立足“前概念”的数学概念教学探索

华铠

摘要：学生在学习数学概念之前，通常都会在日常生活和先前学习经验的基础上形成“前概念”——与新概念相关的认识。有些前概念是对新概念的不完整或不全面理解，有些前概念是对新概念的错误理解，有些前概念是与新概念相近的正确的旧概念;此外，学生的前概念中很可能缺少对一些相关概念的认识。教师应该根据不同类别的前概念对数学概念学习的影响，采取相应的教学策略，“轻负高效”地展开教学。以《体积和容积》一课为例来说明。

关键词：前概念;数学概念教学;以学定教;《体积和容积》

美国著名教育心理学家奥苏伯尔说过：“影响学习的唯一重要的因素，就是学习者已经知道了什么。要探明这一点，并应据此进行教学。”学生在学习数学概念之前，通常都会在日常生活和先前学习经验的基础上形成“前概念”——与新概念相关的认识。前概念会影响新概念的学习。因此，教师在数学概念的教学中，不能对学生做简单的“灌输”，而应该探明学生的前概念，并据此引导、帮助学生建构、理解新概念。

具体来说，有些前概念是对新概念的不完整或不全面理解。这些前概念与新概念并不相悖，也无冲突，反而是学习新概念的生长点。教师要引导学生基于这一类前概念，自然建构新概念。有些前概念是对新概念的错误理解。这些前概念与新概念大相径庭，彼此冲突，因而是学习新概念的障碍物。教师要帮助学生摒弃这一类前概念，从而排除干扰，真正理解新概念。有些前概念是与新概念相近的正确的旧概念。这些前概念与新概念的区别很微小，因而很难辨别、容易混淆。教师要引导学生通过比较，辨析这一类前概念，从而不仅建构新概念，而且完善知识结构。此外，学生的前概念中很可能缺少对一些相关概念的认识。数学概念教学还要帮助学生联系相关概念，完善知识结构，充分理解新概念。也就是说，教师应该根据不同类别的前概念对数学概念学习的影响，采取相应的教学策略，“轻负高效”地展开教学。

下面，以《体积和容积》一课为例，谈谈笔者的做法。

一、探明学生的各类前概念

六年级学生在学习“体积”和“容积”这两个概念之前，对它们的认识并非一张白纸。课前，笔者设计调查问卷，调查学生对“体积”和“容积”的前概念。结果表明，学生的不完整或不全面前概念有：大部分物体都占有一定的空间，看不见的物体不占有空间;物体占有的空间有大有小;容器中装了物体，物体的体积就是容器的容积。学生的错误前概念有：表面积大，物体占有的空间就大;质量重，物体占有的空间就大;形状发生变化，物体占有的空间大小也变化;体积大的物体容积一定大。学生的易混淆前概念有：物体的容积就是体积。学生的前概念中缺少对长度、面积等相关概念的认识。

二、根据学生的各类前概念，引导、帮助学生建构、理解新概念

（一）基于不完整或不全面的前概念，建构体积概念

由上述调查结果可知，学生对“体积”有不完整或不全面的前概念。因此，教师可以创设有趣的情境，激活学生这样的前概念，在此基础上引导学生类比举例、推向一般（特别需要引导学生认识到，空气等看不见的物体也占有空间），从而水到渠成地建构体积概念。具体的教学片段如下：

师刘谦的魔术很受欢迎，今天老师也来变个魔术。（演示实验：准备甲、乙两个完全相同的杯子，在乙杯中放入一些石块，在甲杯中倒满水，再将甲杯中的水倒入乙杯，发现乙杯溢出一些水）两个相同的杯子为什么装不下一样多的水呢？

生因为乙杯中有石块。

师为什么杯子里有石块，就装不下这么多水了呢？

生因为石块占了一定的地方。

师是的。数学上，我们说石块占空间。（稍停）除了石块占空间，找一找，还有什么占空间？想一想，什么不占空间？

生铅笔占空间。

生书本占空间。

生空气占空间。

……

生任何物体都占空间。

师人占空间吗？

生占。

师那老师和××同学比，你发现了什么？

生老师占的空间大，同学占的空间小。

师物体所占空间的大小叫作物体的体积。

（二）摒弃错误的前概念，理解体积概念

由上述调查结果可知，学生对“体积”错误的前概念，集中体现在对体积与面积、质量、形状关系的认识上。因此，教师需要创设比较的情境，激发学生的认知冲突，让学生感到自己的前概念失去了作用，不能解释当前的现象，不能解决当前的问题，从而主动摒弃错误的前概念，真正理解体积概念。具体的教学片段如下：

师（出示两本书，第一本封面面积大，但书薄;第二本封面面积小，但书厚）这两本书，谁的体积大？为什么？

生第一本的体积大，因为它的面积比较大。

师第一本确实有两个面的面积很大，但是体积就一定大吗？（将第一本书折起来）现在你有什么发现？

生这本书虽然有两个面的面积大，但是它薄。折起来看，两本书的体积一样大。

师快速判断：一斤棉花和一斤铁块，谁的体积大？

生体积一样大，因为都是一斤。

师质量一样，体积就一样吗？或者说，质量大，体积就大吗？（出示一个气球和一个皮球，让学生掂一掂、看一看）谁的质量大？谁的体积大？

生气球质量小，但是体积大;皮球质量大，但是体积小。

师（出示一块橡皮泥）这块橡皮泥所占空间的大小是这块橡皮泥的——

生体积。

师（把橡皮泥搓圆、压扁）现在与原来比，形状发生变化了吗？体积发生变化了吗？为什么？

生形状变了，体积没变，因为还是同一块橡皮泥。

师形状不同，体积不一定不同。

（三）辨析易混淆的前概念，建构容积概念

由上述调查结果可知，学生对“容积”虽然有不完整或不全面的前概念，也有错误的前概念，但是其产生的根源在于易混淆的前概念，即体积概念。因此，教师应该引导学生多角度、多层次地对比容积与体积，看清两个概念之间的联系与区别，从而既建构容积概念，又完善与体积概念有关的知识结构。初步认识容积概念后，教学片段如下：

师（出示一个木盒和一个魔方）这里的木盒和魔方，谁的体积大？谁的容积大？

生木盒的体积大。魔方没有容积。

师没错。物体都有体积，但只有容器有容积。那么，木盒的体积和容积，哪个大？

生木盒的体积比容积大。

师是的。同一个物体，它的体积总是比容积大，因为壁有厚度。

（四）联系更多的相关概念，完善与体积概念有关的知识结构

由上述调查结果可知，学生对“体积”的前概念中还缺少对更多相关概念的认识。因此，教师可以联系更多的相关概念，帮助学生进一步完善与体积概念有关的知识结构。这样，学生对体积概念的认识才不孤立、更稳固，理解才算到位，学习才算高效。具体來说，可以引导学生由比较一维的长度到比较二维的面积再到比较三维的体积——

师（出示两条边，一条长6厘米，另一条长5厘米）谁大？比的是什么？

生第一条大，比的是长度。

师（加上宽，形成面，一个是边长6厘米的正方形，另一个是边长5厘米的正方形）现在谁大？比的是什么？

生第一个大，比的是面积。

师（加上高，成为体，一个是棱长6厘米的正方体，另一个是棱长5厘米的正方体）谁大？比的是什么？

生还是第一个大，比的是体积。

最后需要指出的是，数学概念往往抽象程度高，牵涉范围广，其学习往往不能一步到位，需要螺旋上升。比如，在后续“体积与容积的单位”“长方体和正方体的体积计算”等内容的教学中，教师需要引导学生不断深入地理解体积与容积的概念。