基于本质的几何试题命制方法例析

福建

数学试题命制是数学教师业务素质的一个重要方面,富有挑战性,颇具创新性，同时要求命题者深入学习学科本质,提升学科素养.根据试题的考查要求,源自本质,科学合理地设置试题的条件和结论,往往能使试题的命制去模式化,更具创新性.本文就基于本质的几何试题命制,结合笔者近几年参加的各级命题活动所命制的试题,谈谈个人的观点与想法,旨在抛砖引玉.

1.基于曲线定义

定义是数学的本质之一,曲线的定义揭示了运动中的不变性,也蕴藏着定值关系,可以以定值为条件,设置有关的最值问题.

1.1 命题案例1

1.1.1 试题内容

(2014·泉州市质检理·20)几何特征与圆柱类似,底面为椭圆面的几何体叫作“椭圆柱”.图1所示的“椭圆柱”中,A′B′,AB和O′,O分别是上、下底面两椭圆的长轴和中心,F1,F2是下底面椭圆的焦点.图2是图1“椭圆柱”的三视图及尺寸,其中俯视图是长轴在一条水平线上的椭圆.

(Ⅰ)若点M,N分别是上、下底面椭圆的短轴端点,且位于平面AA′B′B的两侧.

(ⅰ)求证:OM∥平面A′B′N；

(ⅱ)求平面ABN与平面A′B′N所成锐二面角的余弦值.

图1

正视图

俯视图图2

1.1.2 命题意图

本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、空间向量、三角函数、不等式等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想及应用意识.

1.1.3 试题解析

(Ⅰ)(ⅰ)连接O′M,O′N,∵O′O⊥底面O′,O′M⊂底面O′,∴O′O⊥O′M.

∵O′M⊥A′B′,O′O⊂平面AA′B′B,A′B′⊂平面AA′B′B,A′B′∩O′O=O′,

∴O′M⊥平面AA′B′B.

同理,可证ON⊥平面AA′B′B,∴O′M∥ON.

又∵O′M=ON,∴四边形ONO′M为平行四边形,∴OM∥O′N.

又∵OM⊄平面A′B′N,O′N⊂平面A′B′N,∴OM∥平面A′B′N.

如图,以O为原点,AB所在直线为x轴,ON所在直线为y轴，OO′所在直线为z轴建立空间直角坐标系O-xyz.

∵z轴⊥平面ABN,∴可取平面ABN的一个法向量n1=(0,0,1).

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证明：∵N′是点N在上底面的投影,∴N′N⊥上底面O′,

∵上下两底面互相平行,∴N′N⊥下底面O,即N′N⊥平面ABN,

又∵NF1,NF2⊂平面ABN,∴NN′⊥NF1,NN′⊥NF2.

1.1.4命制心路

1.1.5 试题亮点

①背景新颖,交汇自然

试题类比圆柱的几何体特征,引入“椭圆柱”,以“椭圆柱”为背景,实现立体几何、解析几何、不等式、三角函数等知识的自然融合交汇,使试题内容饱满,不见生搬硬套,浑然天成.

②回归定义,重视本质

定义是一些数学结论的基础,是数学的本质之一,理解掌握定义是学好数学的首要条件.试题从椭圆的本质定义出发,得到定值条件,通过消元转化为函数问题,从而求解出tan(α+β)的取值范围,进而强调了数学定义的重要性.

③多元考查,注重通法

从考查的知识看,试题考查了直线与平面平行、二面角、椭圆、三角函数以及不等式等知识点,“杂而不乱”；从考查数学思想方法与能力要求看,考查的数学思想方法包括数形结合思想、化归与转化思想和函数与方程思想,考查的能力包括空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识,试题的求解方法不偏不怪,注重通性通法,体现高考试题的命题理念.

④能力立意,倡导探索

《考试说明》中指出,“以能力立意命题”是数学的学科特点和考试目标所决定的.命题应突出能力立意,对知识的考查侧重于理解和应用,力求突破固定的解答模式,要求考生抓住问题的实质,对试题提供的信息进行分检、组合、加工,寻找解决问题的办法.倡导开放探索,关注创新意识是新课程的理念之一.试题力求考查数学的各方面能力,采用恰当的设问形式,引导学生积极探索,大胆实践.

2.基于识图能力

几何学的研究对象是几何图形,看懂、看透图形即“识图”能力是关键,如何看懂图形呢？对于识图,应注意条理性,从模糊到清晰,从整体到局部,既见“森林”又见“树木”,可以更清楚地看懂、看透几何图形.几何试题命制要求命题者对几何图形有深度的认识.

2.1 命题案例2

2.1.1 试题内容

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2.1.2 命题意图

本题是以新定义为背景,考查了双曲线的渐近线、导数的几何意义、直线的斜率与倾斜角、三角函数等知识；考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想、有限与无限思想及创新意识等；考查了学生的数学素养等.具有一定的难度,能够起到“压轴”的效果.

2.1.3 试题解析

由“确界角”的定义可知,曲线C相对于点O的“确界角”的两边所在直线就是它的渐近线或经过点O的曲线的切线.

②当x>0时,曲线y=xex-1+1存在过点O的切线,设切点P(x0,x0ex0-1+1),

令f(t)=t2et-1-1(t>0),则f′(t)=(t2+2t)et-1>0,

所以f(t)=t2et-1-1在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,

所以过点O曲线y=xex-1+1的切线的斜率k=2.设切线的倾斜角为β,则tanβ=2,

2.1.4 命制心路

①归纳——从具体到抽象,从特殊到一般

笔者在命题过程中,考虑到试卷的权重,需要一个考查有关双曲线的试题,计划安排在选择题的最后一题,具有一定的“压轴”效果.左思右想,分析了双曲线的性质与图形特征,注意到双曲线的渐近线刻画了其“开口”的大小,从而产生一个想法,以渐近线的这个几何特征下一个有关角的新定义,以这个定义为基础考查双曲线与其他知识融合交汇.

通过研究发现,如果一条曲线在由一个定点引出的角的内部,则这样的角有无数多个,而且必定存在一个最小角.此时,突然想到这个最小角的特征与数学中的“上确界”的概念类似,从而引入了“确界角”的概念,初步作如下定义.

如图(题中的图),若曲线Γ在顶点为O的角α的内部,A,B分别是曲线Γ上相异的任意两点,且α≥∠AOB,我们把满足条件的最小角α叫作曲线Γ相对于点O的“确界角”.

②演绎——从抽象到具体,从一般到特殊

2.1.5 试题亮点

①重视数学的本质

数学的学习应重视数学的本质,试题的命制源于双曲线,高于双曲线.试图从双曲线的渐近线本质特征出发,自然地抽象出“确界角”的概念,达到“青出于蓝而胜于蓝”的效果.

②重视基本数学思想

试题考查了数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想及创新意识等数学思想与方法,体现了“多思少算”的高考命题理念.

③重视创新意识与自学能力

试题中提出了“确界角”的新概念,学生在作答时首先必须准确理解这一新概念,并利用新概念进行解题.从而引导我们在教学活动中应培养学生的创新意识与自学能力.

2.2 命题案例3

2.2.1 试题内容

(2020·泉州市单科质检文·11)若椭圆E的顶点和焦点中,存在不共线的三点恰为菱形的中心和顶点,则E的离心率等于

()

2.2.2 命题意图

本题主要考查椭圆的几何性质等知识,考查运算求解能力等,考查数形结合思想、分类与整合思想等,导向关注直观想象等核心素养.

2.2.3 试题解析

依题意,可知菱形对角线互相垂直,即在椭圆的顶点和焦点中找到不共线的三点能构成一个直角三角形,结合椭圆的对称性,只需考虑以下三种情况:

①如图1,若以顶点D,焦点B为菱形顶点,C为中心,则DC⊥BC,由勾股定理得,(a2+b2)+a2=(a+c)2,由b2=a2-c2化简得c2+ac-a2=0,

图1 图2

图3

2.2.4 命制心路

2.2.5 试题亮点

试题表述简洁,亲切自然,但内容丰富,有一定的思维量.条件中巧妙地利用菱形掩盖了直角三角形的条件,解题者分析题意时需透过现象看本质,即透过菱形看到直角三角形,而且需利用椭圆的对称性合理分类,简化讨论的情况.试题自然地考查分类与整合思想,考查了思维的条理性与严谨性.

3.基于思想方法

坐标法是解析几何的本质思想方法,是几何问题代数化的重要方法,数形结合思想是解析几何的重要思想.数与形的互译是理解应用数形结合思想的关键能力.

3.1 命题案例4

3.1.1 试题内容

(2020·泉州市单科质检文·20)已知抛物线E的顶点在原点,焦点在y轴上,过点A(1,0)且斜率为2的直线与E相切.

(Ⅰ)求E的标准方程；

(Ⅱ)过A的直线l与E交于P,Q两点,与y轴交于点R,证明:|AR|2=|AP|·|AQ|.

3.1.2 命题意图

本题主要考查抛物线的标准方程和几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力等,考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等,体现基础性、综合性与应用性,导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算等素养的关注.

3.1.3 试题解析

解:(Ⅰ)过点A(1,0)且斜率为2的直线方程为y=2(x-1),即y=2x-2,

所以E的标准方程为x2=2y.

(Ⅱ)设直线l的方程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),

3.1.4 命制心路

3.1.5 试题亮点

试题巧妙地利用数形结合思想,将数量关系几何化,将代数关系翻译成几何关系,设置几何关系的证明题,试题表述简洁,内容丰富,解法多样,覆盖较多的知识方法与思想,特别在试题的讲评方面具有很高的价值功能.

4.试题命制感悟

经历了近十年的数学命题实践,笔者在个人业务成长方面、试题命制方面等都有深刻的感触.数学试题命制,可促动命题者深入研究考试说明、教材、学科本质等,快速提升个人综合业务素质.在数学命题方面,笔者也有一些经验与感想.

4.1 思想的正确导向性

《普通高中数学课程标准》指出,高中数学课程以学生发展为本,落实立德树人根本任务,培育科学精神和创新意识,提升数学学科核心素养.试题命制首先应重视试题的思想正确导向,充分发挥试题的育人功能.通过试题,陶冶情操,渗透德育与美育,引导学生树立正确的人生观、世界观和价值观等,培养良好的思想品质和思维品质.

4.2 试题的科学严谨性

科学严谨性是试题命制的基本要求,试题素材与试题的逻辑等方面都应保证不能出问题,确保科学严谨.

4.3 试题表达的简洁性

试题的表述应尽量简洁,言简意赅,清楚地表述条件与设问.

4.4 条件呈现的条理性

试题的条件表述应按照一定的顺序呈现,符合一般的认知规律,让解答者在阅读的过程中可以更快读懂题意.如立体几何试题的条件呈现,可按照从“定性”到“定量”、“从上到下”等顺序,让解答者在读题过程中能够顺其自然地在脑海中浮现出相应的几何图形.

4.5 定义表述的准确性

命制创新型试题时,为了考查在新情境中阅读理解新材料,从而进行完成某种推理,往往要引入新定义,对新定义的表述应讲究严谨性,言简意赅,表达准确.

4.6 设问的难度递进性

若试题需设置多个小问题时,应注意从易到难地设问,也适度地考虑前后承接关系,使得整道试题“顺畅”,不显拼凑、造作.

4.7 试题交汇的自然性

知识交汇,也是常见的试题命制的一种手法,试题中的知识交汇应自然融合,不生硬,有浑然天成之感.

4.8 试题解法的多样性