在幺正规范(ξ→∞)下推导t→cγ振幅

2021-05-24柳国丽别素雅

郑州大学学报（理学版） 2021年2期

柳国丽，别素雅

(郑州大学物理学院河南郑州 450001)

0 引言

当单圈构成的图形没有树图贡献时，其所有图形贡献的发散项全部相加的结果为零。但在计算内线为荷电规范玻色子和费米子组成的圈图时，却不能满足所有发散项相加结果为零这一要求。利用波函数的幺正性也能在计算中消去发散项[1]。下面从幺正性消去发散项的方法来计算t→cγ过程。

1 单圈图μ→eγ发散项不能相消

1.1 μ→eγ费曼图

图1中的费曼规则为：

图1 μ→eγ 费曼图

(1)

(2)

γφW∶-igμν。

(3)

本文耦合是模型无关的，取新物理中的一般形式，所以发散性不依赖于具体模型。因为没有树图贡献，所有的发散项加起来应该为零。为简单起见，将上面这些耦合写成更一般的形式：

(4)

(5)

其中c=d=±1,暂取为自由参数。

1.2 各项展开计算

为了更好地利用计算机圈图程序计算，采用费曼规范，取ξ=1。W粒子和φ粒子的传播子为：

(6)

(7)

γφW的耦合对应gμν项，没有发散项，而考虑的是发散项的相消问题，所以图1(d)和(h)项暂且不考虑。

1.2.1图1(a)的计算

γρq1ργλkλγμ·aa+γμγρkργλq3λ·aa]，

(8)

其中：f1=c2+d2；f2=2cd；f3=c2-d2；aa=f1+f2γ5；q1=p3-2p4；q2=p3+p4；q3=p4-2p3；

iMa中前3项b1(-4kμγρkρaa+2dkμγρkρ·aa+2k2γμ·aa)包含有发散项，按三点函数[2-3]展开。由

可以看出C2(4)含Δ/4发散因子(B0含一个Δ发散因子)。b1(-4kμγρkρ·aa+2dkμγρkρ·aa+2k2γμ·aa)展开为

(9)

1.2.2计算图1(b)

(10)

(11)

1.2.3计算图1(c)

d=4时有发散项

c1[-4f3(mνi/m4)γμB0]→-4f3(mνi/m4)γμΔc1。

(12)

1.2.4图1(a)～(c)中的发散项之和为

(13)

1.2.5图1(e): 2条鬼粒子内线

1.2.6计算图1(f)

c1[γμ·aa/2+f3mνi/m4γμ]→(γμ/2·aa+f3mνi/m4γμ)Δc1。

(14)

1.2.7计算图1(g)

上式中发散项为

c1[-f3mνi/m4γμB0]→-f3mνi/m4γμΔc1。

(15)

1.3 图1(e)～(g)发散项之和为零

c1Δ[-·γμ·aa/2+γμ·aa/2+f3mνi/m4γμ-f3mνi/m4γμ]=0。

1.4 所有单圈发散项相加不为零

所有发散项相加不为零。内线上标量粒子的发散没有问题(不管是不是鬼粒子)。在下面t→cγ计算中，将根据文献[1]中关于此类过程洛伦兹结构的讨论，运用Ward恒等式[4]和CKM矩阵元的幺正性[5]舍弃发散项，计算t→cγ过程的振幅。

2 顶夸克衰变t→cγ

在费曼规范(ξ=1)下，计算时会不可避免地出现发散项。由于在幺正规范(ξ=∞)下，不会出现Goldstone粒子，故可利用CKM矩阵元的幺正性和Ward恒等式直接计算出最终结果。下面给出t→cγ的详细计算过程。

2.1 振幅一般形式

t→cγ振幅可写为

(16)

(17)

由电磁场的规范不变性，

(18)

则有

-mc(C+Dγ5)+mt(C-Dγ5)+q2(E+Fγ5)=0,q2=0，C=D=0。

(19)

(20)

2.2 费曼规则

各个顶点为

(21)

(22)

在幺正规范ξ=∞下的传播子如下。

1)对于所有的质量不为零的规范玻色子：

2.3 费曼规范下的费曼图t→cγ及图2(a)的振幅

图(2)给出了t→cγ费曼图。虽然其中有鬼粒子内线图，但在幺正规范下，鬼粒子将消失，故本文不予考虑，所以图2(d)～(j)的贡献都为零。图2(b)、(c)的振幅正比于γμ，由前面讨论可知，此类贡献可忽略。所以图(1)只剩下图2(a)和图2(i)有贡献。由文献[1]可知图2(a)中，

(23)

下面将着重介绍图2(i)的计算。

图2 t→cγ 费曼图

2.4 计算图2(i)的振幅Mi

(24)

下面将分别计算式(24)的分子和分母部分。

(25)

(26)

故可得

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

由(24)式可知Δρλ为

其中：k1=pt-k；k2=pc-k；f1=(atac+btbc)；f2=(acat-bcbt)；f3=-(acbt+bcat)；f4=(acbt-bcat)；a1=f1+f3γ5；a2=f2+f4γ5(a1、a2只是形式上简化，因其含有γ5因子，故一定写在式子的最左边)。令

(33)

(34)

将k、k1、k2代换为l和pt、pc，即

l+(xpt+ypc)=l+q,k1=-l+q1=k′1,k2=-l+q2=k′2,

其中：q=xpt+ypc；q1=(1-x)pt-ypc=pt-q；q2=(1-y)pc-xpt=pc-q，

则S1,S2变为S′1,S′2(d维)

(35)

S11=4a2mi-4a2xmi-4a2ymi-2a2(4-d)mi+a2x(4-d)mi+a2y(4-d)mi+2a1xmt-2a1x2mt-

2a1xymt+a1(4-d)mt-2a1x(4-d)mt+a1x2(4-d)mt-a1y(4-d)mt+a1xy(4-d)mt；

(36)

S12与结果无关，故略。在结合分母以后的积分中，lμLν的积分等同于1/4l2gμν，故式(36)令二者相等。即

(37)

S2的计算与之大致相同，但更为复杂，用Mathematica软件给出结果，

这里也略去了包含γμ的项，其中：

由S1、S2可得

(38)

2.4.3综合推导Mi

将式(25)、(26)、(27)和(37)代入式(24)有

(39)

根据电磁流守恒有qμ·μ=0，且对z(z=1-x-y)可积分得出。其中由于没有出现1/项，故S11、S21、S22中无穷小项可忽略不计。先将S11、S21、S22表示成x的多项式：

S11=4a2mi-4a2miy+(-4a2mi+2a1mt-2a1mty)x+(-2a1mt)x2=ax2+bx+c；

(40)

(41)

S21=(-3a2mi-3a1mt)x+3a2mi-4a2miy=gx+h，

(42)

其中：

(43)

将式(30)中Δ进行变化，

(44)

积分中，x范围为(0,1)，-m≤t≤1-m，且m-r=1-y。将式(40)、(41)、(42)、(44)代入式(39)中，得

(45)

si(i=1，…，8)分别为：

(46)

(45)式计算中用到含有1/(t2-r2)项的积分形式，这里不再赘述。

关于费曼参数x、y的初等函数积分，可用数值积分直接给出结果。

(47)

(48)

这里的计算结果与图1(a)的振幅相比要复杂得多，这是因为：1)本文考虑的耦合是全部洛伦兹结构，而在图1(a)计算中只考虑了矢量玻色子与费米子的左手耦合，这样的考虑会增加至少4倍的工作量。2)由于内线夸克的质量也出现在分子中，增加了计算的难度，而只考虑左手结构则可直接约去内线费米子质量。3)由于内线有两个费米子，这大大增加和丰富了分子中γ项的结构和项数。