数学建模视角下的新加坡小学数学书Learning Maths

[摘 要] 新加坡数学在TIMSS和PISA两大测试中脱颖而出，备受国际数学教育界关注。新加坡数学练习书Learning Maths将新加坡数学教育的精髓数学建模融入其中，而且在解题方法、编排方式、学习效果检测、家庭教育、信息技术的应用等方面具有独特之处。通过对新加坡小学数学书Learning Maths的剖析，进一步挖掘新加坡数学教育的内涵，探讨其中可资借鉴之处。

[关键词] 新加坡数学;数学建模;Learning Maths;数学教育;教学大纲

[作者简介] 王丽美（1987—），女，山东临沂人，硕士，滇西科技师范学院数理学院讲师，主要从事数学教育、教育统计研究。

[中图分类号] G40-01  [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2021）13-0147-04   [收稿日期] 2020-12-29

一、问题提出

数学成就的国际研究在数学教育界日益受到重视，最引人注目的是由国际教育成就评价协会（IEA）主导的“国际数学与科学教育成就趋势调查研究（TIMSS）”，以及由经济合作与发展组织（OECD）主持的国际学生评估项目（PISA），这两项研究旨在评估不同国家及地区学生的学业成就，同时致力于寻找解释学生数学成就差异的原因[1] （P1）。新加坡数学在TIMSS和PISA两大测试中脱颖而出，得到了国际数学教育界的重视与关注，这也映射出新加坡数学教育的独到之处，即加强了数学建模思维在数学教育中的渗透。本研究从数学建模视角分析新加坡数学练习书Learning Maths，期望为我国中小学数学丛书的编写提供可借鉴的地方。

张文宇和傅海伦对新加坡数学教材My Pals are Here！Maths进行剖析，提出了此本数学教材很好地将问题解决与数学教学结合，优于我国数学教材的地方[2]。郭红敏在硕士学位论文中对新加坡数学教材My Pals are Here！Maths进行了具体比较分析和研究，指出新加坡数学教材中例题和习题随着年级的升高数量呈上升趋势，认为这本数学教材是新加坡使用范围最广泛、被公认较为成功的一版教科书[3]。

本文研究的新加坡数学练习书Learning Maths正是新加坡数学教材My Pals are Here！ Maths的配套练习书，涵盖了从幼儿园到小学阶段（Nursery-G6），由Singapore Asia Publishers（新亚出版社，简称SAP）出版。这家出版社主要出版幼儿园和中小学各科的辅导教材，新加坡最畅销的数学练习书就是这本Learning Maths。通过对新加坡小学数学书Learning Maths的剖析，进一步挖掘新加坡数学教育的内涵，以期为我国小学数学丛书的编写提供有益的借鉴。

二、新加坡数学教育的特点

新加坡的数学教育主要是突出发展逻辑演绎和归纳能力，并通过解决数学问题发展学生的数学思维和推理技能[4]。新加坡数学最大的亮点就是“中西合璧”，既有东方人的学习风格，又接轨了西方的学习方式，借鉴了西方的经验，而且用全英文教学。这就形成了新加坡独特的数学教育观念。

新加坡数学特有的“CPA教学法”，也被称为“三步教学法”，最早是在20世纪60年代由美国心理学家杰罗姆·布鲁纳（Jerome Bruner）提出的[5]。新加坡小学数学学习的过程经历了以下三个阶段：C-Concrete具象化、P-Pictorial形象化和A-Abstract抽象化。而新加坡数学教育最大的亮点在于这个形象化过程，也就是“Model Drawing”。通过这种形象化环节衍生出数学建模，建立简单易懂、标准化的模型来解决数学问题。新加坡的学生从一年级就开始接触这种思维模式，将抽象的数学问题用图像的形式进行表现，让学生直观地理解各事物之间的联系，更好地帮助学生解决数学问题，从而培养学生的数学思维和提高学生解决数学问题的能力。瑞士发展心理学家皮亚杰提出认知发展阶段论：2～7岁的孩子处在前运算阶段，7～11岁的孩子仅处于具体运算的阶段[6] （P112-113）。也就是说，中小学生正处在形象思维发达的阶段，而抽象逻辑思维能力还在形成中。新加坡数学“CPA教学法”正好符合发展心理学这一理论。新加坡数学教学大纲2013版明确了课堂教学中数学建模的过程，强调从现实情境中提炼出数学建模，利用数学方法加以解决，再回归现实情境给出解题方案[7]。建模思维模式应该是新加坡数学教育最重要的特色了。

三、Learning Maths的独特之处

SAP出版的Learning Maths完全配套新加坡数学教材My Pals are Here！Maths，涵盖了从幼儿园到小学阶段（Nursery-G6）。這套数学练习书将新加坡数学教育理念融会贯通，独特之处主要表现在以下几个方面：

（一）注重数学建模教学法

数学建模是现实世界与数学世界沟通的桥梁，进入21世纪，很多国家将数学建模纳入数学课程标准中，数学建模越来越受到数学教育界的重视[8]。新加坡小学数学书Learning Maths加入了新加坡数学的精髓数学建模，注重培养小学生的推理能力和抽象思维能力，通过创设情境，锻炼学生解决问题的能力。该数学书主要涵盖了以下三种建模方法。

1.counting建模法。counting建模法是最初级的数学建模模型，主要应用在数数、代数和运算中。新加坡数学注重这个形象过程的建立，通过简单模型的建立，让学生掌握解题方法和思路，形成数学思维。

2.拆分组合建模法。拆分建模法是将数（两位数）拆分成整十数和个位数，这样就将两位数加法简化成一位数加法，使题目变得更简单，也能更快得出答案。组合建模法可以用在多个数组合相加的运算中，我们经常将整十的数组合在一起，也就是Make Ten（凑10）原则。在多个数相加的运算中，可以用组合建模法来计算，这样降低了题目的难度，计算速度也加快了。

3.Word Problem建模法。在数学学习的过程中，应用题是常见的题型。应用题是用文字来表述数量关系，包括已知条件和所求问题。中小学生往往不能很好地理解应用题的题意。通过Word Problem建模法主要是简化应用题，帮助中小学生理解题意，将题目可视化，从而解出数学问题。

（二）解题方法多样

Learning Maths里面的题目对应新加坡数学教材，采用“从易到难，螺旋上升”的编排方式，而且题目的灵活度比较高，同一个数学概念可以用多种不同的解题方法和思路。比如加法运算题，可以用6种解题思路来充分认识加法概念——counting建模法、数位拆分组合法、竖式计算、凑整原则、两位数的竖式计算、进位加法。同时，这套书重视数学应用题，从小学一年级就开始涉及求解应用题，每个模块的学习中，先给出一页的范例供学生思考，然后配有相应的应用题来锻炼学生的数学思维。在养成数学逻辑思维模式的同時，还可以锻炼中小学生的英语阅读水平。

（三）重视编排方式的合理性

新加坡小学数学书采用内容上小跨度的螺旋模式，题目依据“由易到难、螺旋上升”的规律去设计，使题目的跨度合理，将知识和内容很好地衔接起来。新加坡数学教科书比较重视例题呈现的完整性，几乎所有的例题都呈现完整性。而这本Learning Maths每道题都附有详细的解答过程，让中小学生养成良好的作答习惯，也供家长和学生参考[3]。

（四）配套的数学学习效果检测

从一年级开始，每本书目录的后面都有一张Work Performance，也就是学习效果表。通过学习效果表学生能很清楚地看到题目的进度和掌握度。而且每本书都有一个配套的在线学习资料，可以在线检测最近的学习效果，资料后面都附有详细的答案可以参考。这种形式的学习可以有效检测中小学生的学习效果，提高学生的自我监控和调控能力。

（五）融入家庭数学教育

新加坡数学教材My Pals are Here！Maths中有“Home Maths”栏目，而这套Learning Maths完全可以作为“Home Maths”，成为学校教育与家庭教育的一个桥梁。该栏目主要是让家长和学生一起做数学活动，给家长参与孩子的数学学习提供有意义、具体的建议。这样不仅可以增进亲子关系，也可以提高孩子学习数学的兴趣，实现家庭与学校教育的有效结合[9] （P9）。

（六）信息技术的使用

信息技术的使用是新加坡小学数学书Learning Maths的又一大特色，教材的很多内容都与信息技术深度融合。这给学生提供了丰富的资源，有利于学生掌握利用信息技术解决问题的能力。特别是几何画板在教学活动中的灵活使用，充分发挥了“以学生为主体，以教师为主导”的新课程模式的作用，激发了学生的学习兴趣，提高了学生自主探究的能力。

四、启示

通过对新加坡小学数学书Learning Maths的分析，我们可以看出新加坡练习册建立在最新版2013版的新加坡数学教学大纲的基础上，而且完全匹配新加坡最受欢迎且使用率最高的数学教材;充分融入了新加坡数学教学理念和数学教学法，将数学建模贯穿始终;合理的编排方式和完善的配套资源，可有效地检测学习效果。总结新加坡数学书Learning Maths的独特之处，以期为中国中小学数学丛书的修订和编写提供一些帮助。

（一）数学建模思想的渗透

早在2001年，《全日制义务教育数学课程标准（实验版）》中就提出，小学数学具体鲜明的阶段性、初始性特点，更多地是指用数学建模的思想来指导数学的学习，从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽成数学建模并进行解释与运用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展[ 10 ]。中国与新加坡有相似的东方文化，我们可以多借鉴新加坡独特的数学教育理念，结合我国小学数学教育的具体情况，来指导我国小学数学丛书的编写和制定。充分发挥数学建模思想对于小学数学学习的指导作用，让小学生将实际问题抽象成数学问题，并通过解决数学问题来发展学生的数学思维。

（二）关注教材配套资源的审核和规范

我国数学教材配套资源良莠不齐，而新加坡完整的教材配套措施和严格的教材审核制度是一种有益的借鉴[ 11 ]。针对我们的小学数学教育大纲和数学教材编写完全配套的数学丛书，题目应依据“由易到难、螺旋上升”的规律去设计，使题目的跨度合理，衔接性更强。特别是增强题目的灵活度，使我国小学生在透彻理解数学概念的基础上，采用多种数学解题思路和角度去解决数学问题。并且加大数学应用题的比例，让数学题目更加接近生活，使数学生活化，从而激发小学生学习数学的兴趣。小学数学丛书的答案要充分体现完整性，既引导学生在解决数学问题时重视数学过程，又为小学生提供学习的帮助。

（三）重视家庭教育和学习效果的检测

数学教育中家庭教育占有不可忽视的地位，也是家长了解学生学习状况和检测学生学习效果的一种途径。2015年10月，教育部下发了《关于加强家庭教育工作的指导意见》，2019年新修订的《全国家庭教育指导大纲》，以习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平关于教育的重要论述为指导，进一步明确了家长在家庭教育中的主体责任，希望家长在不断全面学习家庭教育知识的基础上，更加系统掌握家庭教育的科学理念和方法[ 12 ]。我国小学数学丛书可以加入“Home Maths”栏目，并增加在线配套练习系统，使家长参与学校教育，更科学地指导孩子的数学学习，也为家长指导孩子提供素材。

（四）注重信息技术与教材的深度融合

新加坡小学数学书Learning Maths与信息技术深度融合，给数学教育带来勃勃生机。2019年2月，中共中央、国务院印发的《中国教育现代化2035》开启了教育现代化的新征程，让信息技术发挥最大的优势，将数学学科与信息技术深度融合，更好地为教学和学生服务。这一重要政策要求我们重视信息技术与教材的深度融合，充分发挥信息技术的作用，为实现中国教育现代化2035贡献一份力量。

2017年7月，为贯彻落实《关于加强和改进新形势下大中小学教材建设的意见》，国务院决定成立国家教材委员会，足以彰显国家对于教材的重视程度。通过对新加坡小学数学书Learning Maths的剖析，进一步挖掘新加坡数学教育的内涵，以期为我国小学数学丛书的编写提供有益的借鉴。

参考文献

[1]曹一鸣，梁贯成.21世纪的中国数学教育[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]张文宇，傅海伦.新加坡与中国小学数学教材的比较研究[J].外国教育研究，2011（7）：36-39+82.

[3]郭红敏.中国与新加坡小学数学教科书的比较研究[D].曲阜：曲阜师范大学，2016.

[4]李涵.新加坡小学数学教育的特点及其启示[J].教学与管理，2018（29）：56-58.

[5]Bruner JS. The Course of Cognitive Growth[J].AMERICAN PSYCHOLOGIST， 19（1）：1-15.

[6]Piaget Jean. The principles of genetic epistemology[M]Routledge and K. Paul，1970.

[7]金海月，乔雪峰.新加坡数学课程特色、发展趋向及其启示[J].外国中小学教育，2017（3）：61-66+73.

[8]黄英芬，颜宝平，龙红兰.从应用题到建模问题的回译——一种开发数学建模素材的新思路[J].数学通报，2019（9）：34-37.

[9]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京师范大学出版社，2011.

[10]许卫兵.磨·模·魔——小学数学教学中渗透模型思想的思考[J].课程·教材·教法，2012（1）：89-94.

[11]沈丹丹，郭芳莉.新加坡小學数学教材的发展过程、特色及启示[J].课程·教材·教法，2010（7）：102-106+112.

[12]中华人民共和国教育部.教育部关于加强家庭教育工作的指导意见[Z].中华人民共和国教育部公报，2015：49-51.

Abstract： The outstanding performance of Singapore mathematics education in TIMSS and PISA has attracted much attention from the international mathematics education circles. Singapore mathematics exercise book learning maths incorporates mathematical modeling which is the essence of Singapore mathematics education. This book has its own unique features in problem solving methods， compilation methods， testing of learning effects， family education， application of information technology and so on. Through the analysis of Learning Maths， a primary school math book in Singapore， this paper further explores the connotation of Singapores mathematics education， hoping to provide a useful reference for Chinas mathematics education.

Key words： Singapore mathematics; mathematical modeling; Learning Maths; mathematics education; syllabus