基于深度学习的“数系的扩充和复数的概念（1课时）”教学设计

王蓉

摘要：回顾数系的扩充的过程与方法，归纳数系扩充的“规则”，实现从实数系扩充到复数系。复数概念和分类，复数问题实数化。让学生体会类比的数学思想，感受人类理性思维在数系扩充中的作用。

关键词：复数概念;教学设计;教学反思

中图分类号：G633.6 文献标识码：A文章编号：1003-2177（2021）24-0102-03

1内容和内容解析

1.1教学内容解析

本节课是新人教A版高中数学第二册第七章第一节《复数的概念》的第一课时。通过复数的学习可以使学生对于数的概念有一个完整的认识。复数的概念是整个复数内容的基础。复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的，复数单位、实部、虚部的命名，复数相等的含义，以及虚数、纯虚数等概念的理解，都是在促进对复数实质的理解，即复数a+bi（a，b∈R）实质上是有序实数对（a，b）。通过对复数实质的揭示，为后续复数的结合意义、复数的四则运算以及复数的三角表示的学习作准备，对本章具有奠基性的作用。

1.2核心素养分析

本节课通过回顾数系的扩充的过程与方法，归纳数系扩充的“规则”，能提升学生的数学抽象素养;通过实数系向复数系的扩充，让学生体会类比的数学思想，提升学生的逻辑推理素养;学生能体悟丰富多彩的数学文化，能辩证地看到“危”与“机”的关系，感受人类理性思维在数系扩充中的作用，领略其推动科学技术发展和社会进步的所需创新精神。

2目标和目标解析

2.1教学目标

了解引入复数的必要性;了解数系扩充的一般“规则”，了解从实数系扩充到复数系的过程，感受数系扩充过程中人类理性思维的作用，提升数学抽象、逻辑推理素养;理解复数的代数表达式，理解复数的有关概念，理解复数相等的含义。

2.2目标解析

能通过方程的解，感受引入复数的必要性，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用。

学生能够从自然数系逐步扩充到实数系的过程中，归纳出数学扩充的一般“规则”，体会扩充的合理性及人类理性思维在数系扩充中的作用。

学生能说明虚数的由来，能够明晰复数代数表示式的基本结构，会对复数进行分类，会用Venn图表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系;知道两个复数相等的含义，能利用复数概念和复数相等的含义解决相关的简单问题。

3教学问题诊断分析

3.1学情分析

学生在学习时可能出现的障碍为：

（1）因为现实生活中没有任何事物支持虚数，学生可能会怀疑引入复数的必要性，在教学中，如果单纯地讲解或介绍复數的概念会显得枯燥无味，学生不易接受;

（2）由于知识储备和认知能力的限制，学生对数系扩充的一般规则并不熟悉，对虚数单位的引入，以及虚数单位和实数进行形式化运算的理解会出现一定困难;

（3）学生以前学习过的数都是单纯的一个数，而复数的代数形式是两项和的形式，学生比较陌生，因此理解上会存在一定困难。

3.2重难点分析

重点：从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念。

难点：复数系扩充过程的数学基本思想，复数的代数表示。

突破难点的策略如下：

（1）适当介绍数的发展简史，增强学生学习的生动性。

（2）通过解方程问题引导，借助已有的数系扩充的经验，特别是从有理数系扩充到实数系的经验，从特殊到一般，帮助学生梳理出数系扩充过程中体现的“规则”，进而在“规则”的引导下进行从实数系到复数系的扩充，感受引人复数的必要性和合理性。

（3）引导学生按照“规则”自主探究出复数集中可能存在的各种数，并归纳总结出复数的一般表示方法，经历复数形式化的过程。

4教学过程设计

4.1创设情境，说明实数系扩充的必要性

问题一：今天的数学课邀请大家和我一起来到16世纪文艺复兴后的欧洲。看一个当时困扰了人类几百年的数学问题：把10拆分成两个数，使这两数的积等于40，求这两数？记载在数学家卡尔丹1545年的著作《大术》﹝Arsmagna，1545﹞。

师：在实数范围内有解吗？为什么？

生：这个一元二次方程的判别式小于0，所以无解。

师：是的，实数范围内无解，看来实数不够用了！卡尔丹也没有找到实数解，但是他写下来这样两个解，自认为是“违背良心写下的怪物”。

师：尽管他违背着良心，但后续通过数学家们的不断探究给出了合理解释。

师：是否存在，等价于方程？

师：方程不具一般性，怎么办？

生：

师：为什么？

生：整理得，即

设计意图：转化化归的思想。

师：若想预见数学的未来，一个方法是研究它的历史和现状。现在我们一起重温数的发展历程！

4.2类比从有理数系到实数系的扩充，梳理数系扩充的“规则”

师：猜一猜：四幅图各代表了哪一类数？

生：自然数，负数，分数，无理数。

师：我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系。（自然数系，整数系，有理数系，实数系）

问题二：有理数系到实数系扩充的“危机”？

师：为什么要扩充？

生：边长为1的正方形对角线是，开方开不尽，不在有理数集内。而且方程在有理数内是无解的。

师：是的，这不仅是人类生产生活的需要，也促进了数学自身的发展，让扩充前的数系中无解的一类方程在新数系中有解了。

师：数与数的联系是依靠一些运算建立起来的。因此我们还要确保新数系中原来的运算和运算律可行。这里的运算和运算律指的是最基本的两种运算加法、乘法及运算律（交换律、结合律和分配律）。

师：以引入为例，会产生哪些其他形式的数呢？

生：会产生形如

师：很好，这些数是无理数集的其他成员。显然保证了加法乘法和运算律仍然适用。

师：数系扩充的一般规则是什么？

生：形成数系扩充的一般规则：（1）引入新成员，数系扩大;（2）扩充前数系不可行的某种运算在新数系中可行了;（3）扩充后的数系适用原有数系的运算和运算律。

设计意图：梳理数系扩充过程和方法的一致性，总结数系扩充的一般“规则”，为后续实数系进一步扩充提供方法，进而突破难点。

4.3依据“规则”实数系扩充至复数系，得到复数的标准代数形式

问题三：类比以上过程，你会怎样实数系进行扩充？

生：将引入新成员。

师：如果是你，你打算如何设计这个新成员？

生：我会叫他虚数。

师：为什么？

生：因为实和虚是反义词。

师：很有想法哦！这个新数需要具备怎样的性质？

生：

师：板书，i为虚数单位。虚数（imaginary）这个名称是法国哲学家、数学家笛卡尔给出的，写在1637年出版的《几何》中。100多年后，欧拉第一个使用符号i表示虚数，写在1777年提交给圣彼得堡科学院的论文中，而该论文直到1794年才发表。

设计意图：了解虚数产生的数学史，体会数学家们的坚持不懈。

师：回到一开始，我们是否解决了卡尔丹一开始的困惑？如何改写？

生：该方程的根为。

师：为了使加法、乘法和运算律在新数系中适用，除了新数i，新数系中还会有哪些形式的数？分小组讨论，派代表展示你们组的成果。

学生回答：

师追问：有没有一种形式可以把大家说的这些数都包含在内？

学生回答：

（学生如果遗漏了实数）

师追问：老师这儿还有一些数，也能写成型吗？总结，a和b的范围是什么？

生答：能，当b=0时，令a=-1，，

设计意图：创设与学生认知特点相吻合的教学情境，在学生思维最近发展区内提出问题，启发学生以数系扩充的基本思想为指导开展引入新数、扩充数系。在获得“四基”、提高“四能”的同时，学习“用数学的眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界”的方式方法。

学生自主阅读课本概念并完成练习1：我们把形如（）的数叫做复数，其中叫做虚数单位，全体复数所构成的集合叫做复数集。这样，方程在复数集C中就有解了。复数常用z表示，即（）以后不作特殊说明时，复数都有，其中a和b分别叫做复数的实部与虚部。

师板书概念。

4.4通过对复数的分类，相等复数条件的探究，强化、精致复数概念

师：研究一个概念，了解了他的来龙，还得清晰他的去脉。

刚才大家写了很多复数，我们一起来研究

（1）说出这些复数的实部和虚部。

（2）1+2i，2+i这两个复数相等吗？为什么？你能归纳出两个复数相等的条件吗？

（3）观察这些数，复数集C与实数集R之间有什么关系？使用数学符号表示

（4）说说复数有哪些特殊形式？结合一些图标题名式给复数分分类吧。

或者

（5）说说哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，为什么？

设计意图：指导学生阅读教科书，思考并回答问题，明确复数的基本概念，培养阅读教科书的习惯和阅读理解能力。通过对具体数的观察，抽象出复数集中的实数、虚数、纯虚数等概念。通过画思维导图细化复数集内部关系，强化复数概念。

例1：当实数取什么值时，复数是下列数？

（1）实数;（2）虚数;（3）纯虚數。

设计意图：在变化中认识复数代数形式的结构，正确判断复数的实部和虚部。

师：如何确定一个复数？回忆一下，复数的这个特征与你以往遇到过的什么数学对象类似？

设计意图：向学生明确，不仅给出了判断两复数相等的依据，也给出了求某些实数值的依据，即利用复数相等的含义，得到关于a，b的方程组，通过解方程组，得到a，b的值。把复数看成有序实数对，为几何意义奠定基础。

4.5反思总结，提炼收获

师：通过本节课，谈谈你学到了哪些知识？通过什么方法得到的？这个知识的发现或者创造对你有什么启示？

生：学到了为了解开负数有平方根的难题，几百年来数学家们锲而不舍的坚持探索，他们的理性思维战胜了阻拦在数学发展面前的重重困惑。这个数系的扩充给今后复数遇到不够用的时候，就派上用处了。

师结束语：因为这个虚无缥缈的数的引入，多项式的理论成了完美的理论。物理学家和工程学家发现虚数是用来解释所有波动现象最佳的方法。这包括音乐、流体和量子力学里面的波动力学的种种现象。在数学内部，柯西和黎曼开始了复变函数的研究，将数学的眼界由一维推广到二维，改变了现代数学的发展。复数的引入充满了数学家们的想象力、创造力和不屈不挠、精益求精的精神，充分体现了理性思维的力量！

4.6布置作业

查找资料，完成课外阅读。

（1）了解一元三次方程求根公式。

（2）了解复数在流体力学、信号分析、电磁场等学科中的应用。

（3）了解有关超复数系的设想。

5课后反思

复数的引入是对数的认识的又一次飞跃，新课标明确要求学生认识复数概念形成的重要发生发展过程，领会其中的理性思维、创新精神和数学文化。什么才是这节课的真正重要的主题概念呢？在准备教学设计之前，笔者带着这个疑惑翻阅了教材和教参。从历史的角度看，数的概念的发展与数系扩充是数学发展的一条重要线索。数系扩充的过程展现了发现和创造两大特征，也是当时的客观需要。复数的引入体现实际需求与已有知识不能解决之矛盾，以及有关数系运算和性质之变化。当复数的几何意义在解决实际问题中崭露头角，复数的概念才被世人所认可并发展。从认知的角度看，继初中数学课堂将数系从有理数扩充至实数后，复数是中学阶段的又一次扩充。应在教学中突出过程二字。因此笔者将本节课确定的重要主题概念侧重于经历过程。需要学生历经，以及从这样的经历中深刻体会到数集的每一次扩充，既是客观世界实际的需求，也是解决数学内部矛盾，从而不断发展之迫切。从数的运算，解方程等角度悟得“实数不够用了”这一事实。理解引入虚数之水到渠成。体会人类的理性思维在数学发展长河中明灯般指引之力量。我们知道任何知识的获取都遵循从未知区域转化至最近发展区，再转化至已知区域。本节课就需要教师搭建一个“引桥”。让学生在已有的认知经验上获得“再创造”。这个“引桥”就是对实数系扩充过程的回忆。在层层剥离，提出问题方程 后，让学生观察了四张有关数系发展历程的图片，并思考以下问题：以往学习中有没有遇见过类似的问题？如果遇见过，解决了什么问题？怎样解决的？解决的过程有什么规律（共同的特点）？这些规律对解决当前的问题有什么借鉴作用？在这些问题的支撑下，老师带领着学生从卡丹之迷惑到笛卡尔的自我否定下提出“虚数”称呼，再到欧拉提出用符号i来表示虚数，之后的高斯对该符号系统的应用。前前后后几百年，支撑起数系扩充之路的是人类对未知的渴望，是理性思维拨云见雾，揭开了虚数虚无缥缈之面纱。

当然课后笔者也在思考，与其说是再创造，不如说是再经历。其实创造的成分并不浓厚，因为这个规则已经摆在那里了。相比当时数学家们思维火花的碰撞，研究复数的热火朝天。遗憾于课堂上没有达到预期的效果，只能接受这个“美丽冻人”的结果。如果在教学设计中出现一些预设的“意外”，让学生经历头脑风暴。比如，使用类比方法创造新数，改为学生的自我探索新数集中的运算规律，让学生设立探索方案。如可以从罗列自然数集开始的若干数集中的运算封闭、运算律、排序、比较大小等方面进行研究。为什么数集运算需要封闭？新运算解决了，原来的运算规律却破坏了行不行？为什么复数需要一个统一的代数形式？这些知识的生长点和爆发点不去触动，可能复数还是飘在空中，最后沦为一个生硬的代数运算工具。如何通过我们老师的教学设计，快速通过这些阶段，但却不跳过这些阶段，让复数在学生心中落地生根。我们的类比，举一反三，给了学生足够的参照模板，但是这个“一”是否小看了学生的独立思维？是否阻碍了课堂的深度思考呢？值得继续学习和研究。

（责编：杨梅）