数学抽象素养的特征及其案例分析

四川

数学抽象是数学核心素养之一,也是重要的数学基本思想,虽然中学数学教师对于抽象思维的培养一直都比较重视,但是,数学抽象与一般意义上的抽象还是有所不同的,有些教师对于数学抽象的理解还不够深刻,本文探讨数学抽象的基本特征及其培养策略,希望能对读者有所启发.

一、数学抽象的价值性特征

数学抽象的价值性主要体现在:数学抽象具有重要的学科价值.从一定程度上而言,数学学科主要是借助于数学抽象建立起来并不断发展的,一方面数学抽象使数学成为高度谨慎、高度精确、应用广泛、结构性强的学科,另一方面,数学抽象的不断发展,使数学学科与其他学科紧密地联系在一起.数学抽象具有重要的教育价值.学生学习数学不仅能培养其数学抽象核心素养,还有助于改善其思维方式,提高思维效率,同时,数学抽象还可以帮助其更好地体会数学的本质等.因此《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》将数学抽象作为数学学科核心素养之一.对教师而言,引导并训练学生逐步从初级的经验水平转向高级的科学水平,提高学生的思维水平,促进他们的智慧发展,是数学教育的任务.

案例:当复习到“面面垂直的判定定理”时,学生无法表述定理内容,这时教师应启发学生,门不管旋转到什么位置,它总与地面垂直,可以从这个现象中总结定理.如果还是没有效果.需要教师继续帮助分析,不管门怎么旋转,它总是绕门轴旋转,而门轴始终与地面垂直,即使如此,有可能还是有学生说不出定理内容.为什么会出现这种情况呢?仅仅归咎于从新授课到高三复习之间的时间过长,学生遗忘严重,这说不通.要重视培养学生的数学抽象能力.实际生活中随处可见“面面垂直”的现象,学生坐在教室里,视线就离不开“面面垂直”,应从身边想象、抽象出“面面垂直”的定义、定理,让学生体验数学的应用性和无穷魅力.

二、数学抽象的客观性特征

数学是以抽象的方式来反映客观世界的数量关系与空间形式的一门科学,具有一定的客观性.数学抽象的客观性常常表现为，许多抽象的数学理论具有一定的客观现实背景,或者数学抽象的产物(即数学理论)在社会生活、科学研究中具有广泛的用途.《全日制义务教育数学课程标准(试验稿)》指出:数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概况、形成方法和理论,并进行广泛应用的过程.从本源上来说,很多数学概念或数学理论是从现实世界客观存在的事物中,经过抽象,概括出客观事物之间的数量和数量关系、图形与图形关系.其数学抽象的过程并不是由人们凭空捏造、任意想象的,并不会因为某一个(类)人某种观念的变化而发生改变.数学抽象的客观性一方面表现在数学抽象的对象与结果是客观的.数学对象并不是没有内容的,也不是与现实世界毫无关系的,从本源上来说,许多数学对象来自于现实世界.在某一数学对象及其理论被数学家创造出来之后,就像现实世界客观存在的事物一样具有一定的客观属性.另一方面,表现为数学概念、数学理论等数学抽象的产物,其蕴含的数学内容是有其数学基础与逻辑保障的,并且不断受到数学共同体的检验.从这个角度而言,数学抽象具有一定的客观性.

案例:笔者对“两平面垂直”的相关定义、定理进行了梳理,形成以下教学思路:首先,探究载体源自生活.实际生活中随处可见“面面垂直”的现象,应从身边想象、抽象出“面面垂直”的定义、定理;其次,强化探究思路的分析.一节课就是一个微课题,研究方向要明确,这里的研究方向与教学目标有点相似,但需要教师与学生共同分析,得出合理的探究目标,而不是学生必须遵循教师的要求去学习;最后,要遵循课程理念和课程标准的要求.定义、定理的抽象,必须是建立在探究的基础上,发现问题的本质内涵而后抽象形成.问题的设计,不能过多选用指向性很强的问题,那不是探究问题,那是逻辑思考解决问题,不是真发现.探究问题要有“宽”度,要让学生想开,培养他们的发散思维能力,那样的发现才是自主发现,由此抽象出的结论,学生才能经久不忘！

三、数学抽象的模型化特征

数学抽象是用数学语言概括或近似地描述现实世界的事物之间的数量关系与空间形式.数学抽象离不开模式化,模式化的最终结果是构建数学模型.数学模型是沟通数学与现实世界的桥梁.为了构造适宜的数学模型解决某一现实问题,需要对现实问题进行一定简化,忽略其次要因素、或与解决问题无关的因素,并在此基础上运用一定的数学方法,使之转化成一个数学问题.即从数学的角度,运用数学的手段,不断使一个现实问题理想化与形式化.最后,运用一定的数学方法解决相应的数学问题,并把所得的问题的解代回到现实问题中进行检验,以分析其是否达到预设的解决目的.另外,很多时候,模型化的数学抽象过程并不是一次性完成的,而是有一个逐步完善、不断精确的过程,如果在构建某一数学模型的过程中,简化(忽略)的因素太多,从而在一定程度上改变了原来现实问题的本质结构,这时候所得的数学模型对原来现实问题的解答只能是初步的、近似的,可能远远不能满足其预设的解决目标.这时候就需要把此前简化(忽略)的某些因素重新纳入,重新构建新的数学模型,寻找新的解决问题的数学方法.理想的数学模型要求与所需要解决的现实问题完全吻合,可以100%解决其现实问题,但由于现实问题的复杂性,针对某一现实问题构建其理想的数学模型往往是困难的,有些甚至是不可能的.因此,在构建数学模型的过程中,往往要进行“折中”,只要能够达到预设的解决问题的目标要求,就可以认为相应的数学模型是合理的、有效的.

案例:教学是师生共同构成的一个交往互动的过程,教师之所以具有不可替代性,正是因为教学具有动态性的特点.教材提供了教学的线索,提供了学生学习知识的框架，而如何让学生真正理解知识,发展未来生活学习必备的素养,则需要教师对教材和课堂灵活驾驭.数学是一门抽象性极强的学科,也是发展学生抽象思维的最佳学科.面对灵活多变的课堂和个性鲜明、具有较强思维能力的高中生,要想培养他们的数学抽象素养,不仅要对数学知识和学生抽象思维发展特点有较好的掌握,更要在课堂中巧设疑问，把握好教学时机.

四、数学抽象的形式化特征

数学抽象的最终表现形式(即数学抽象的结果)通常是高度抽象化和形式化的.数学形式化的重要组成部分和表现形式主要体现为:首先,数学符号是数学思维活动最基本的物质载体与数学思想交流与传播的重要媒介,它能够以最直观、最简明的形式来表达人们的数学思想.其次,数学符号将数学的文字语言转化为符号语言,从而为数学理论的表述和数学论证提供了极大的便利.再次,数学抽象的重要表现形式之一是公理化.公理化即从一些预先选择的原始概念和公理出发,运用逻辑方法,构建相应的数学内容体系.数学公理化方法作为一种重要的数学方法,可以揭示一个数学系统或分支的内在规律,从而使它系统化、逻辑化.从数学学科发展的角度而言,数学的形式化(公理化)可以精确的揭示数学命题或数学推理之间的逻辑联系,合乎逻辑的推导出相应的数学内容体系,从数学教育的角度而言,数学抽象的形式化(公理化)特征可以训练学生的逻辑思维能力与抽象思维能力等.在数学教学过程中,教师应结合具体的数学内容逐步培养学生，形成使用合乎逻辑的数学符号进行数学推理的学习习惯与学习能力,并在数学教学过程中逐步参透数学的形式化(公理化)思想,引导学生逐步感受、理解和运用形式化(公理化)思想.

案例:双曲线作为圆锥曲线的一种,在平时的教学中，教师常常采用从椭圆类比而来的方法,将椭圆定义中的“和”用“差”置换提出问题,并通过拉链画图让学生感受满足条件的点的轨迹特征,进而引出双曲线定义,这样的教学看似符合当下以学生为中心、让学生在探究中得到知识的理念.但仔细剖析,不难发现这种探究只是一种假探究,并没有留给学生充分的分析和想象空间.后面焦点定义的提出更是牵强,按照学生当时的知识储备水平和思维水平,是不可能将这样一种曲线和两个定点联系起来的,这两个点是如何得到的更是无法追寻.其实可以拿出一张平整的纸张,在上面找到两个定点F1,F2,以F1为圆心、小于F1F2的长度为半径作圆,在圆周上任取点Pi,i=1,2,3,4,…，之后,将纸张进行折叠,使得F2与圆上的点P1重合,将折痕记为l1,通过折叠找到半径F1P1所在直线与折痕l1的交点,记为M1，然后在圆上再取一点,记为P2,重复前面两个步骤,得到交点M2.通过多次折叠,发现折痕包裹出两条相背又相互对称的曲线,引出双曲线概念.

五、数学抽象的理想化特征

数学抽象是从数量关系与空间形式两个角度来研究事物之间的本质与规律的一种数学研究方法,在数学抽象的过程中,其面对的数学对象往往是经过一定简化或纯化,即进行了一定理想化的.由于事物的有些属性对研究该事物某些方面的性质没有直接的关系,或者所起的作用可以忽略不计,为了便于研究,常常适当舍弃与目标无关的一些属性,建立一种高度抽象的理想个体,这就是理想化的过程.另外,从理想化的发展进程而言,理想化是一个不断深入与完善的过程,为了逐步实现数学抽象的理想化,需要数学研究者对数学抽象的对象与过程进行反复归纳、概括与提炼,从数学的角度抛开事物表象的、外部的、偶然的因素,抽出事物本质的、内在的、必然的因素,数学抽象理想化的形成过程是漫长的、不断发展的.另一方面看,由于数学抽象的理想化特征,使得相关的数学理论得以简化与纯化,从而使人们更容易去认识、掌握并运用它.因此,数学的研究必须借助理想化,没有理想化,数学自身的发展将是难以想象的,有了理想化,数学的抽象才能达到更高层次.

六、数学抽象的精确性特征

数学抽象贯穿于数学知识的产生、发展与应用的过程中,具有一定的精确性,在一定程度上体现了数学知识的本质特征,揭示了数学知识之间的普遍联系,并使得由此得到的数学知识的概括性更强、抽象程度更高、应用性更广等.另外,数学抽象的精确性,还体现在它要求我们必须用严谨而合理的数学基础和推理过程来保证由数学抽象得到的数学知识的精确性,换言之,数学概念的精确性与推理逻辑的严谨性成就了数学结论的精确性和逻辑必然性.由于数学知识是客观的、具体的(数学知识被数学家创造出来,并经数学共同体确定之后,就具有了一定的客观性),而数学抽象作为一种重要的数学研究方法,却是灵活的,并具有一定精确性,因此,掌握某类数学知识相对而言是较为容易的,但是对数学抽象的掌握与运用,却需要较长时间的学习与理解,并基于具体的数学学习内容与数学学习过程,逐步加深对相应数学抽象过程与数学抽象方法的理解与掌握程度.按通常情况下学生学习时认知的先后顺序,把数学抽象分为感知与识别、分类与概括、想象与建构、定义与表征、系统化与结构化等五个阶段,应结合具体的数学内容与数学教学过程,以螺旋上升、逐步深入的方式,引导学生逐步经历与感悟、理解与运用数学抽象的以上阶段.

案例:哥尼斯堡是欧洲一个美丽的城市,一条河流流经这个美丽的城市,河里面有两座岛,有七座桥连接着岸和岛、岛和岛,人们晚饭后沿着河岸散步,可以经过桥走到岛上,或者经过桥走到对岸.有一天,一个人想出一个游戏来,看谁能够不重复地走遍这七座桥.不重复地走遍这七座桥包含两个意思,第一是要把这七座桥都走一遍,第二是不能重复地走这七座桥,每座桥都只能走一遍,几天实践下来,没有一个人能找到这样的一条路线,不是少走了一座桥,就是某座桥走了两遍.

这是为什么呢?欧拉通过三步抽象解决了这一问题:第一步抽象是地图的抽象.这个问题和岛的开放、封闭、大、小没有关系,和岸的开放、封闭、桥的长短、直弯也没有关系,重要的是岸、桥、岛的相对位置关系,把岸和岛抽象成点,把这七座桥分别抽象成七条线.这一步抽象是对地图的抽象,把地图抽象成点线图,这既简化了问题的条件,又突出了问题的本质.第二步抽象是对问题的抽象.不重复地走遍七座桥,欧拉把它抽象成要用笔画出这个点线图来.既不能少画一条线,也不能重复地画一条线,这是对问题的抽象.这一步抽象明确了问题的本质,给出了问题的表述.第三步抽象是把问题转化为数学方式的叙述.“找到一个连通的点线图可以一笔画出的充分必要条件,并且对可以用一笔画出的图形给出一笔画的方法”这一步抽象便于发展我们数学方式的理性思维，从欧拉的三步抽象过程中可以看到数学抽象的作用和威力.

七、数学抽象的纯粹性特征

数学抽象是数学教学中一种经常性、普遍性的思维活动,也是数学活动中最基本、最重要的思维方式之一,具有一定的纯粹性.数学抽象的纯粹性在于它只是纯粹的考虑事物与现象的数量关系和空间形式,同时完全舍弃事物和现象的其他一切属性,对事物与现象进行定量的分析,这种特殊的抽象内容正是数学与其他学科的根本区别.数学抽象的纯粹性不仅体现在数学抽象的内容上,更体现在数学抽象的方法上,数学抽象的对象是通过逻辑建构这一方法所获得的,而数学对象的逻辑建构借助于纯粹的数学语言(和逻辑语言)，正是这种“纯粹”的数学抽象的内容与方法,在一定程度上保证了数学理论的精确性、逻辑性、严谨性.另外,数学抽象的纯粹性还体现在其所达到的特殊高度,数学抽象的对象,并非像其他学科那样全部依赖于客观世界的事物,更有一部分抽象对象是为了让人们更好地去理解其他事物或现象,由人们的思维直接创造而成的.数学抽象的这种高度纯粹性,决定了它的抽象程度远高于其他学科.

第一问属于基础题目,解不等式便可解决.第二问根据函数单调性的定义,通过作差比较,分类讨论,即可使问题得到解决.第三问，证明题本来就是学生学习的难点,再加上纯粹的数学证明的抽象性等原因,使得学生对于证明题会出现无法下手、逻辑不清等困难.学生对于抽象的问题总是想一步到位找到解决办法,但是在平时的学习中,学生又缺乏分解问题的能力,即分步解决问题的逻辑思维和能力.对于这种抽象的题目,很多学生会选择放弃,这十分可惜.第三问确实有一定的难度,对于充分性的证明,需要学生准确把握题干中所提供的数据信息,根据零点存在性定理准确找到零点的范围;必要性的证明则利用了第二问单调性的结论,借助g(x)的性质加以分解,总之,第三问的解决需要对抽象的数学证明加以分解,并通过敏锐的观察力,结合题目分析论证.

八、数学抽象的发展性特征

数学抽象的发展性,一方面表现为数学抽象是具有层次性的,即对数学对象的抽象是逐级抽象、逐步完善、不断发展的,无论是在数学学习过程中,还是在数学发展过程中,数学抽象一直在不断的深入与丰富.具体表现为数学学习与研究过程是从基础到复杂、从具体的事物到抽象的事物,再从初步抽象的数学结果抽象出更为抽象的数学结果.随着抽象层次的不断提高,数学不断地向更高(高维,多变量)的抽象层次发展,使它包含的内容更深刻、更远离现实世界,从而使应用与适用的范围也越来越广.另一方面,数学抽象的发展表现为学生对数学抽象的认识与理解是逐步深入的,其数学抽象能力是逐步提高与发展的,随着学生对数学抽象对象、数学抽象过程以及由此而产生的数学抽象结果的深入理解,其对数学抽象的认识不再固执于它的某一方面,而是综合考量数学抽象各方面的本质特征,以及它们之间的内在联系和相互作用等.

案例:欧拉对哥尼斯堡七桥问题的研究成果,最终在圣彼得堡科学院发表,这篇论文是具有历史意义的一篇论文,它开创了图论的先河,其实也开创了拓扑学的先河.数学的抽象性使得一部分学生很头疼,当然也使得很多学生因为数学的抽象美而深深地爱上了数学,不管是数学证明问题还是具体的应用题目,只要学会数学抽象的手段,对问题加以分解,步步攻克,都会柳暗花明,得到新的成果.数学家的创新思维是值得我们学习和体会的,在中学教学和学习过程中,师生无时无刻不在实践数学抽象,让大家体会到抽象是数学的武器,是数学的优势,我们应该喜爱抽象并且学会抽象的手段,体会数学精神,学会数学思维,掌握数学方法,使用数学语言,理解数学思想,提高数学素养.