面向下，大小均为gsinθ

B.小球B的瞬时加速度沿斜面向下，小于gsinθ

C.小球A的瞬时加速度沿斜面向下，大小为2gsinθ

D.弹簧有收缩的趋势，小球B的瞬时加速度向上，小球A的瞬时加速度向下，两个小球的瞬时加速度都不为零

4.如图13所示，半径为R的光滑圆环固定在竖直平面内，AB、CD是圆环相互垂直的两条直径，C、D两点与圆心O等高。一个质量为m的光滑小球套在圆环上，一根轻质弹簧一端系在小球上，另一端固定在P点，P点在圆心O的正下方某处。小球从圆环的最高点A由静止开始沿逆时针方向下滑，已知弹簧的原长为R，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为g。下列说法中正确的有（   ）。

A.弹簧长度等于R时，小球的动能最大

B.小球运动到B点时的速度大小为√2gR

C.小球在A、B两点时对圆环的压力差为4mg

D.小球在从A点下滑到C点的过程中，弹簧对小球做的功等于小球机械能的增加量

参考答案：1.C 2.AD 3.C 4.CD