两端铰支蜂窝钢拱的反对称基频研究

吴力平，乐家杰，许雷池，袁伟斌

(1.杭州科技职业技术学院 城市建设学院 浙江 杭州311402；2. 浙江工业大学 土木工程学院，浙江 杭州 310023)

腹板开孔钢拱(以下简称蜂窝拱)是一种新型的钢结构构件，其结合了蜂窝梁和拱两种结构的特点，在建筑行业中得到广泛应用。蜂窝拱腹板上的孔洞为管线的通过提供了便利条件，与材料用量相等的实腹拱相比，蜂窝拱的截面惯性矩更大，构件能够发挥更大的作用。

国内学者针对蜂窝梁进行了大量研究：朗婷等[1]利用ANSYS对蜂窝梁的受力性能进行了分析；夏志成等[2]对蜂窝梁的固有频率进行了理论分析，并用有限元软件进行了模拟研究；Yuan等[3-4]把蜂窝构件比拟成夹层梁，采用能量法对蜂窝构件的屈曲和挠度进行了研究；之后，Gu[5]采用文献[3]的概念，对蜂窝梁的动力特性进行了理论分析。国内学者对于拱的振动问题的研究主要集中在实腹拱领域：项海帆等[6]提出了拱的反对称基频的近似公式；蒋志刚[7]运用能量法推导了圆弧拱平面内对称基频的计算公式；之后的学者采用多种数值方法对拱的平面内振动问题进行了大量研究[8-9]。目前，关于蜂窝拱的研究则相对较匮乏，学者主要通过数值模拟和实验研究[10-12]进行分析，理论研究尚不丰富。对于圆心角大于90°的深拱，其发生平面内振动时，第一阶固有频率的振型通常为反对称，因此笔者借鉴文献[5]的方法，利用哈密尔顿原理，对两端铰支蜂窝拱反对称基频的计算公式进行推导，并采用ABAQUS有限元软件进行验证。

1 蜂窝拱反对称基频的理论分析

由于蜂窝构件与夹层构件受力机理相似，可将蜂窝构件当作夹层构件考虑，对于如图1所示的蜂窝拱可将其上下两个T形截面部分视作承受弯矩的表层，中间腹板不连续部分视作承受剪力的夹层，作如下假设：1) 拱截面高度远小于初始曲率半径；2) 上下T形截面满足平截面假定，受弯矩和轴力作用；3) 中间截面切向位移沿截面高度呈线性分布，受剪力作用。

图1 蜂窝钢拱的几何尺寸Fig.1 The geometrical dimensions of the castellated steel arch

图2 截面等效方式及位移图Fig.2 Equivalent mode of cross-section and deformations

根据图2可知截面上任意一点(φ,z)的切向位移分别表示为

(1)

a≤z≤(hw/2+tf)

(2)

-a≤z≤a

(3)

由极坐标中的几何方程[13]得到相应的应变表达式为

(4)

(5)

(6)

蜂窝拱的应变能可以表示为

(7)

式中：E为弹性模量；G为剪切模量；l为拱长；ksh为腹板不连续部分的剪切修正系数。

由假设1)可忽略曲率对该系数的影响。文献[3]将图3所示的六边形孔洞腹板按面积等效原则等效为两端有水平位移但无转角的矩形梁，根据Timoshenko梁理论[14]考虑其抗弯刚度和抗剪刚度计算得出ksh，当圆孔间距为s=πr时，按面积等效取ksh=0.225。

图3 腹板剪切应变能计算模型Fig.3 Computational model of shear strain energy of web

为了计算简便，引入以下两个参数，可表示为

(8)

将应变表达式(4～6,8)代入式(7)得

(9)

两个T形截面部分受轴向和横向振动速度的动能T1可以表示为

(10)

笔者仅考虑孔洞间距s=πr的情况，则中间腹板的动能T2可以近似表达为

(11)

(12)

拱在任意时间间隔[t1,t2]的自由振动问题可以用哈密顿原理求解，其计算式为

(13)

(14)

式中：A，B为待定常数；ω为圆频率。显然式(14)满足铰支的位移边界条件，将式(14)代入式(9,12),然后代入式(13)，对于拱的简谐固有振动可以表示为

δ(Umax-ω2Tmax)=0

(15)

由式(15)对A和B进行变分可以得到以下两个方程式，即

(16)

(17)

进而求解式(16,17)，可以得到反对称基频ω。

2 有限元分析

为了验证公式的适用性，使用ABAQUS有限元软件对不同模型尺寸下的蜂窝拱进行模拟，所有模型的hw=180 mm，tw=10 mm，tf=10 mm，s=πr。弹性模量E=210 GPa，泊松比ν=1/3，以孔洞大小、半跨长细比和翼缘宽度为变量考虑，采用S4R壳体单元建立模型，网格尺寸为20 mm，将端部截面耦合到形心，并限制该点的面内平动来达到铰支的边界条件，蜂窝拱模型如图4所示。

图4 有限元模型Fig.4 Finite element analysis model

为了方便对比，采用频率值f=ω/(2π)进行对比分析，半跨长细比50情况下，不同尺寸模型下蜂窝拱的基频理论解与有限元解如表1所示。由表1可知：理论解与有限元解吻合良好，两者的相对误差基本在5%以内，能有效应用到蜂窝拱的反对称基频理论分析中。表1中理论解与有限元解的比值随着角度的增加而增加，是由于较大角度的双较拱其反对称基频振型偏离笔者所假设的位移函数所致，当bf=100 mm时，公式的准确性优于bf=200 mm的情况，说明上下T形截面过大会放大误差。此外，随着孔洞半径的增大，bf=100 mm的频率逐渐变大，而bf=200 mm的频率先变大再变小，这是由于开孔造成的蜂窝拱广义质量的消减影响与广义刚度的消减影响不同所引起。但与相同截面尺寸的实腹拱相比，长细比50的蜂窝拱的反对称基频依旧略有提升，动力性能更好。孔洞半径为60 mm,两种不同翼缘宽度的蜂窝拱基频分析如图5所示。由图5可知：随着角度的增加，蜂窝拱的频率呈线性减小趋势；随着长细比的增加，蜂窝拱的频率逐渐减小，理论与有限元值愈加吻合，表明理论解对大跨度的蜂窝拱构件适用性更好。

表1 不同模型尺寸下反对称基频的理论解T和有限元解FTable 1 The theoretical solutions T and the finite element solutions F of anti-symmetric fundamental frequencies with different model dimensions

图5 不同尺寸下基频示意图Fig.5 Diagram of fundamental frequency with different dimensions

3 结 论

对两端铰支蜂窝钢拱在平面内振动时的反对称基频进行了研究，利用夹层构件的概念，通过哈密尔顿原理推导了相应的反对称基频公式。采用ABAQUS有限元软件对公式的适用性进行了探讨，结果显示两者吻合良好，其精度可以满足实际工程应用，但仅适用于圆心角大于90°的蜂窝深拱。结果表明：腹板开孔对蜂窝拱的反对称基频的影响基本不大，对于长细比大于50的蜂窝拱而言，其反对称基频反而略有增加；在大跨度工程中，蜂窝拱比实腹拱具有更高的经济效益。