中学生思维发展的心理学研究及其对数学教学的启示

苏日娜 喻平

摘要：心理学研究表明，中学生的思维发展有一定的规律，在思维发展的关键阶段进行适当的教育干预，可以取得较好的教学效果。对相关的研究做简单的梳理，借助这些研究成果提出一些中学数学教学的建议：在初一至初二阶段强调逻辑思维培养;在初三至高一阶段加强空间思维的培养;在高一至高二阶段突出概括能力的培养。

关键词：思维发展;数学教学;逻辑思维;空间思维;概括能力

心理学一般把人类的思维分为直观行动思维、具体形象思维、抽象逻辑思维三种形式。前两种形式适用于学前儿童和小学低年级阶段儿童，中学生的思维形式主要是抽象逻辑思维。心理学研究表明，中学生的思维发展有一定的规律，在其思维发展的关键阶段进行适当的教育干预，可以取得较好的教学效果。本文对中学生思维发展的相关研究做简单的梳理，并借助这些研究成果提出一些中学数学教学的建议。

一、心理学对中学生思维发展的研究

（一）中学生的思维发展

林崇德教授将抽象逻辑思维分为两种水平：一种需要具体经验的支持，属于经验型抽象逻辑思维;另一种则是从具体上升为理论，又用理论指导去获得具体知识，包括归纳过程和演绎过程两种形式。抽象逻辑思维也可以分为形式逻辑思维和辩证逻辑思维两个阶段：形式逻辑思维是指依据形式逻辑法则来推理的思维;辩证逻辑思维是指在形式逻辑思维的基础上应用哲学的对立性、转化性、系统性的思维。

一般说来，初中阶段的思维形式多是经验型，高中阶段的思维形式多是理论型。从初二开始，学生的抽象逻辑思维由经验型向理论型转化，到高二，这种转化基本完成。初二明显表现出飞跃、突变和分化，高二则趋于定型。

全国青少年心理研究协作组曾对全国23个省、市、自治区的初一、初三和高二学生进行大规模的调查研究。研究结果显示，形式逻辑思维在初一阶段就已占据优势，到高二阶段已经基本成熟，说明具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡和转变在小学阶段就已基本完成。归纳推理、演绎推理在各年级间存在显著差异。初一学生虽已开始具备各种推理能力，但假言、选言、复合、连锁等演绎推理和运用推理解决问题的能力都还比较弱。与初一学生比较，初三学生的推理能力已有质的区别，说明初二是一个转折期。而辩证逻辑思维在初一阶段已经初步具备，到高二阶段明显占据优势。在性别差异方面，男女生的思维发展水平没有显著差异。而林钟敏等的研究也表明中学男女生在形式逻辑推理能力方面不存在显著差异。

黄煜烽等对全国19个省、市的三种不同类型学校的初一、初三、高二学生进行了逻辑推理能力的测量研究，结果发现：在整个中学阶段，学生的推理能力随着年级的提高而发展，而归纳推理的发展在初二阶段尤为迅速;在整个中学阶段，归纳推理发展的水平要高于演绎推理，而在演绎推理中，直言推理能力发展较好，连锁推理能力发展较差。

Csapó设计了数字类比、言语类比、数字序列、言语序列、编码、排除六项归纳推理测验，以三、五、七、九、十一年级学生为被试。不同年级学生的比较结果表明，归纳推理能力发展最快的时期是五年级到九年级之间;在三年级时学生就有了归纳推理能力，在九年级之后归纳推理能力的发展只有轻微的变化。

在形式逻辑上，假言推理一般有两种形式：一是充分条件的假言推理，即以一个充分条件的假言判断为前提的推理，表现形式为“如果……则……”;二是必要条件的假言推理，即以一个必要条件的假言判断为前提的推理，表现形式为“只有……才……”。李丹等对小学三年级到初中三年级的495名被试进行了测试，结果发现：假言推理能力在小学三年级就有初步表现，但真正掌握要到初中一年级，在小学六年级、初中一年级之间出现加速现象;总的看来，发展阶段比直言三段论式推理推迟一年左右。

滕洪昌等对从小学到大学的学生进行测量，发现被试对充分、必要条件假言推理的掌握存在差异，即对必要条件的掌握明显高于充分条件，这说明学生假言推理能力的发展是不平衡的。但从发展的角度来讲，学生的推理能力逐渐提高，有持续上升的趋势，初中生和高中生没有显著差异。

刘志雅等用“和”“或”“当且仅当……那么……”“如果……则……”“只有……才……”等文字呈现形式对各个阶段的学生进行了复合命题测试。结果显示，在儿童期、少年期和成年期中，后两个时期相对于前一个时期，复合命题的理解能力获得显著发展。各种命题类型的理解表现出不同的发展特点：联言命题的理解在小学阶段已基本完备;选言命题和充要条件命题的理解在小学阶段也得到初步发展，在初中和大学阶段获得显著发展并达到较高的水平;充分条件命题和必要条件命題的理解基本上要到初中阶段才初步具备，需要终身发展并难以达到较高的水平。

李云峰等发现，直言三段论式正误辨别过程以具体内容为材料时，中学生在各个年龄阶段有显著差异，但采用相同命题时，中学生并没有表现出年龄特点。这说明内容的效应随年龄增长而增强。在初一时，女生的反应时间要长于男生，但正确率较高。他们认为，高一至大一是关键期，年龄发展差异在此阶段尤为显著;同时也是男女思维出现差异的重要时期。

郝嘉佳等选取小学二年级、小学五年级、初二和高二约1900名学生，对其具体形象思维、形式逻辑思维和抽象逻辑思维的发展模式和轨迹进行全面描绘。对具体形象思维，主要从心理旋转和空间想象两个方面测量;对形式逻辑思维，主要从归纳推理和演绎推理两个方面测量。调查发现，学生的视知觉空间能力和推理能力在11岁之前逐渐发展，从11岁开始发展变得缓慢。这表明，11岁之前是学生思维发展最为迅速的阶段，也是培养学生思维的敏感期。之后，学生的各种思维表现出不同的发展模式。形象归纳推理能力从小学二年级到高二一直保持上升的趋势;心理旋转和抽象演绎推理能力高二显著高于初二，小学五年级高于小学二年级，而初二与小学五年级之间没有显著差异，这表明初二之前都是平缓期，初二之后进入发展期。与此相反，空间想象、抽象归纳推理与形象演绎推理能力，初二显著高于小学五年级，小学五年级显著高于小学二年级，但初二与高二之间没有显著差异，这表明初二之后进入平缓期，初二之前都是发展期。因辩证思维到中学阶段才开始发展，基于此，研究发现，高二显著高于初二。

“青少年科学思维能力的发展与培养”课题组采取定性研究与定量研究相结合的方式，综合应用文献法、测验法，研究了青少年的思维发展。结果显示，高中生已经具备了抽象思维能力，但还没有成熟。抽象思维方面，逻辑推理能力较强，分析综合能力较弱，而抽象概括能力更弱;男女生之间存在差异但不显著，男生高于女生。中学生的形象思维能力随着年龄的增长而不断发展，但仍存在关键期和成熟期。从初三到高一这一阶段是中学生形象思维能力迅速发展的时期，高二趋于成熟。而且，形象思维能力存在性别差异：初一、初二时并无明显差异，但初三时男生的发展速度明显高于女生;男生的形象思维能力在高一阶段基本成熟，女生到高二阶段才会基本具备形象思维能力。

总之，中学生的思维发展呈逐步上升态势，思维的不同形式存在一些发展的关键期。

（二）思维能力的培养

张绪扬认为，培养思维能力不应该只限于激发脑力活动或兴趣，良好的思维方法与习惯尤为重要。他将思维能力分为4个维度，作为实验的因变量：（1）思维的速度，即单位时间内正确完成的心理操作量;（2）思维的广度，即思路的开阔程度，表现在解决问题时，能从多方面摄取信息，考虑到与问题有关的各方面的程度;（3）概括力，即通过分析综合、抽象概括，从具体事实和材料中得出一般原理和结论的能力;（4）发挥力，即发现一事物与其他事物的联系，在已有信息的基础上产生大量新信息的能力。他根据英国学者E.Debono的思维课改编教材，在实验班利用课外活动时间开设思维课，每周1课，共上10周。该教材共10章，所教的思维方法包括：要看到事物的正面和反面，不要简单地接受或拒绝，而要全面地考虑一种情境的所有因素;要有一些为人们广泛理解并共同遵守的规则;要注意一种行动的眼前后果和长远后果，弄清行动的目的;在行动之前，要有一个明确的计划;要按问题的重要性排列顺序，优先解决比较重要的问题;要找到解决问题的新思路，不要拘泥于老一套的办法;在任何时候都必须做决定;要放弃自己的观点去考虑别人的观点。实验结果表明，这样的训练能够提高思维的速度、开阔思维的广度、增强概括力，对思维能力的培养有明显的促进作用。

蔡晓晖等也做了类似的研究，他们的实验教材是根据英国学者大卫·刘易斯和美国学者詹姆斯·格林的訓练材料改编的，主要特点是培养学生的元认知能力。改编后的教材共分5讲：第一讲是概述;第二讲是如何分析内容结构;第三讲是如何更有效地学习;第四讲是如何更有效地解决问题;第五讲是如何更好地决策。初一和高一的学生经过12周、每周1次课（45分钟）的训练，结果显示，中学生在掌握了一定的思维策略后，能够在较短的时间内提高其智能水平，在一定范围内，思维能力训练的效果是可以迁移的。

赵爱兰对初二的学生专门开设了7次思维课，内容涉及：未来世界的特征及对人才的要求;创造性思维的种类、特征;中学生最优学习方法，选择最优学习方法的原则及六环节学习法;快速阅读及自学方法;创造性思维训练（通过11个例题学习6种类型创造性思维方法）。实验表明，创造性思维的专门训练，可以提高学生的发散思维能力与逻辑推理能力。

林崇德教授把思维品质训练看作发展学生思维能力的突破口。思维品质包括思维的敏捷性、灵活性、深刻性、批判性和独创性。思维的敏捷性方面，采用的训练策略是要求学生在数学运算中提高速度，掌握一些运算方法。思维的灵活性方面，主要采用一题多解的方式，训练学生的发散思维。思维的深刻性方面，一是要求学生学习领会数学思想方法，二是训练学生的概括能力;三是培养学生的推理能力特别是连续推理能力。思维的批判性方面，主要训练学生的反思能力，提高学生的元认知水平。思维的独创性方面，采用学生独立编题，解答开放题等方式展开训练。

二、对中学数学教学的启示

（一）在初一至初二阶段强调逻辑思维的培养

大量的心理学研究表明，初一至初二阶段是学生逻辑思维发展的关键时期。如果在这个阶段不注意培养学生的逻辑思维，即使在后面加强培养，也可能事倍功半。

这里，我们不得不提及2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》和2011年颁布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》。两者都极大地削弱了初中平面几何证明的内容，降低了逻辑推理的要求。这个做法显然存在很大的问题：在培养逻辑思维能力最佳的年龄阶段削弱了培养逻辑思维能力最佳的内容载体，产生的后果是严重的。我们希望，这样的过失在新一轮课程改革中不再重演。

逻辑思维的培养主要依托逻辑推理的训练。按照《普通高中数学课程标准（2017年版）》的界定，逻辑推理包括演绎推理和合情推理（归纳与类比）。因此，要对初一至初二阶段的学生加强这两类推理的训练。

1.在平面几何教学中严格训练演绎推理。

一般说来，平面几何问题都是封闭性问题，即条件充分，结论明确，解答就是依据已有的定理、公理、公式等，从条件推出结论，整个过程都是演绎推理。在教学中，可以采用由浅入深、循序渐进的方式训练学生。比如，分为如下几个阶段：（1）教师写出证明步骤，让学生填写每一步推理的依据;（2）教师写出证明步骤，但其中缺少某一步，由学生补全这一步;（3）教师写出证明步骤，但其中至少缺少某两步，由学生补全缺少的步骤;（4）教师给出题目，由学生自己完成全部证明过程。

此外，完全有必要给学生讲一点逻辑规则。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在初中“图形与几何”部分有一个关于“定义、命题、定理”的内容，涉及的就是逻辑规则。这个内容可以放到引入证明的阶段，让学生提前知道简单的逻辑规则，训练学生用逻辑语言表达命题之间的关系，养成推理意识。例如，命题1：如果一个数是正整数，则它是有理数;命题2：如果一个数是有理数，则它是实数;命题3：如果一个数是正整数，则它是实数。将上述命题用逻辑语言写出推理的格式如下：若x→y，y→z，则x→z。

2.加强归纳推理与类比推理的训练。

根据顾泠沅教授的研究，在解题过程中训练学生的归纳推理能力，可以引导学生首先对已知信息进行表征，然后对共同特性进行识别与归纳，在大脑中形成猜想，最后进行假设检验。样例的典型性和多样性是影响学生归纳推理准确性的重要因素。选择的题目典型性高，就表明对这个类型的题目代表性高，从而，将特征归纳推理到整个类别时，就会有较高的准确性。相较于典型性，多样性的作用不那么稳定：有时，样例之间的多样性太高反而会对学生造成压力。

例1平面上n条直线两两相交，其中任意三线不共点。它们能把平面分成多少个部分？

一般而言，这类问题都是从特殊入手，观察特殊情形，然后归纳出规律。设n条直线把平面分成f（n）个部分，考察n=1，2，3等特殊情形，可得f（1）=2，f（2）=f（1）+2，f（3）=f（2）+3……由此猜想f（n）=f（n-1）+n=f（n-2）+（n-1）+n=…=2+2+…+（n-1）+n=1+n（n-1）2。

归纳思维的训练在小学教材中比较常见，因此初中生并不陌生。类比推理的训练在小学教材中相对较少，因此在初中阶段应当加强。类比包括知识结论的类比、思想方法的类比等。

比如，教学“因式分解”内容时，可以有目的地选编一些典型的题目，通过改变其“发散点”，引导学生思考拓展，培养学生的类比推理能力。例如，根据a2+（x+y）a+xy=（a+x）（a+y）相应地可以得出：（1）1+（x+y）+xy=（1+x）（1+y）（当a=1时）;（2）（A+B）2+（x+y）（A+B）+xy=（A+B+x）（A+B+y）（当a=A+B 时）;（3）a2+（A+1）a+A=（a+A）（a+1）（当x=A，y=1时）。

3.开展专门的逻辑思维训练。

在前面的综述部分已经说明，对学生开展专门的思维训练确实能够产生很好的效果。因为这个阶段正是学生发展逻辑推理的最佳时期，容易塑造，利于催生。因此，如果学校要打造校本课程，建议设置一门逻辑推理课程，每周上1节课，坚持下去，定能产生明显的效果。这种训练不仅是数学学科的教学任务，而且是所有学科共同的教学任务，因为逻辑思维能力的提升会迁移到所有学科的学习中。

（二）在初三至高一阶段加强空间思维的培养

从教材编制的传统看，初二开设平面几何课程，高一开设立体几何课程，是有道理的。心理学的诸多研究也支持这一观点：初三至高一是发展空间思维的最佳时段。

形象思维与空间思维是有区别的。形象思维是以具体表象为材料的思维，是抽象逻辑思维的基础。而空间思维可与《普通高中数学课程标准（2017年版）》中定义的“直观想象”等价看待，是数学核心素养。“直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的过程。主要包括借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础。”

在教学中，可以采用多种方式训练学生的直觀想象：（1）图形的变换;（2）在复杂图形中识别简单图;（3）图形的折叠与展开;（4）数形结合;（5）图形与计算;（6）图形推理;（7）根据图形提出数学问题。这些方式都是训练学生空间思维的有效手段。下面，举几个数形结合的例子：

完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2的几何模型如图1所示，平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）的几何模型如图2所示。

例2若a、b是小于1的正数，试证明：a2+b2+（1-a）2+b2+a2+（1-b）2+（1-a）2+（1-b）2≥22。

这是一个代数问题，但用代数的方法证明比较麻烦。其实，这个不等式出自一个几何模型。如图3，作边长为1的正方形ABCD，分别在AB、AD上取AE=a，AG=b。过E、G分别作EF∥AD、GH∥AB，交DC于F、BC于H。EF与GH交于点O。连接OA、OB、OC、OD、AC、BD，则有OA=a2+b2，OB=（1-a）2+b2，OC=（1-a）2+（1-b）2，OD=a2+（1-b）2。而OA+OC ≥AC，OB+OD ≥BD，即a2+b2+（1-a）2+（1-b）2≥2，（1-a）2+b2+a2+（1-b）2≥2。两个式子相加，即得结论。

（三）在高一至高二阶段突出概括能力的培养

1.采用概念形成的方式教学。

概念形成是指人们对同类事物中若干不同例子进行感知、分析、比较和抽象，归纳概括出这类事物的本质属性，从而获得概念的方式。显然，概念的形成本身就是一个概括的过程，因而，这种教学方式的目标之一就是培养学生的概括能力。

概念形成的教学操作可以为：（1）教师提出一组实例让学生辨认，指出它们有哪些共同的属性;（2）由学生提出这一组例子的共同成分的假设，并依据这些假设检验每一个例子;（3）通过与已有认知结构的相关观念联系，概括抽象出对象共同的、本质的属性;（4）给出概念的定义;（5）用正例和反例强化。

例如，教学“幂函数”时，可以摒弃直接给出概念定义的传统方式，尝试从学生熟悉的背景出发，得到有关实例。比如，已知边长为x的正方形的面积为y，那么y关于x的函数可以表示成什么？得到y=x2后，再给出一组例子y=x、y=x14、y=x3、y=x、y=1x等，让学生观察，归纳出这些函数的共同特征。最后形成定义，取名为幂函数。

2.加强解决变式问题的训练。

数学问题的解决不仅需要具体知识，还要用到一些一般性方法。在解决数学问题的过程中，学生要学会概括解题方法，以方法来归类问题。所以在解题教学中，可以重点从变式问题出发，培养学生的抽象概括能力。

例3求y=x+1x，x>0的最小值。

变式1求y=x+1x，x<0的最大值。

变式2求y=2sin x+sin x2，x∈[0，π]的最小值。

变式3已知3x+y=5，x>0，y>0，求xy的最大值。

对于原题，可以直接运用基本不等式得到y=x+1x≥2x·1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时，y取到最小值。变式1不满足“正数”的条件，可以变形为-y=-x+1-x≥2-x·1-x=2，即x=-1时，y取到最大值—2。变式2由于x∈[0，π]，0

解答一组变式问题，实质是要学生概括出解决基本不等式问题的通性通法，即“一正二定三相等”，从而发展学生的概括能力。

3.开展专门的数学抽象训练。

数学抽象是指从一些具体的事物中找出它们的共性，这是需要概括的。通过数学抽象的训练，可以培养学生的概括能力。当然，面对一类事物，通过观察，有时概括出它们的共同属性并不困难，难的是概括出它们共同的本质属性。换句话说，概括出的可能只是表面的共同属性，而非内在的本质属性。一般说来，数学抽象只关注对象的数量特征和图形特征。这事实上为数学抽象指明了思维的方向。

例4请你观察下面一组图形（如图4），它们有什么共同属性？你能为这一组图形取一个恰当的名字吗？

通过观察，学生可能会提出许多观点，如多边形、六边形、六角形等。这些的确是它们的共同属性，但是，如果只停留在这些属性层面上，则没有太大的价值。进一步观察，教师可以引导学生发现这些六边形比较特殊，它们的三组对边都分别平行。类比平行四边形的定义“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”，这种图形可以取名为平行六边形。这是一个数学抽象的过程，抽象出了这类图形的本质特征。显然，观察者的概括能力在数学抽象中起着至关重要的作用。

*本文系喻平教授团队的“数学学习心理学研究及其教学启示”（中学）系列文章之十。

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