注重式子结构,探寻解答策略

甘肃

数学题解答思路的获得主要来源于对题目中关键式子结构的精准理解,通过分析式子的结构特点、构成要素和取值变化趋势等,制定可能的解答预案,进而分析解答.下面笔者就从不同角度理解式子结构,分析学生出错原因,并给予一定的教学建议.

一、典例呈现

(1)讨论函数f(x)的单调性;

题意分析:第2问属于函数类不等式证明问题,可知题目类型常见,结构简洁,含有对数式lnx和指数式ex.可以引导学生从常规思路构造函数解答,如果遇到问题可以从不等式变换角度进行思考,或者尝试其他较为简洁的方法.

解析:(1)解答略;

(2)解法1.常规证法

所以x∈(0,x0),g′(x)>0,g(x)单调递增;x∈(x0,+∞),g′(x)<0,g(x)单调递减.

故而lnx-ex+2<0,原式成立.

教学建议:对于试卷中出现的上述问题,笔者建议教师应适当调整教学方向,可从以下方面进行:

①教师引导学生全面、精细的对题目条件进行分析,把握题目中文字的含义,从学生的角度思考;

②重点介绍设而不求的方法,当方程有根但无法求解时,可以考虑设点,但对于根的范围要尽量缩小,这样便于后面计算;

③多问学生“为什么”,“你是怎么想到的”和“我怎么样才可以想到”等问题,引导学生思维发展;

④帮助学生梳理总结,梳理目标是“下次遇到同类型的问题能迅速解答”.

解法2.构造函数,化繁为简

所以x∈(0,1),h′(x)<0,h(x)单调递减;x∈(1,+∞),h′(x)>0,h(x)单调递增.

当x=1时,h(x)min=h(1)=e,即h(x)≥e,当且仅当x=1时,等号成立.

问题诊断:这种构造法对学生的思维要求比较高,需要对不等式的结构有一个明确的认识,从解答情况来看,应用这种解答思路的学生非常少,但是应用这种思路的学生基本都解答正确.出现的问题主要是对lnx+2

教学建议:从学生出现的问题来看,对于这种思维的培养,教师要在平时的教学中注意以下几点:①引导学生多观察,从表达式结构和形式入手,能够看出表达式与其他式子的异同;②多总结,学生的学习有一个由生到熟的过程,在第一次遇到这种构造法时要引起足够的重视,研究这种做法的思维过程、适用条件等,保证下次遇到同类型的题目可以迅速解答;③从思维的高度分析,不要纠结于具体的数值运算,要专注于形成简洁的思维点,便于记忆,强调运用.

解法3.借助已知结论

现有结论ex≥x+1,当且仅当x=0时等号成立;x≥ln(x+1),当且仅当x=0时等号成立.

由于x≥ln(x+1),所以lnx≤x-1,即lnx+2≤x+1,当且仅当x=1时等号成立.

又由于ex≥x+1,所以lnx+2≤x+1≤ex,

由于两个等号不能同时成立,故lnx+2

问题诊断:通过评阅试卷发现这种解法只有极少数学生用到,而且证明过程简洁明了,说明考生的解答思路清晰,对不等式的理解准确,知识储备丰富,思考方向比较灵活.考生能够在短时间内选择这种思路,说明考生的数学能力非常强.

教学建议:要使学生的思维能够达到这种层次,需要教师自身对这种层次的知识应用有清晰的把握和丰富的实例储备,在教学中主要尝试新的思路和简便解法,例如:

①在运用常规方法解答完成后,调整思维方向,师生共同探讨此题的简单解法,培养学生的创新思维能力;②多总结,对于某一类型的试题要浓缩成一个思维点,便于当下的记忆和今后的运用;③多积累,要对经典的思维方法及时整理,同时和之前的知识系统对比分析,剔除掉不太实用的思维,及时吸收好的方法,不断自我完善,逐步提高.

【例2】已知函数f(x)=2mx2lnx-4x(m≠0),若函数f(x)有两个零点,求实数m的取值范围.

分析:零点问题的解决,首先需要转化为对应的方程,通过研究方程形式获得问题解决的突破口,从代数角度分析转化为函数图象问题,通过作出恰当的函数图象来解决问题.

函数f(x)有两个零点⟺方程2mx2lnx-4x=0有两个根⟺方程2mx2lnx=4x有两根.

故有x→0+时,p(x)→0.

由此可以作出p(x)的简图如图:

问题诊断:这种解答思路就是要作出函数p(x)的图象,在评阅试卷的过程中出现了以下问题:

①在确定函数边界的时候用到了夹击逼近的思想,这种思想需要构造恰当的函数进行计算,大部分学生想不到这种夹击逼近的思想,无法构造恰当的函数;②表述不规范.经过教师的讲解之后再让学生表述解答,出现了学生表述随意的问题,不能准确书写解答过程.

教学建议:要培养学生良好的构造素养,需要教师从以下方面做出调整:

①引导学生多观察表达式结构,明确表达式的取值变化特点,尝试构造函数进行解答;②多体会解题过程中的数学思想,这种数学思想会潜移默化地影响学生的思考方向,比如此题的数形结合思想就是解答的关键.

由此可以确定函数p(x)的图象.

问题诊断:这种方法的解答思路与解法1基本一致,只是在处理函数图象的时候用到了洛必达法则,学生由于对洛必达法则不太熟悉,所以首先在思路上难以想到洛必达法则,其次是洛必达法则的使用范围不太清楚.

教学建议:洛必达法则是大学的学习内容,学生在理解上可能有一定难度,教师可以对学有余力的学生进行指导,尝试用这种方法解决问题.教学的基本思路是延伸讲解洛必达法则的推导过程和应用特点.

解法3.方程2mx2lnx=4x有两根,显然x=1并不是方程的根.

由此需作出函数h(x)的图象,由于构造函数逼近求极限比较烦琐,下面利用洛必达法则来研究函数值在x=0和x=1附近的变化趋势.

据此h(x)有一条渐近线为x=1,可得函数简图如图,故m的取值范围是(-∞,-2e).

问题诊断:解答思路常规,入手容易,但是完整解答比较困难.主要按照分离参数法进行探究,在绘制函数图象的时候用到了洛必达法则求函数极限,在函数图象中出现了渐近线.大部分学生在绘制图象的过程中忽略了渐近线,导致无法绘制准确的函数图象.

教学建议:在具体教学过程中,教师要引导学生分析函数数值变化特点,由单调性探索图象的各种可能性,逐渐引导学生考虑渐近线的存在.特别需要强调的是,当出现分式函数或定义域间断的情况时,一定要考虑渐近线的存在.

小结:此题的三种思路都是源于对方程的变形处理,从方程2mx2lnx-4x=0有两个根出发,调整等号两边的表达式,从而获得不同的解答思路.从代数层面转化到几何层面进行分析思考.洛必达法则辅助函数图象的构造,渐近线的出现丰富了此道习题的解答思路,建议教师尝试引导能力较强的同学研究洛必达法则的应用,达到分层教学的目的.

二、总结与展望