全国卷高考解三角形试题的命题特点及备考策略简析

2021-05-28江苏

教学考试(高考数学) 2021年2期

江苏

解三角形试题将几何图形与代数运算融为一体，既有对任意三角形的边长与角度关系的内部探索，其结论(正余弦定理、面积公式等)又具有极强的应用价值，也是每年高考必考内容之一.纵观近几年的全国卷，不难发现，解三角形试题在命题特点和解题方法上均有一定的规律性、重复性和借鉴性.本文将对近九年(2012-2020)高考数学全国卷中的解三角形试题进行分析探究，以期对大家在相关内容的复习备考上有所启发与帮助.

一、题型、题号及主要涉及内容

从考查内容的表层来看，涉及的核心知识点有正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基本内容.但往往并不是直接考查公式的应用，而是需要对其灵活变形、交融使用；同时，还会与三角函数、不等式、平面向量、三角恒等变换、诱导公式、数列等知识相互交汇、联合命题，这是解三角形问题的重点考查内容，也是高考的热点.从题型的设置来看，包括选择、填空和解答题，一般来讲，每年只考一道试题，若是解答题，则放在第17题(第一个大题)的位置，一般难度不大.若不是解答题，则会出一道选择或填空题，一般题号靠后，难度较大，以全国卷一理科为例，可总结如下表.

年份题号考点内容分值201217正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换、诱导公式12201317正弦定理、余弦定理、三角恒等变换12

二、命题特点

(一)着力知识点的主体性、稳定性和交融性

以正弦定理、余弦定理、面积公式和三角恒等变换为历年考查的主体内容，这一点比较稳定.但是各个知识点并非孤立命题，着力公式间的相互融合，特别是正余弦定理和面积公式.正弦定理的主要作用是实现边角之间的互化，也就是说，当等式的两端是边的齐次时，可直接将边转化为对角的正弦，反之，同样可以转化，这在历年的高考全国卷中几乎都有所体现.

2012全

sinB+sinC

2013全

国卷二→a=bcosC+csinB→sinA=sinBcosC+sinCsinB

2014全

国卷一→(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC→(sinA+sinB)(sinA-sinB)=

(sinC-sinB)sinC

2016全

国卷一→2cosC(acosB+bcosA)=c→2cosC(sinAcosB+

sinBcosA)=sinC

2017全

2019全

国卷一→(sinB-sinC)2=

sin2A-sinBsinC→(b-c)2=a2-bc

2020全

国卷二→sin2A-sin2B-sin2C=

sinBsinC→b2+c2-a2=-bc

高考真题已知考查特点2012全国卷一边a及角A由面积求周长(边长)2013全国卷二边b及角B周长、面积均未知,求面积的最大值2014全国卷一边a及角A周长、面积均未知,求面积的最大值2016全国卷一边c及角C由面积求周长

续表

(二)注重考查三角形面积公式的灵活应用

(三)图形题更具灵活性

正余弦定理实际上是一个工具，其核心价值就是解三角形.通过对近几年全国卷中解三角形试题的整理，发现有时题目会将平面图形直接呈现出来，这类问题往往对学生的逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养要求较高.

分析:所谓解三角形，就是已知三角形中的一些量求另外一些量的过程，但首先要确定的是解哪个三角形，这就要认真观察题目的条件及问题中主要涉及了哪些量，由已知量还能确定哪些量，这些量又集中在哪个三角形中，然后再结合正余弦定理进行求解.本题作为填空题的压轴题，难度稍大，涉及的三角形较多，首先要在△ACE中，利用余弦定理求得CE，可得出CF，利用勾股定理计算出BC，BD，可得出BF，然后在△BCF中利用余弦定理可求得cos∠FCB.

三、备考建议

(一)构建知识框架，凸显“单元”、“主题”背景

主题、单元式教学作为当前新课改强调的一个重点内容，着力于知识的整体关联性、思维的系统性和方法的普适性，在实际教学中可切实防止“割裂式、碎片化、独立性”的教学行为.新教材(以2019新人教A版为例)中对于解三角形内容的设置，是在“平面向量及其应用”这一大单元背景下，“平面向量的应用”一节的一个分支.

实际

背景→向量的

概念→向量运算及

其几何意义→平面向量基本定

理及坐标表示→向量的

应用

鉴于“解三角形”一节内容是建立在“平面向量及其应用”这一“大背景”下构建的知识模块，因此，应深挖两者之间的逻辑关系.事实上，无论是余弦定理还是正弦定理，教材中对知识本身的构建均利用了向量的工具性作用.这也从侧面反映了新教材更重视知识的产生过程、逻辑关系和数学的应用价值，这也是在对本章内容复习的过程中，需着重强调的内容.