基于整体回归教材 提升高考复习效率——以一道教材向量习题的探究拓展与应用为例

广东

高中数学教材是高中数学教师教学和学生学习数学知识的蓝本,教材中章节后面的习题都是经过教材编写者深思熟虑精挑细选的,是课本中例题的补充与延伸,具有很高的教学价值,很多试题甚至高考题的源头都是课本.因此作为数学教师,不仅在新课教学过程中要重视教材,而且在高三一轮复习过程中,也要基于整体把握去研究课本及课本后面的习题,注重深入挖掘习题的实用价值与导向作用,注重对习题的结论进行有效地拓展与延伸.进而拓宽学生的知识面,提升学生的数学思维与解题能力.笔者在复习完平面向量数量积内容后,对教材后面的一道B组习题进行了深入挖掘,将习题的结论进行了有效拓展,拓展后的结论与解三角形的知识进行了深度的融合,为一类难题的解答提供了可行的思考切入点.

一、教材后习题及其探究

人教A版高中数学旧教材必修4第二章第4节课后习题B组中有一道探究性的题目,题目如下:

图1 图2

习题探究:过圆心C作CD⊥AB,交AB于点D,如图2所示.

根据垂径定理可知,D为AB的中点,依据数量积的定义:

此题在B组题中以探究的形式出现,很多老师认为此题的价值不是很大,主要是用来让学生熟练数量积公式的.因此很多老师选择不让学生做,更不会引导学生探究拓展.使得学生错失一个很好的学习提升的机会.在新课教学中要拓展延伸虽然有一定的难度,但是可以为后面解三角形的知识埋下伏笔.

二、结论的拓展

图3 图4

拓展结论:已知点O为△ABC的外心,以三角形三个顶点为起点的半径所在的向量与以该顶点为起点的边长所在向量的数量积等于该边长平方的一半,即:

从证明过程来看,拓展结论与教材习题好像没有什么变化,但是拓展结论涉及了三角形外接圆的半径及其边长的平方,而解三角形中的正弦定理涉及了三角形的外接圆半径,余弦定理涉及了三角形边长的平方等,因此拓展结论就可以将向量知识与解三角形的知识进行融合.笔者在教学过程中发现,相关的题目屡见不鲜,但是学生做的情况往往很不理想.究其原因主要是没能从拓展结论着手,找到解题的突破口.

三、应用举例

由前面的分析可以总结出,只要涉及三角形外接圆的半径及三角形边长所在向量知识的题目,就可以优先从拓展结论着手思考,找到解题的切入点.由于拓展结论涉及两个知识的融合,因此这样的题目不仅多,而且难度也不小.笔者仅以以下两个典型例子,阐述遇到此类型题目时如何由拓展结论切入思考,进而顺利解题.

即cosB+cosCcosA=msinC,

=sinA

分析:此题涉及到向量的知识、解三角形的知识及基本不等式的知识,题目难度比应用举例一的还要大.不过题目条件当中涉及了三角形外接圆半径与边长所在的向量,虽然没有共起点,但是可以通过向量的减法法则变成共起点向量的数量积,进而使用拓展结论找到解题的突破口.具体解答过程如下:

由拓展结论得到

化简得3a2-4b2+c2=0,

由余弦定理及基本不等式知识得

四、结语