关于函数易错题类型的分析与纠编

福建

数学中的易错问题一直以来都是学生数学成绩提高的“绊脚石”,如何解决这个“老大难”问题,决定学生高考的成败.因此,教学中教师不仅要善于纠正错误,还要善于防止出现错误,及时反思、分析失误、寻找产生错误的原因,才能在教学的过程中制定出相应的方案,有效地避开可能形成的失误,达到纠编的效果.下面是笔者就函数这一章,解题时易错原因进行归纳、纠编与各位读者共享.

一、知识结构不全面导致的错误

学生在解答数学题时经常会出现“对而不全”这种情况,其实质是对所学知识掌握不够全面、理解不够深刻,所谓的“只见树木不见森林”,正是如此.如学习函数时,函数的定义域、值域和对应法则是构成函数的基本要素,然而很多学生在解题时还是经常会把定义域或值域给忽略掉，从而导致解题的错误.

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A.(0,+∞) B.(-∞,0)

C.(2,+∞) D.(-∞,-2)

【错因】利用复合函数单调性同增异减的特点求解复合函数单调性,忽略函数的定义域而导致选择B这个错误的答案.

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A.(1,3) B.(0,1)

【例3】已知mx2+x+1=0有且只有一根在区间(0,1)内,求m的取值范围.

【错解】设f(x)=mx2+x+1，∵mx2+x+1=0有且只有一根在区间(0,1)内，

∴f(0)·f(1)<0得m<-2.

【错因】对于一般f(x),若f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)上存在零点,误认为存在零点,就是存在唯一的零点而导致解题错误.对于二次函数f(x),若f(a)·f(b)<0则在区间(a,b)上存在唯一的零点,一次函数有同样的结论成立.但方程f(x)=0在区间(a,b)上有且只有一根时,不仅是f(a)·f(b)<0,也有可能f(a)·f(b)≤0，如二次函数图象是下列这种情况时.由图可知f(x)=0在区间(a,b)上有且只有一根,但是f(a)·f(b)≤0,

【正解】设f(x)=mx2+x+1,

(1)当m=0时方程的根为-1,不满足条件.

(2)当m≠0，∵mx2+x+1=0有且只有一根在区间(0,1)内,又f(0)=1>0,

综上所得,m<-2.

【纠编策略】对于以上类型造成的学生解答失误,在讲授新课时应加强学生对定义、概念的理解,设计相关问题,通过示错、纠错,让学生体会为什么错？错在哪？亲历错误,进行体验式学习,是一种好的预防方法.在学习时,教师可以利用“先入为主”这种思维方法,如学习零点存在定理之前,可先让学生画出满足f(a)·f(b)<0的函数f(x)的图象,收集、整理并展示,这样在他们学习伊始就对可能出现、容易犯的错误,进行一个预防,“提前干预”对于这类易错问题是一个很有效的办法.

二、运算路径不合理导致的错误

“会而不对”常常体现为“我会做,但却因为计算不认真、时间不够用等导致错误”.这也许是解题方法选择的不合理,运算的路径不科学导致计算量偏大而犯的失误,方法的不合理也会导致解题思路错综复杂,降低解题效率.

∴f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),所以该函数既不是奇函数也不是偶函数.

【错因】直接利用定义判断函数的奇偶性,而忽略函数的定义域在对绝对值进行化简时所起的作用,没有先对函数进行化简而直接用定义进行判断,导致判断错误.

∴f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),

∴该函数既不是奇函数也不是偶函数.

【错因】对数运算公式不熟悉,或者说奇偶性的判别方法不灵活.定义f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),也可改为研究f(-x)+f(x)=0,f(-x)-f(x)=0是否成立.

即f(-x)=-f(x)，∴f(x)是奇函数.

【纠编策略】对于由以上原因而造成的解题失误,教学过程中教师应该有意识地、经常性地进行“一题多解”教学活动,提供给学生多样化的解题思路,如在进行“函数的单调性”教学时,要让学生不断地体会利用定义判断、导数法、图象法、基本函数单调性判断、复合函数法等多种常用的方法进行单调性的判断,提供相应例题让学生比较各种方案在解题中的优劣,最终让学生能根据条件快速寻求对应的解题方案,有效避开繁杂的计算,减少解题中因计算而产生的失误.

三、充要条件未理清导致的错误

对于某些问题,学生在解题时经常把“充分不必要条件”或“必要不充分条件”当作是“充要条件”来使用,而导致的错误.例如,在解决奇函数问题时,用f(0)=0(0在定义域内)来解题,殊不知,若0在定义域内,f(0)=0只是f(x)是奇函数的必要不充分条件而非充要条件,例如f(x)=x2,其满足f(0)=0,但却不是奇函数而是偶函数.再如函数f(x)在某个区间D上可导,则在此区间f′(x)>0是f(x)在此区间内为增函数的充分不必要条件,而f′(x)≥0且f′(x)在定义域内的任意子区间不恒为0才是可导函数f(x)在定义域内单调递增的充要条件.

【例7】已知函数f(x)=ax3-x2+x在R上是增函数,求实数a的取值范围.

【错解】函数f(x)的导数f′(x)=3ax2-2x+1,且函数f(x)在R上是增函数,

【错因】f′(x)>0,可得可导函数的单调递增区间；反之,若函数f(x)在区间D上为增函数,则应f′(x)≥0在区间D上恒成立,学生在解题时往往理不清是否是充要关系,易漏等号.

【正解】函数f(x)的导数f′(x)=3ax2-2x+1,且函数f(x)在R上是增函数,

所以有f′(x)≥0在R上恒成立,

【例8】当m为何值时,x2+(m-2)x-m+5=0方程的两根均大于2.

【纠编策略】对于由此类原因而导致的解题失误,我们则更多地利用实例讲解,通过解题后反思,利用特例进行检验、验证,发现问题、纠正等方法,有效弥补学生解题时产生的错误.

四、知识相近审题难导致的错误

“似曾相识”是这类易错题最基本的特征,学生在解决问题的过程中会遇到诸多“似曾相识”的问题,这些问题的实质都是所学过的一些知识内容的变式,总结起来有以下三种类型:(1)“形似质同”,利用某个概念或数学模型进行简单的变形,达到考查的目的；(2)“形似质非”,命题者设计与某个概念或数学模型结构特征相似但却不能用此模型加以解释；(3)“形非质同”,命题者命题时不以原型或简单的变形显示,而需要通过整理转化才能获得原有模型.学生常常会不假思索地应用头脑中已有的模型进行解题作答,因此也常常会陷入考查陷阱导致失误.

【例10】已知曲线f(x)=2x3-3x,过点M(0,32)作曲线f(x)的切线,求切线方程.

【错解】由导数的几何意义知k=f′(0)=-3,所以曲线的切线方程为y=-3x+32.

【错因】过某一点的切线,误认为M(0,32)就是切点,忽视切点位置导致的错误.

解得x0=-2,所以切线方程为y=21x+32.

注意:导数的几何意义是过曲线上该点的切线的斜率,应注意此点是否在曲线上.

【例11】函数f(x)=ax2+(a-3)x+1的减区间为[-1,+∞),则实数a=

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A.-3 B.(-∞,-3]

C.[-2,0] D.[-3,0]

【错解】当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上递减,满足条件.

解得-3≤a<0.综上,a的取值范围为[-3,0].答案D.

【错因】对函数的单调区间和函数在某个区间单调这两个知识点含混不清,误把函数减区间等价于函数在某个区间递减而导致解题错误.

【纠编策略】对于此类易错题,学生要善于对模型进行识别,辨清应用模型的条件是否发生变化,教师在教学时要加强变式训练,通过变式,实施对比,找出差异,让学生体会“形似”并不一定“质同”,从而有效打破学生的思维定式,学会认真审题、注意识别知识的差异,辨清题目再进行解题,养成良好的思维习惯,有效纠正类似问题的解答错误.