抓住源头 看清真题

文 孙 靓

教材中的例题是一些中考题的重要来源，因此，我们在复习时要回归教材，关注例题传递出来的信息。“概率与统计”作为中考的必考内容，更侧重于让同学们体会如何将不同的问题归纳为同一个概率模型。

例1（苏科版数学教材九年级上册第132页例2）一只不透明的袋子中装有3个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球。

（1）会有哪些等可能的结果？

（2）摸到白球、摸到红球的概率各多少？

【解析】（1）分别给这5个球编上号码，白球分别编为1、2、3，红球分别编为4、5。有5种等可能的结果：摸到1号球，摸到2号球，摸到3号球，摸到4号球，摸到5号球。

（2）摸到1号球、摸到2号球、摸到3号球这3种结果之一出现时，“摸到白球”这一事件发生，所以P（摸到白球）=。

摸到4号球、摸到5号球这2种结果之一出现时，“摸到红球”这一事件发生，所以P（摸到红球）=。

【点评】例题是摸球试验，从袋中任意摸出1个球时，每个球被摸到的机会相同，这5种可能出现的结果是等可能性的。事件发生的概率等于事件发生的结果数与所有等可能的结果数之比。

【拓展1】（2020·江苏镇江）一只不透明的袋子中装有5个红球和1个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸出红球的概率等于________。

【解析】由题意知，任意摸出一个球共有6种等可能的结果，其中摸到红球的结果有5种，所以P（摸到红球）=。

【点评】本题考查了概率的意义，和教材例题考查的知识点相同，只做了数据调整。

【拓展2】（2020·黑龙江绥化）在一个不透明的袋子中装有黑球m个、白球n个、红球3个，除颜色外无其他差别，任意摸出一个球是红球的概率是（ ）。

【解析】任意摸出一个球共有m+n+3种等可能的结果，其中是红球的结果有3种，所以P（摸出一个球是红球）。故选B。

【点评】本题是将教材例题中的数据更换成了字母。用字母表示数，考查了对等可能条件下概率概念的理解。

【拓展3】（2020·福建）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为________。

【解析】随机选择1位志愿者在线辅导，共有3种等可能的结果，其中甲被选到的结果只有一种，所以P（甲被选到）=。

【点评】本题考查了概率的计算，虽然与教材例题背景不同，不是摸球试验，但考查的知识点及方法相同。

例2（苏科版数学教材九年级上册第136页例4）一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球。求两次都摸到红球的概率。

【解析】把2个红球编号为红球1、红球2，用表格列出所有可能出现的结果：

白红1红2白（白，白）（红1，白）（红2，白）红1（白，红1）（红1，红1）（红2，红1）红2（白，红2）（红1，红2）（红2，红2）结果第一次第二次

由表格可知，一共有9种可能的结果，并且它们都是等可能的。“两次都摸到红球”记为事件A，它的发生有4种可能，所以事件A发生的概率P（A）=，即两次都摸到红球的概率是。

【点评】例题是摸球试验，为了方便列出所有等可能的结果，对两个红球分别编号。第一次任意摸出1个球，共有3种等可能的结果，记录颜色并放回，所以第二次摸球也有3种等可能的结果。当事件涉及两个因素时，列表可以帮助我们列出所有等可能的结果，从而计算出事件发生的概率。

【拓展4】（2020·重庆）盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1、2、3，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片的数字之和为奇数的概率是________。

【解析】列表表示所有可能的结果如下：

1 2 3 1 3 4 2 3 5 3 4 5第一张第二张

由上表可知，共有6种等可能的结果，其中数字之和为奇数的结果有4种，所以P（数字之和为奇数）=。故答案为。

【点评】本题考查了概率的计算，虽然与教材例题背景不同，将球换成了卡片，但不影响解题的方法。同学们需要认真区分“放回”及“不放回”，此处是“从中随机抽出1张后不放回”，即第一次抽取到的卡片，第二次不能再被抽取。

【拓展5】（2020·江苏淮安）一只不透明的袋子中，装有三个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有字母A、O、K。搅匀后先从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的左边方格内，然后将球放回袋中搅匀，再从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的右边方格内。

（1）第一次摸到字母A的概率为______。

（2）用画树状图或列表等方法求两个方格中的字母从左往右恰好组成“OK”的概率。

【解析】（1）共有3种等可能的结果，其中是字母A的只有1种，因此，第一次摸到字母A的概率为。故答案为。

（2）用树状图表示所有可能出现的结果如下：

由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中从左到右能构成“OK”的只有1种结果，所以P（组成“OK”）=。

【点评】本题对例题稍做变化，将不同颜色变为不同字母，并对事件发生的结果提出了顺序要求。通过本题，我们不难发现，对于两步试验，除了用例题所列的表格之外，画树状图也可以帮助我们不重复、不遗漏地列出所有等可能的结果，从而计算出事件发生的概率。